ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

CAUCHY baron Augustin-Louis, français, 1789-1857

Souvent considéré comme un des plus grands mathématiciens après Euler, ami de ses aînés Lagrange, Legendre et Laplace. Polytechnicien à 16 ans, il se fit connaître quatre ans plus tard, en démontrant élégamment la fameuse formule de Descartes-Euler :

S - A + F = 2

S, F et A désignent les nombres de sommets, de faces et d'arêtes d'un polyèdre convexe. Cauchy en déduit qu'il ne peut exister que cinq polyèdres convexes réguliers (effectivement constructibles).

Ingénieur des ponts et chaussées, il dirigea les travaux de la construction du port de Cherbourg mais il préférera, l'année de son élection à l'Académie des sciences (1816), enseigner au Collège de France (physique mathématique), à l'École Polytechnique (mécanique) et à la Sorbonne (mathématiques). On luit doit (1822) la première théorie mathématique de l'élasticité.

 Le Collège de France, fut fondé par François Ier en 1530 à l'initiative de Guillaume Budé sous l'appellation initiale de Collège royal. Les cours sont publics. Tous les savoirs (52 chaires actuellement) y sont enseignés par les plus éminents spécialistes nommés par le Chef de l'État. Cette institution purement culturelle ne prépare à aucun examen ou concours et ne délivre aucun diplôme.

La carrière de Cauchy fut contrariée par les événements politiques : disgracié à la révolution de 1830, il quitte la France pour l'Italie : il enseigna à l'université de Turin où une chaire de mathématiques est créée à son intention, puis à Prague où il fut le tuteur du jeune Henri  d'Artois, petit-fils du roi Charles X, exilés là sous la protection de la famille impériale autrichienne (empire austro-hongrois).

Cauchy retrouvera une chaire d'astronomie à la faculté des sciences de Paris en 1838, qu'il quitte suite au coup d'État de 1852. Ce n'est qu'en 1854 que Cauchy retrouvera son poste auquel Puiseux succédera.

 Pour en savoir plus sur la vie et l'œuvre de Cauchy :

Les Cours d'Analyse : vers la rigueur

Cauchy publia (1821) son Cours d'analyse et son Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal (1823), réédité aujourd'hui dans un but pédagogique et épistémologique (collection ellipses, Éd. Marketing), qui eurent très grande audience et constituèrent le premier exposé rigoureux sur les fonctions numériques. Rénovant l'analyse fonctionnelle, il formalise, en particulier, les notions fondamentales :

  Fonction d'une variable :      

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles, que, la valeur de l’une d’elles étant donnée, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on conçoit d’ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l’une d’entre elles, qui prend le nom de variable indépendante; et les autres quantités, exprimées au moyen de la variable indépendante, sont ce qu’on appelle des fonctions de cette variable.

  Notion de limite :        

Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.

 Cauchy utilise couramment l'abréviation lim placée devant la variable pour préciser sa limite, notation initiée par Lhuilier. Il donne en exemple le cas de sina/a lorsque "a converge vers 0" : cette variable, écrit-il, se présente sous la "forme indéterminée 0/0 et pourtant possède une valeur fixe que l'on peut calculer ainsi " : On a évidemment, pour de très petites valeurs numériques de a :

Par conséquent, le rapport sina/a, toujours compris entre les deux quantités sina/sina et sina/tana = cosa, dont la première sert de limite à la seconde, aura lui-même l'unité pour limite.

 Le lecteur est prié de vérifier la preuve de Cauchy. Pour l'encadrement, on se limitera à des constatations graphiques. On se penchera sur sa validité eu égard au signe de a.

Quelques limites « usuelles » :

  Continuité sur un intervalle :         

(h désignant une quantité infiniment petite) : lorsque, la fonction f(x) admettant une valeur unique et finie pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites données, la différence f(x + h) - f(x) est toujours entre ces limites une quantité infiniment petite, on dit que f(x) est une fonction continue de la variable x entre les limites dont il s’agit.

Intuitivement et graphiquement, on décrit la courbe représentative de f sans lever le crayon : pas de "trous". Sur le schéma ci-dessous, on a deux arcs de courbe "continus", et pour passer de l'un à l'autre, lorsque x = 1, il faut "lever" le crayon. Le point de coordonnées (1;0,5) a été renforcé pour préciser que l'image de 1 est 0,5 sur l'arc de gauche et non pas 1 sur celui de droite. La fonction f est ici définie par :

Les définitions plus rigoureuses de limite et de continuité ("avec les e" comme disent les étudiants) seront le fait de l'allemand Weierstrass (1861). La formalisation usant des quantificateurs et des symboles logiques apparaîtra avec Bourbaki.

  Dérivabilité (d'une fonction continue)     :

Si, lorsque h devient infiniment petit le rapport aux différences :

admet une limite finie, on le note f '(x), c'est une fonction de x, appelée fonction dérivée.

A propos du prime (dans ), Cauchy parle de notation "accentuée" et que l'on peut aussi écrire y' (s'il n'y a pas d'ambigüité relativement à la fonction étudiée).

   Rolle , Leibniz , Newton , d'Alembert , Lagrange (notation & sens de variation d'une fonction

Ces définitions permettent à Cauchy d'être le premier à établir rigoureusement la formule de Taylor en précisant les conditions de convergence vers la fonction développée. Toutefois, l'ensemble R des nombres réels n'est pas encore construit. Un nombre réel, à cette époque, est un nombre non imaginaire : entier, fractionnaire ou irrationnel.

Les nombres p et e sont irrationnels depuis Euler et Lambert mais pas encore transcendants. Il faudra attendre Lindemann et Liouville. Le flou entourant les nombres "réels" conduit Cauchy à des conclusions pouvant apparaître comme peu rigoureuses, voire fausses, comme, par exemple, son résultat sur la somme d'une série de fonctions selon lequel toute somme f = Sfn de fonctions fn continues en un point xo est elle-même continue en xo : la convergence uniforme, nécessaire ici, sera définie par Weierstrass.

La continuité uniforme sera le fait de Heine. Cauchy utilisait également implicitement que, hormis en quelques points singuliers, toute fonction continue admet une dérivée. Riemann, puis Bolzano et Weierstrass donneront un exemple de fonction continue en tout point d’un intervalle et n’étant pourtant dérivable en aucun point.

  Dérivée non continue :  étude de la fonction f : x x2cos(1/x) , Étude de fonctions

Cauchy traite par ailleurs des intégrales définies et indéfinies, des méthodes différentielles, du calcul sur l'exponentielle et le logarithme complexes, de la formule de Taylor, ...

Le théorème des valeurs intermédiaires :

Cauchy énonce et démontre (Cours d'analyse, 1821) le théorème des valeurs intermédiaires :

Autrement dit et plus généralement car l'image d'une partie connexe par une fonction continue est connexe :

yJ, xI , y = f(x). 

Corollaire : si f est strictement monotone sur I, x est unique (f est une bijection de I sur J).

Accroissements finis et théorème de la moyenne :    Formules de la moyenne :

Suites et séries, suites de Cauchy :

Cauchy affine également les concepts de suite et et de série numériques et leurs conditions de convergence (cours à l'École polytechnique) en exposant son célèbre critère de convergence pour les suites numériques. Une suite est dite convergente si la variable qu'elle représente admet une limite finie lorsque n tend vers l'infini. Une série est convergente si la suite de ses sommes partielles est convergente.

Compléments : suites, séries, critères de Cauchy, série produit (produit de Cauchy), exercices :

Concernant les séries convergentes de fonctions continues, Cauchy avança imprudemment, dans son cours d'analyse de 1821, que leurs sommes sont continues. En 1826, Abel corrigea cette affirmation au moyen d'un contre-exemple relativement simple :

Contre-exemple d'Abel :

Critère de Cauchy :

e désignant un nombre arbitrairement petit et positif, une suite de Cauchy est une suite numérique (un) pour laquelle |um - up| < e à partir d’un certain rang Ne (c'est à dire dès que m > Ne , p > Ne).

Il est clair que toute suite convergente est une suite de Cauchy. Inversement, toute suite de Cauchy réelle (dans R) est convergente et la définition précédente devient le critère de convergence de Cauchy.

Intégration selon Cauchy (cas d'une fonction réelle) :                   intégrale complexe

Entre 1814 et 1825, Cauchy travaille sur la notion d'intégrale. Il formalise l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle fermé (se détachant ainsi du lien direct avec la dérivation) proche de celle que Riemann généralisera aux fonctions bornées. L'intégrale de Riemann coïncide avec celle de Cauchy pour les fonctions continues :

L'intégrale de Riemann et calcul approché :

Critère de Cauchy pour la convergence d'une intégrale généralisée :

Soit f une fonction continue sur tout intervalle fermé [a,u], u > a. L'intégrale de f sur [a,+[ est convergente si et seulement si :

e > 0, u > a : (x > u , x' > u)

En utilisant ce critère et la seconde formule de la moyenne (seconde formule de Bonnet), prouver ce théorème très utile :

    

On suppose f positive et décroissante sur I = [a,+[ avec lim f = 0 pour x infini; g est une fonction intégrable et bornée sur tout intervalle fini K de I et vérifiant |g(x)| M, où M désigne un réel positif indépendant de K. Montrer que dans ces conditions l'intégrale ci-dessous est convergente :

On en déduit par exemple que l'intégrale de Dirichlet, intégrale sur R+ de sin(x)/x, est convergente.

Calcul de l'intégrale de Dirichlet :                  Darboux, Lebesgue , Stieltjes

La théorie des fonctions d'une variable complexe :

Le couronnement des travaux de Cauchy réside sans conteste dans la création (totalement nouvelle) de la théorie des fonctions d'une variable complexe et de la théorie des résidus, relative à l'intégration d'une fonction complexe sur un contour, qu'il développera pendant plus de trente ans, entre 1814 et 1846, ramenant le calcul d'une intégrale (dans le cas réel ou complexe) à un simple calcul de coefficients.

Le calcul différentiel et intégral dans le plan complexe prolonge le cas réel mais on y rencontre de grandes difficultés dues au fait que C s'apparente à R2 : il s'agit alors souvent de travailler avec des fonctions de deux variables réelles.

 Intégrale complexe, formule intégrale de Cauchy :                 Calcul des résidus :   

Conditions de Cauchy pour la dérivation (également dites de Cauchy-Riemann) :               

La dérivabilité se définit comme dans le cas réel et Cauchy apporte une condition nécessaire de dérivabilité en un point zo = xo + iyo d'une fonction f de variable complexe z : par définition, f sera dérivable en zo, de dérivée f '(zo), s'il existe une fonction e telle que df = [f '(zo) + e(z)] x dz où e(z) tend vers 0 quelle que soit la façon dont z tend vers zo.

On peut alors choisir de faire tendre z vers zo en posant z = zo + x, x réel tendant vers 0, ce qui fournit df = [f '(zo) + e(z)] x dx ou bien en posant z = zo + iy, y réel tendant vers 0, ce qui fournit df = [f '(zo) + e(z)] x idy et le passage à la limite conduit aux égalités :

                notion de dérivée partielle

Dans le cas fréquent ou f(z) peut se mettre sous la forme P(x,y) + iQ(x,y), les fonctions réelles P et Q doivent être différentiables en zo et, en ce point :

                 Riemann                différentielle exacte

Harmonicité  :                   

Ces conditions de dérivabilité impliquent immédiatement que les fonctions P et Q sont harmoniques :

                Le laplacien, noté Δ

Comme on le voit ci-dessous, Calcul infinitésimal de 1823, Cauchy définit le logarithme complexe en utilisant la notation z = x + y ou bien la forme trigonométrique z = r(cosq + .sinq). Gauss systématisera (1831) l'usage de z = x + iy (i, comme imaginaire, est la notation d'Euler pour ).

Notons ici que l'on doit à Cauchy le terme d'argument d'un nombre complexe (1838), terme emprunté à l'astronomie mesurant l'angle de la position de la lune sur son orbite compté à partir du point où cette orbite coupe celle de la Terre (Encyclopédie de d'Alembert et Diderot, 1752).

Fonction analytique et fonction holomorphe, dite "synectique" par Cauchy :            

Une fonction de C dans C est dite holomorphe sur un ouvert U de C si elle est uniforme sur U (chaque image est unique, ce qui n'est pas toujours le cas) et dérivable en tout point de U.

  Ne pas confondre fonction uniforme (dont toute image est unique, terme dû à Hermite, dite monotypique par Cauchy) et fonction univalente : il s'agit alors d'une fonction holomorphe (uniforme et dérivable) et injective (des images égales ont des antécédents égaux)    fonctions multiformes et surface de Riemann.

Holomorphe, holomorphie : du grec holo = entier et morphê = forme, appellation due à Bouquet en remplacement de synectique (du grec sunektikos = compréhensif) proposé par Cauchy.

Une fonction (réelle ou complexe), est dite analytique (terme dû à Condorcet) en un point xo intérieur à son ensemble de définition U si elle est développable en série entière dans un voisinage de xo : il existe une série San(x - xo)n, n 0, convergeant vers f(x) dans un voisinage de xo inclus dans U.

Les fonctions holomorphes coïncident avec les fonctions analytiques sur U, c'est à dire développables en série entière (d'où leur appellation) car contrairement aux fonctions numériques (réelles), en conséquence du théorème de Cauchy-Goursat énoncé ci-après :

Toute fonction complexe continument dérivable sur U est infiniment dérivable sur U

On parle parfois de fonction entière pour désigner une fonction holomorphe sur C tout entier, comme la fonction exponentielle z ez par exemple.

La somme f + g, le produit f.g et le quotient f/g (dans ce dernier cas si g ne s'annule pas sur U) de fonctions holomorphes est holomorphe.

Cauchy démontra ce résultat étonnant qui fut un temps attribué faussement à Liouville :

Toute fonction bornée et holomorphe sur C tout entier est constante.

On a également cet important résultat :

Soit f une fonction holomorphe sur un domaine D borné du plan complexe ainsi que sur sa frontière. Alors f admet un nombre fini de zéros dans D.

L'intégration des fonctions complexes :      

Considérons une fonction  complexe zf(z) avec z = x +iy et f(z) = P(x,y) + iQ(x,y). La définition de l'intégrale de f sur un arc de courbe continu (c), fermé ou non, d'origine A, d'extrémité B sur lequel on aura choisi un sens de parcours positif (celui des abscisses curvilignes croissantes) se définit comme dans le cas réel à la manière de l'intégrale de Riemann.

Les sommes de Riemann Sn s'écrivent ici :

Sn = (z1 - zo)f(c1) + (z2 - z1)f(c2) + (z3 - z2)f(c2) + ... + (zn - zn-1)f(cn)

Les zk forment une subdivision de l'arc de courbe (c) et si ces sommes admettent une limite lorsque Max |zk - zk-1| tend vers 0, on démontre que cette limite ne dépend ni de la subdivision, ni du choix des ck. On l'appelle intégrale de f sur (c) et on écrira :

Théorème de Cauchy-Goursat (1831) :      

On appelle ainsi le résultat fondamental selon lequel si f est holomorphe sur un domaine simplement connexe D, alors pour tout contour courbe inclus dans D :

             Goursat

Cauchy aurait établi son théorème dès 1814 dans le cas d'un rectangle inclus dans D. L'application de ce théorème conduit facilement au célèbre théorème de d'Alembert relatif aux zéros des polynômes.

Formules intégrales de Cauchy :     

On appelle ainsi, ou simplement intégrales de Cauchy, les égalités :

                 

où f désigne une fonction holomorphe sur un domaine simplement connexe D de contour (c) et z un point intérieur à D, la notation f(n) désignant la fonction dérivée n-ème de f.

En savoir plus sur l'intégrale complexe :

  

Série de Taylor d'une fonction complexe :       

On démontre, au moyen des intégrales de Cauchy ci-dessus, que :

Si f est holomorphe au point zo, alors il existe un disque ouvert D de centre zo sur lequel f est holomorphe, y compris sur sa frontière g, et une unique suite (an) de complexes tels que pour tout complexe z de D : f(z) = f(zo) + (z - zo)f '(zo) + (z - zo)2f '(zo)/2! + ... + (z - zo)nf (n)(zo)/n! + ...

C'est dire que le développement en série entière d'une fonction holomorphe coïncide avec ce que l'on appelle encore dans ce cas complexe la série de Taylor associée à f.

   Goursat                     Séries de Laurent :

Les conditions d'harmonicité de P et Q explicitées ci-dessus permettent de prouver que deux fonctions holomorphes ayant même partie réelle diffèrent d'une constante imaginaire pure.

Une autre propriété fondamentale des fonctions holomorphes est la conservation des angles. Plus précisément :

On suppose que zf(z) est holomorphe sur un ouvert U contenant zo et f '(zo) 0. Si (C1) et (C2) sont deux courbes admettant une tangente en zo, alors l'angle orienté entre ces tangentes est le même qu'entre les tangentes en f(zo) aux courbes images f(C1) et f(C2).

On exprime cette importante propriété en parlant de transformation conforme :

Mercator Gerhard Kremer :

Pour en savoir plus :

Loi de Cauchy (probabilités) :

Il s'agit de la loi absolument continue de densité :

On est en présence d'une loi de Student à 1 degré de liberté. La fonction de répartition est facile à calculer puisque 1/(1 + x2) n'est autre que la fonction dérivée de Atan x. Cette loi n'a ni moyenne, ni variance : intégrales sur R de xf(x) et x2f(x). Mais la médiane est nulle.

On parle également de distribution de Lorentz (H. A. Lorentz, physicien hollandais, 1853-1928) : on la rencontre en physique dans des phénomènes de résonance avec une forme plus générale :

les nombres s et t sont respectivement les paramètres d'échelle et de position.


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  Phénomène aléatoire suivant une loi de Cauchy

  Une application concrète sur le site de l'ENST : http://www.tsi.enst.fr/~cappe/cours/fete/tp.pdf

Problème de Cauchy :

Cauchy met en place une vaste théorie des équations différentielles et aux dérivées partielles : existence, recherche et unicité des solutions selon les conditions initiales : problème de Cauchy, couronnement des travaux des grands mathématiciens qui le précédèrent comme les Bernoulli, Euler, Riccati, Lagrange. Dans le cas simple de l'équation linéaire du 1er ordre sous la forme

x J, y' = a(x)y + b(x), yo = f(xo)

on a le résultat suivant qui sera généralisé aux systèmes différentiels par Lipschitz :

Théorème de Cauchy-Lipschitz :     

Il existe une unique solution y = f(x) pour tout de J vérifiant yo = f(xo), à savoir :

Un exemple élémentaire du problème de Cauchy : Déterminer les fonctions numériques réelles telles que pour tout x de R, y' = y et f(0) = 1. On sait que la réponse est unique : il s'agit de la fonction exponentielle de base e : x ex.

On ne confondra pas le problème de Cauchy avec le problème plus général et plus difficile des conditions aux limites (ou problème aux limites) : si l'équation différentielle est étudiée sur un intervalle J = [a,b], celle-ci peut être soumise à une (ou plusieurs) conditions portant sur les bornes de J, comme une relation du type (x,y,a,b) = 0.

Euler et l'étude de la fonction exponentielle :        Sofia Kovalevskaïa

Autres contributions :

La voie s'ouvre pour l'introduction des matrices. Ce sera l'œuvre de Cayley et Sylvester (1843) à qui l'on doit (1841) la notation actuelle des déterminants, entre barres comme :

Selon, F. Cajori, un an avant (1840), dans un fascicule d'Exercices d'analyse et de physique mathématique, Cauchy dont les notations de 1815 n'étaient pas des plus simples et pratiques, utilisa une forme proche pour désigner une forme multilinéaire alternée (déterminant) :