ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

CAUCHY baron Augustin-Louis, français, 1789-1857
       
   En France, la prise de la Bastille le 14 juillet 1789 marque la chute de la monarchie | intégration par parties & exercices

Souvent considéré comme un des plus grands mathématiciens après Euler, ami de ses aînés Lagrange, Legendre et Laplace. Polytechnicien à 16 ans, il se fit connaître quatre ans plus tard, en démontrant élégamment la fameuse formule de Descartes-Euler : S - A + F = 2 relative aux polyèdres convexes où S, F et A désignent les nombres de sommets, de faces et d'arêtes. Cauchy en déduit qu'il ne peut exister que cinq polyèdres convexes réguliers constructibles à la règle et compas (au sens d'Euclide).

Ingénieur des ponts et chaussées, Cauchy dirigea les travaux de la construction du port de Cherbourg mais il préférera, l'année de son élection à l'Académie des sciences (1816), enseigner au Collège de France (physique mathématique), à l'École Polytechnique (mécanique) et à la Sorbonne (mathématiques). On luit doit (1822) la première théorie mathématique de l'élasticité.

Le collège de France :    

Le Collège de France ( réf.10) fut fondé par François Ier en 1530 à l'initiative de Guillaume Budé sous l'appellation initiale de Collège royal. Les cours sont publics. Tous les savoirs (52 chaires actuellement) y sont enseignés par les plus éminents spécialistes nommés par le Chef de l'État. Cette institution purement culturelle ne prépare à aucun examen ou concours et ne délivre aucun diplôme.

Rénovant l'analyse fonctionnelle réelle dont l'intégrale ( §3) et l'étude des suites et séries numériques ( §2), le couronnement des travaux de Cauchy réside sans conteste dans la création totalement nouvelle de la théorie des fonctions d'une variable complexe et de la théorie des résidus ( §5), relative à l'intégration d'une fonction complexe sur un contour, qu'il développera pendant plus de trente ans, entre 1814 et 1846, ramenant le calcul d'une intégrale à un simple calcul de coefficients et applicable dans le domaine réel ou complexe.

La carrière de Cauchy fut contrariée par les événements politiques : disgracié à la révolution de 1830 (qui détrôna Charles X au profit du duc d'Orléans Louis-Philippe), il quitte la France pour l'Italie : il enseigna à l'université de Turin où une chaire de mathématiques est créée à son intention, puis à Prague où il fut le tuteur du jeune Henri  d'Artois, petit-fils du roi Charles X, exilés là sous la protection de la famille impériale autrichienne (empire austro-hongrois).

Cauchy retrouvera une chaire d'astronomie à la faculté des sciences de Paris en 1838, qu'il quitte en 1852 suite au coup d'État de Louis-Napoléon Bonaparte du 2 décembre 1851 (alors président de la République) voulant rétablir l'empire français. Ce n'est qu'en 1854 que Cauchy retrouvera son poste auquel Puiseux succédera.  

I - Les Cours d'Analyse, vers la rigueur :

Cauchy publia (1821) son Cours d'analyse et son Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal (1823, réf.5) qui eurent très grande audience et constituèrent le premier exposé rigoureux sur les fonctions numériques. Cauchy formalise, en particulier, des notions fondamentales, en particulier :

  Notion de limite :        

Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.

Cauchy utilise couramment l'abréviation lim placée devant la variable pour préciser sa limite, une notation initiée par Lhuilier. Voici l'exemple donné par Cauchy de sinα/α lorsque α converge vers 0 :

Cette variable, se présente sous la forme indéterminée 0/0 et pourtant possède une valeur fixe que l'on peut calculer ainsi : On a évidemment, pour de très petites valeurs numériques de α :

Par conséquent, le rapport sinα/α, toujours compris entre les deux quantités sinα/sinα = 1 et sinα/tanα = cosα, dont la première sert de limite à la seconde, aura lui-même l'unité pour limite.

Le lecteur pourra vérifier la preuve de Cauchy. Pour l'encadrement, on se limitera à des constatations graphiques. On se penchera sur sa validité eu égard au signe de α.

Quelques limites « usuelles » :

  Fonction d'une variable :      

« Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles, que, la valeur de l’une d’elles étant donnée, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on conçoit d’ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l’une d’entre elles, qui prend le nom de variable indépendante; et les autres quantités, exprimées au moyen de la variable indépendante, sont ce qu’on appelle des fonctions de cette variable. »

  Continuité sur un intervalle :       

« h désignant une quantité infiniment petite lorsque, la fonction f(x) admettant une valeur unique et finie pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites données, la différence f(x + h) - f(x) est toujours entre ces limites une quantité infiniment petite, on dit que f(x) est une fonction continue de la variable x entre les limites dont il s’agit. »

Intuitivement et graphiquement, on décrit la courbe représentative de f sans lever le crayon : pas de "trous". Sur le schéma ci-dessous, on a deux arcs de courbe "continus", et pour passer de l'un à l'autre, lorsque x = 1, il faut "lever" le crayon. Le point de coordonnées (1;0,5) a été renforcé pour préciser que l'image de 1 est 0,5 sur l'arc de gauche et non pas 1 sur celui de droite. La fonction f est ici définie par :

Les définitions plus rigoureuses de limite et de continuité ("avec les ε" comme disent les étudiants) seront le fait de l'allemand Weierstrass (1861). La formalisation usant des quantificateurs et des symboles logiques apparaîtra avec Bourbaki.

  Dérivabilité (d'une fonction continue)     

Si, lorsque h devient infiniment petit le rapport aux différences :

admet une limite finie, on le note f '(x), c'est une fonction de x, appelée fonction dérivée.

A propos du prime pour désigner la fonction dériver (écriture ), Cauchy parle de notation "accentuée" et que l'on peut aussi écrire y' s'il n'y a pas d'ambigüité relativement à la fonction étudiée.

   Rolle , Leibniz , Newton , d'Alembert , Lagrange (notation & sens de variation d'une fonction

Ces définitions permettent à Cauchy d'être le premier à établir rigoureusement la formule de Taylor en précisant les conditions de convergence vers la fonction développée. Toutefois, l'ensemble R des nombres réels n'est pas encore construit. Un nombre réel, à cette époque, est un nombre non imaginaire : entier, fractionnaire ou irrationnel.

Les nombres π et e sont irrationnels depuis Euler et Lambert mais pas encore transcendants. Il faudra attendre Lindemann et Liouville. Le flou entourant les nombres "réels" conduit Cauchy à des conclusions pouvant apparaître comme peu rigoureuses, voire fausses, comme, par exemple, son résultat sur la somme d'une série de fonctions selon lequel toute somme f = Σfn de fonctions fn continues en un point xo est elle-même continue en xo : la convergence uniforme, nécessaire ici, sera définie par Weierstrass.

La continuité uniforme sera le fait de Heine. Cauchy utilisait également implicitement que, hormis en quelques points singuliers, toute fonction continue admet une dérivée. Riemann, puis Bolzano et Weierstrass donneront un exemple de fonction continue en tout point d’un intervalle et n’étant pourtant dérivable en aucun point.

 
Dérivée non continue :  étude de la fonction f : x x2cos(1/x) , Étude de fonctions

Cauchy traite par ailleurs des intégrales définies et indéfinies, des méthodes différentielles, du calcul sur l'exponentielle et le logarithme complexes, des formules de Maclaurin et de Taylor (leçons 36 à 39) qu'il exprime sous les formes actuelles :

Contre-exemple de Cauchy :   

Maclaurin et Taylor n'avaient pas établi de conditions de convergence. Dans sa 38è leçon, Cauchy étudie ce problème et donne un exemple de développement de Taylor convergent, mais non vers la fonction initiale,  à savoir f : x e-1/x² avec la valeur de continuité f(0) = 0.

Contre-exemple de Cauchy :

Le théorème des valeurs intermédiaires :

Cauchy énonce et démontre (Cours d'analyse, 1821) ce résultat fondamental :

 

Autrement dit et plus généralement, car l'image d'une partie connexe par une fonction continue est connexe :

yJ, xI , y = f(x). 

Corollaire : si f est strictement monotone sur I, x est unique (f est une bijection de I sur J).

 
Application du théorème à une équation polynomiale de degré 5 , voir aussi degré 4

Accroissements finis et théorème de la moyenne :            Formules de la moyenne :

II - Suites et séries, suites de Cauchy :

Cauchy affine également les concepts de suite et de série numériques (à valeurs dans R) ainsi que leurs conditions de convergence dans ses cours à l'École polytechnique (1823). Une suite (un) est dite convergente si la fonction nun qu'elle représente admet une limite finie lorsque n tend vers l'infini. Une série est convergente si la suite de ses sommes partielles est convergente.  Il expose dans ce cours son célèbre critère de convergence pour les suites numériques :

Critère de Cauchy pour les suites numériques :    

ε désignant un nombre arbitrairement petit et positif, une suite de Cauchy est une suite numérique (un) pour laquelle |um - up| < ε à partir d’un certain rang Nε (c'est à dire dès que m > Nε , p > Nε). Il est clair que :

Toute suite convergente est une suite de Cauchy

Inversement, toute suite de Cauchy réelle ou complexe (à valeurs dans R ou C) est convergente et la définition précédente devient le critère de convergence de Cauchy.

Depuis les travaux de Banach, on généralise le concept de suite de Cauchy aux espaces vectoriels normés complets (espaces de Banach), en particulier les espaces fonctionnels (dont les éléments sont des fonctions).

En savoir plus sur les suites, la convergence, les suites de Cauchy :               Fréchet , Hilbert , Banach

Concernant les séries convergentes de fonctions continues, Cauchy avança imprudemment, dans son cours d'analyse de 1821, que leurs sommes sont continues. Ce qui s'énoncerait :

Si les fn sont continues au point xo et si la série Σfn(x) est convergente dans un voisinage V de xo, alors la fonction limite f ainsi définie dans V est continue en xo :

En 1826, Abel corrigea cette affirmation au moyen d'un contre-exemple relativement simple :

Contre-exemple d'Abel :               Séries, convergence, critères de Cauchy, produit de Cauchy :

III - Intégration selon Cauchy (cas d'une fonction réelle) :            Intégrale complexe | Intégrale selon Riemann

Entre 1814 et 1825, Cauchy travaille sur la notion d'intégrale sur un intervalle fermé borné suite aux travaux de Leibniz et de Newton établissant le lien entre dérivée, primitive et aire sous la courbe. Il formalise l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle fermé en se détachant, et c'est tout à fait nouveau, tant du lien géométrique (aire) que du lien avec la dérivation (Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal (1823, 21è leçon, page 81, réf.5). Dès lors est née une théorie moderne de l'intégration qui sera revisitée, en particulier, par Riemann (1854), puis Lebesgue (1902).

Toutefois, dans sa démonstration quant à la convergence de S définie ci-dessus :

S = (x1 - xo)f(xo) + (x2 - x1)f(x1) + (x3 - x2)f(x2) + ... + (xi - xi-1)f(xi-1) + (xi+1 - xi)f(xi) + (X - xn-1)f(xn-1)

Cauchy utilise implicitement la continuité uniforme ( Heine) de f sur l'intervalle [xo,X], ce qui n'est pas faux en l'occurrence puisque cet intervalle est fermé et borné, mais peut engendrer de fausses conclusions lorsqu'il s'agira de passer à la limite sur des intervalles dont une borne (au moins) pose problème.

Rappelons aussi que Cauchy pensait qu'en dehors de cas pathologiques, toute fonction continue est dérivable, résultat démenti par Weierstrass, et que la somme d'une série de fonctions continues est continue, résultat démenti par Abel. Mais ses Cours d'analyse et ses Leçons sur le calcul infinitésimal, d'une impressionnante modernité, sont un vrai régal et ont justement permis de poser et résoudre ces problèmes subtils que personne avant lui n'avait soulevés.

Au vu de la somme S, il s'agit bien implicitement d'établir le lien entre l'intégrale et l'aire sous la courbe lorsque f est positive sur l'intervalle considéré. Elle est remplacée par une fonction en escalier et S représente la somme des aires des rectangles. Sous les conditions imposées que les différences deviennent très petites lorsque "n est très considérable", les portions d'aires de rectangles en excès et en manque s'amenuisent : S converge vers l'aire sous la courbe.

Afin de prouver le lien fondamental entre fonction primitive, fonction dérivée et intégration, Cauchy définit la notion d'intégrale indéfinie (page 101) :

Cauchy étudie les propriétés de la fonction définie par :

et prouve tout d'abord que '(x) = f(x).

Ayant résolu l'équation différentielle dy = f(x)dx en montrant que (x) en est solution au même titre que toute autre fonction F différant d'une constante arbitraire C, soit F(x) = (x) + C, Cauchy aboutit, sans parler de fonction primitive, comme le fit Lagrange, à la formule fondamentale :

Le calcul de Cauchy pour obtenir  '(x) = f(x) est semblable à celle utilisée en classe de Terminale S sans faire usage  des sommes du type Σ(xi+1 - xi)f(xi) que l'illustre mathématicien allemand Bernhard Riemann introduira également en 1854 dans une approche plus sophistiquée pour l'intégration des fonctions bornées, coïncidant avec celle de Cauchy pour les fonctions continues.

La démarche utilisée est la suivante et contourne le théorème de la moyenne au profit de ce qu'on appelle au lycée le théorème des gendarmes :

Par définition :

Si  f est continue et positive un intervalle [a,b], on appelle intégrale de f sur [a,b] l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b : aire "sous la courbe", nombre évalué en unités d'aire, donc indépendamment de toute unité choisie sur les axes.

 Si f est négative sur [a,b], l'intégrale sera l'opposé de l'intégrale de -f. Si f change de signe sur [a,b], son intégrale sera la somme des intégrales calculées sur chaque sous-intervalle où elle garde un signe constant.

Supposons maintenant f continue sur l'intervalle [a,b] contenant le sous-intervalle [xo, xo + h] sur lequel f est positive et croissante (h > 0). Notons A(x) l'aire sous la courbe calculée sur l'intervalle [a,x]. L'aire sous la courbe (en bleu) sur [xo, xo+ h] s'écrit alors A(xo+ h) - A(xo) et on a l'encadrement :

hf(xo) ≤ A(xo+ h) - A(xo) ≤ hf(xo + h)

Divisons par h :

On reconnaît le taux d'accroissement de A sur l'intervalle [xo, xo+ h]. Faisons tendre h vers 0. La fonction f est continue; par conséquent f(xo + h) a pour limite f(xo) et le théorème des gendarmes permet de conclure à la dérivabilité de x A(x) en xo et on a :

A'(xo) = f(xo).

Intégration selon Riemann et propriétés de l'intégrale :


1.  niveau TerS : Aire sous la parabole      2.  niveau SUP : Intégrale de Wallis       
3.
 niveau SUP : Calcul d'intégrales & primitives diverses      4. Autres exercices : niveau bac , niveau sup.
 
Formule d'intégration par parties :

C'est encore dans son Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal (1823, 27è leçon) que Cauchy énonce sa formule d'intégration par parties :

On peut préférer l'écriture différentielle plus condensée :

L'intégration par parties est un outil extrêmement efficace. On l'utilise systématiquement dans le calcul d'intégrales "récurrentes" de la forme In = fn(x) dx afin de calculer une relation entre In et In-1 ou In-2.


1. Montrer que les primitives de x ln(x) sont x x.ln(x) - x + C.  Indications : faire jouer à ln(x) le rôle de v.

2.  Par une double intégration par parties, calculer l'intégrale sur l'intervalle [0,1] de la fonction x x2e-x.
Rép : 2 - 5/e

3.     
   
Calculer I5 à 10-2 près. 
Indications : on calculera Io et on utilisera la relation de récurrence. Rép :  Io= 42/3  et  I5= -327682/9009

4.  Sachant que -cotan x est une primitive de 1/sin2x  (fonction cotangente), calculer les primitives de 1/sin4x.
   
Indications et réponse : si j(x) désigne les primitives cherchées, on vérifiera, en procédant par parties, que
    j(x) = -cosx/sin3x - 2j(x) + 2dx/sin2x. D'où 3j(x) = -cosx/sin3x - 2cotan x = -3cotan x - cotan3 x + C

5.
b) Montrer que f ', fonction dérivée de f, vérifie x2f '(x) = f '(x) - 1 pour tout x de ]-1,+1[.
Indic. : f '(x) = 1/(1-x2).

Indic. : t t f(t) étant paire, on peut intégrer sur [0,1/2] et multiplier par 2 le résultat. En posant f(t) = u et tdt = dv, le terme à intégrer
deviendra t2f '(t) que l'on remplacera par f '(t) - 1, ce qui conduira facilement à J = 1/4 - 3ln(√3)/8 0.088.

Critère de Cauchy pour la convergence d'une intégrale généralisée :   

Soit f une fonction continue sur tout intervalle fermé [a,u], u > a. L'intégrale de f sur [a,+[ est convergente si et seulement si :

ε > 0, u > a : (x > u , x' > u)

En utilisant ce critère et la seconde formule de la moyenne (seconde formule de Bonnet), on peut prouver ce théorème très utile :

Si f est positive et décroissante sur I = [a,+∞[ avec lim+∞ f = 0 et g intégrable et bornée sur tout intervalle fini K de I vérifiant
|
K g(x)| ≤ M où M désigne un réel positif indépendant de K, alors l'intégrale généralisée |I
f(t)g(t)|  est convergente.  

De ce résultat, on déduit par exemple que l'intégrale de Dirichlet, intégrale sur R+ de sin(x)/x, est convergente.

Calcul de l'intégrale de Dirichlet :                  Darboux, Lebesgue , Stieltjes   

IV - La théorie des fonctions d'une variable complexe :

Le calcul différentiel et intégral dans le plan complexe prolonge le cas réel mais on y rencontre de grandes difficultés dues au fait que C s'apparente à R2 : un subterfuge est alors l'usage des fonctions de deux variables réelles.

Conditions de Cauchy pour la dérivation (également dites de Cauchy-Riemann) :         

La dérivabilité se définit comme dans le cas réel par usage du taux d'accroissement. En notant Δz = z - zo et et Δf = f(z) - f(zo), f est dite dérivable (en zo si le rapport Δf/Δz admet une limite finie quelle que soit la façon dont z tend vers zo dans le plan complexe.

Cette limite est alors noté f '(zo), nombre dérivée de f en zo. On disait à l'époque que f est monogène en zo.

Dire que Δz tend vers 0 signifie que le module de Δz, à savoir |z - zo|, tend vers 0. Concernant ces fonctions complexes, Cauchy parlait de fonction monogène en zo plutôt que de fonction dérivable. Cette terminologie perdura jusqu'aux années 1950. Notons ici que l'on doit à Cauchy le terme d'argument d'un nombre complexe (1838), terme emprunté à l'astronomie mesurant l'angle de la position de la lune sur son orbite compté à partir du point où cette orbite coupe celle de la Terre (Encyclopédie de d'Alembert et Diderot, 1752). Argand , Wessel.

De manière équivalente, on peut exprimer la dérivabilité en zo par l'existence d'une fonction ε de la variable z telle que :

Δf = [f '(zo) + ε(z)] Δz  avec ε(z) 0 quelle que soit la façon dont z tend vers zo dans C.

On peut alors choisir de faire tendre z vers zo en posant z = zo + x, x réel tendant vers 0, ce qui fournit Δf = [f '(zo) + ε(z)] x Δx ou bien en posant z = zo + iy, y réel tendant vers 0, ce qui fournit Δf = [f '(zo) + ε(z)] x iΔy et le passage à la limite conduit aux égalités :

        (fprime)        notion de dérivée partielle

Dans le cas fréquent où f(z) peut se mettre sous la forme P(x,y) + iQ(x,y) en séparant les parties réelle et imaginaire, la dérivabilité de f nécessite la dérivabilité partielle des fonctions réelles P et Q en xo et yo et les égalités (conditions de Cauchy-Riemann) :

       (ccr)

Ces conditions nécessaires pour la dérivabilité en un point s'avèrent suffisantes. Plus précisément :

En posant z = x + iy et f(z) = P(x,y) + iQ(x,y), une condition nécessaire et suffisante de dérivabilité de f en un point zo est que P et Q soient différentiables en zo et vérifient en ce point les conditions (ccr) ci-dessus. On a alors selon (fprime&) :

  En termes d'opérateurs de dérivation, en posant :

,

on remarquera que f '(zo) = z f(z o) et que les conditions de Cauchy peuvent se résumer à z f(zo) = 0, z désignant le complexe conjugué de z.

Riemann , Morera                différentielle exacte

Harmonicité  :    

Les conditions de Cauchy-Riemann impliquent immédiatement que les fonctions P et Q sont harmoniques :

               laplacien (notation Δ)

Comme on le voit ci-dessous, Calcul infinitésimal de 1823, Cauchy définit le logarithme complexe en utilisant la notation z = x + y ou bien la forme trigonométrique z = r(cosθ + .sinθ). Gauss systématisera (1831) l'usage de z = x + iy (i, comme imaginaire, est la notation d'Euler pour ).

Fonction analytique, fonction entière et fonction holomorphe, dite "synectique" par Cauchy :   

Une fonction de C dans C est dite holomorphe sur un ouvert U de C si elle est uniforme sur U (chaque image est unique, ce qui n'est pas toujours le cas) et dérivable en tout point de U (au sens défini ci-dessus).

Holomorphe, holomorphie : du grec holo = entier et morphê = forme, appellation due à Bouquet en remplacement de synectique (du grec sunektikos = compréhensif) proposé par Cauchy.

Les conditions d'harmonicité de P et Q explicitées ci-dessus permettent de prouver que deux fonctions holomorphes ayant même partie réelle diffèrent d'une constante imaginaire pure.

  Ne pas confondre fonction uniforme (dont toute image est unique, terme dû à Hermite, dite monotypique par Cauchy) et fonction univalente : il s'agit alors d'une fonction holomorphe (uniforme et dérivable) et injective (des images égales ont des antécédents égaux).

Fonctions méromorphes :                  Fonctions multiformes et surfaces de Riemann :

Une fonction (réelle ou complexe), est dite analytique (terme dû à Condorcet) en un point xo intérieur à son ensemble de définition U si elle est développable en série entière dans un voisinage de xo : il existe une série Σan(x - xo)n, n 0, convergeant vers f(x) dans un voisinage de xo inclus dans U.

Les fonctions holomorphes sur U coïncident avec les fonctions analytiques sur U, c'est à dire développables en série entière car contrairement aux fonctions numériques (réelles), en conséquence du théorème de Cauchy-Goursat énoncé ci-après :

Toute fonction complexe continument dérivable sur U est infiniment dérivable sur U

Une fonction holomorphe en tout point de C est dite entière : elle est développable en série entière Σanzn en tout point de C.

La somme f + g, le produit f.g et le quotient f/g (dans ce dernier cas si g ne s'annule pas sur U) de fonctions holomorphes est holomorphe.

La conservation des angles, une propriété des fonctions holomorphes (transformations conformes) :  

Une propriété fondamentale des fonctions holomorphes est la conservation des angles. Plus précisément :

Soit zf(z) est holomorphe sur un ouvert U contenant zo et f '(zo) 0. Si (C1) et (C2) sont deux courbes admettant une tangente en zo, alors l'angle orienté entre ces tangentes est le même qu'entre les tangentes en f(zo) aux courbes images f(C1) et f(C2).

On exprime cette importante propriété en parlant de transformation conforme :

Mercator Gerhard Kremer :           Lelong-Ferrand , Bierberbach , Morera

Inégalité de Cauchy et conséquences :

Soit f une fonction holomorphe non constante et non réduite à un monôme sur un domaine D contenant O, et Σanzn son développement en série entière de rayon de convergence R. Alors, en notant M(r) le maximum de | f(z) | pour |z| = r, on a pour tout n de N : | an | < M(r)/rn.

Remarque : si f se réduit à un monôme αzn, l'inégalité ne s'applique pas : dans ce cas M(r)/rn = |α|.

Conjecture de Denjoy :

On a en conséquence :

1. Si une fonction f, non constante, est holomorphe sur U ainsi que sur sa frontière F, alors le maximum
de |f(z)| sur UF est atteint en un point de F.

2. Théorèmes de Cauchy-Liouville :    

a/  Toute fonction entière (holomorphe sur C tout entier) et bornée est constante.
b/  Soit k un entier non nul, si limr→∞ M(r)/r
k
= 0, alors f est un polynôme de degré k.

3. Si f est une fonction holomorphe sur un domaine D borné du plan complexe ainsi que sur sa frontière, alors f admet un nombre fini de zéros dans D.

Ordre d'une fonction entière :    

Selon l'inégalité de Cauchy énoncée ci-dessus, si f est entière, on a  M(r)/rn > | an | pour tout n de N. C'est dire que le maximum de | f | sur le disque |z| = r, qui est une fonction croissante de r, se comporte vis à vis des puissances n-èmes de r comme une exponentielle de r. D'où l'idée, due à Émile Borel, de classer les fonctions entières selon la comparaison du logarithme de M(r) par rapport à r, ce qui revient à comparer loglogM(r) par rapport à Log r en définissant l'ordre ρ de f par :

Pour une fonction méromorphe sur un disque |z| < R (rayon de convergence de sa série, son ordre ρ est définie par :

Les notions de limite inférieure et supérieure :  

V - L'intégration des fonctions complexes :

Considérons une fonction  complexe zf(z) avec z = x +iy et f(z) = P(x,y) + iQ(x,y). La définition de l'intégrale de f sur un arc de courbe continu (c), fermé ou non, d'origine A, d'extrémité B sur lequel on aura choisi un sens de parcours positif (celui des abscisses curvilignes croissantes) se définit comme dans le cas réel à la manière de l'intégrale réelle selon Cauchy ou Riemann.

Ces sommes Sn s'écrivent ici :

Sn = (z1 - zo)f(c1) + (z2 - z1)f(c2) + (z3 - z2)f(c2) + ... + (zn - zn-1)f(cn)

Les zk forment une subdivision de l'arc de courbe (c) et si ces sommes admettent une limite lorsque Max |zk - zk-1| tend vers 0, on démontre que cette limite ne dépend ni de la subdivision, ni du choix des ck. On l'appelle intégrale de f sur (c) et on écrira :

En savoir plus sur l'intégrale complexe :              Calcul des résidus :          Goursat , Morera

VI - Loi de Cauchy (calcul des probabilités) :

Il s'agit de la loi de probabilités continue, définie de densité :

Sachant que x 1/(1 + x2) est la fonction dérivée de la fonction Arc tangente, xAtn x, fonction réciproque de la fonction tangente sur l'intervalle ]-π/2, +π/2[, on a (en tenant compte de l'imaprité) :


Pour qu'une fonction soit intégrable sur R tout entier (
intégrale généralisée) , il faut et il suffit qu'elle soit intégrable sur ]-,0] et sur [0,+[, c'est à dire sur ]-α,0] et sur [0,+α[ et que la convergence soit assurée en faisant tendre α vers l'infini.

La fonction de répartition, définie de R sur ]0,1[, est :

    

Espérance mathématique (moyenne), variance :   

Cette loi n'a ni moyenne, ni variance :

La notion d'intégrale généralisée (bornes infinies) :

Remarques :

les nombres s et t sont respectivement les paramètres d'échelle et de position.
 


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Phénomène aléatoire suivant une loi de Cauchy (distribution uniforme sur le cercle)

Notions sur les lois de probabilités continues :

VII - Problème de Cauchy :

Cauchy met en place une vaste théorie des équations différentielles et aux dérivées partielles : existence, recherche et unicité des solutions selon les conditions initiales : problème de Cauchy, couronnement des travaux des grands mathématiciens qui le précédèrent comme les Bernoulli, Euler, Riccati, Lagrange. Dans le cas simple de l'équation linéaire du 1er ordre sous la forme

x J, y' = a(x)y + b(x), yo = f(xo)

on a le résultat suivant qui sera généralisé aux systèmes différentiels par Lipschitz :

Théorème de Cauchy-Lipschitz :     

Il existe une unique solution y = f(x) pour tout de J vérifiant yo = f(xo), à savoir :

Un exemple élémentaire du problème de Cauchy : déterminer les fonctions numériques réelles telles que pour tout x de R, y' = y et f(0) = 1. On sait que la réponse est unique : il s'agit de la fonction exponentielle de base e : x ex.

On ne confondra pas le problème de Cauchy avec le problème plus général et plus difficile des conditions aux limites (ou problème aux limites) : si l'équation différentielle est étudiée sur un intervalle J = [a,b], celle-ci peut être soumise à une (ou plusieurs) conditions portant sur les bornes de J, comme une relation du type φ(x,y,a,b) = 0.

Euler et l'étude de la fonction exponentielle :        Sofia Kovalevskaïa

VIII - Autres contributions :

                       

Selon, Florian Cajori, un an avant (1840), dans un fascicule d'Exercices d'analyse et de physique mathématique, Cauchy dont les notations de 1815 n'étaient pas des plus simples et pratiques, utilisa une forme proche pour désigner une forme multilinéaire alternée illustrée ci-dessus à droite.

On doit encore à cet immense mathématicien français que fut Augustin Cauchy :

Soit (G,*) un groupe fini d'ordre p, d'élément neutre e, alors :
l
'ordre de tout sous-groupe divise p et il existe un élément x de G tel que xp = e

Rappel : l'ordre d'un groupe fini est son cardinal (nombre de ses éléments). xp désigne ici x*x*x..., composé de p éléments égaux à x.

Preuve de cet important résultat :


Pour en savoir plus :

  1. Calcul infinitésimal, Jean Dieudonné, Ch. VII, La théorie de Cauchy, Ed. Hermann, Collection Méthodes - Paris, 1968.

  2. THEORIE des FONCTIONS (réelles et complexes), Georges Valiron, Éd. Masson, Paris - 1942.
  3. Cours de mathématiques, Jean Bass, tome II, Éd. Masson - Paris, 1964.
  4. Calcul différentiel complexe, par Daniel Leborgne - Que sais-je n°2560, Éd. P.U.F.
  5. Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal, Augustin-Louis Cauchy
    Les cours historiques de l'Ecole Polytechnique (1823), Éd. MARKETING (ellipses) - 1994.
    En ligne sur Gallica : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62404287
  6. Fonctions analytiques (complexes), cours de Cyrille Barreteau (CEA) et Elie Raphaël (ESPCI)
  7. Cours de Noëlle Pottier (université Paris 7) :
     Fonctions analytiques complexes : http://www.msc.univ-paris-diderot.fr/~pottier/page2/files/Chapitre_4.pdf
     Intégration complexe : http://www.msc.univ-paris-diderot.fr/~pottier/page2/files/Chapitre_5.pdf
  8. Les généralisations de la notion mathématique d'intégrale au 19è siècle, par Jean-Philippe Villeneuve sur CultureMath (ENS) :
    http://culturemath.ens.fr/histoire des maths/htm/villeneuve-2008/villeneuve2008.html
  9. Leçons sur les fonctions entières, par Émile Borel (1900), numérisé sur Internet Archive
    https://archive.org/stream/leonssurlesfonc02boregoog#page/n7/mode/2up
  10. Site officiel du collège de France :
    - http://www.college-de-france.fr/site/college/index.htm

    - Département mathématiques : http://www.college-de-france.fr/site/alain-connes/index.htm


Poncelet    Möbius 
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