ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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LIPSCHITZ Rudolf, allemand, 1832-1903                   exercices

Après des études à la célèbre université de Königsberg et à Berlin où il obtint son doctorat (1853) sous la direction de Dirichlet (sa thèse, écrite en latin, fut traduite par Montel), Rudolf Otto Sigismund Lipschitz enseigna au lycée de Königsberg.

En 1857, Lipschitz obtient un poste à l'université de Berlin (1857) puis à Breslau (autrefois prussienne, actuelle ville de Wroclaw en Pologne depuis 1945) et enfin à Bonn (1864) où il fut, avec Plücker, le directeur de thèse de Felix Klein en 1868.

Ses travaux concernent la théorie algébrique des nombres (systèmes hypercomplexes, algèbre de Lipschitz), les variétés riemanniennes, les équations différentielles aux dérivées partielles et les systèmes différentiels où il confirma et précisa des résultats de Cauchy :

Condition de Lipschitz, fonction lipschitzienne, fonction contractante :

Dans un espace métrique ou vectoriel normé E, une fonction f vérifie la condition de Lipschitz, dite aussi de Hölder, d'ordre a > 0, de rapport k > 0, si pour tout (x,y) :
 

d[f(x),f(y)] k.[d(x,y)]a  , ou cas d'un e. v. normé : || f(x) - f(y)] k.|| x - y ||a

Lorsque a = 1, la fonction est dite lipschitzienne. Si, de plus, k < 1, la fonction est dite contractante. Une fonction lipschitzienne est uniformément continue sur E.

Lorsque E = R muni de sa distance usuelle d(x,y) = | x - y | (valeur absolue) dire que la fonction f est lipschitzienne de rapport k > 0 signifiera :

 pour tout (x,y), | f(x) - f(y) | k.| x - y |

Si f et g sont lipschitziennes, il en est de même de f + g et λf pour tout réel λ.

Ces fonctions constituent donc un sous-espace vectoriel de (R), espace vectoriel des fonctions numériques définies sur R. Résultat identique si on limite l'ensemble de définition de f à un intervalle I de R.

1. a)  Prouver que x | x | est lipschitzienne.
    b)  Prouver que la composée de deux fonctions lipschitziennes est également lipschitzienne.
    c)  En cherchant à faire apparaître f(x) - f(y) et g(x) - g(y) dans la différence (f x g)(x) - (f x g)(y),
         trouver une condition sur f et g afin que le produit de deux fonctions lipschitziennes soit lipschitzienne.

2. On suppose que f(R) est contractante. On pose g(x) = f(x) - x.
    a)  Prouver que la fonction g est lipschitzienne.
    b)  Prouver que g est strictement décroissante et réalise une bijection continue de R sur R.
            Afin de calculer les limites de g en ± , rechercher un encadrement de g(x) en remarquant que
       
    | f(x) - f(o) | (1 - u).| x | avec 0 < u < 1.

Cet exercice est un cas particulier d'un théorème de point fixe :

Un théorème de Banach :

Un point fixe d'une fonction f : E E est un point de E invariant par f, c'est à dire tel que f(x) = x. Lorsque f est un espace de Banach

Toute fonction contractante de E dans lui-même admet un unique point fixe

  Banach                       Brouwer et théorème du point fixe :
Théorème de Lipschitz pour les systèmes différentiels :

Ce théorème énonce et généralise aux systèmes différentiels la solution du problème de Cauchy : quitte à augmenter le nombre d'inconnues yk fonctions de x (et donc le nombre d'équations du système), on peut se ramener au cas où seules les dérivées premières interviennent dans le système (forme canonique). Soit donc un système différentiel ainsi posé :

En notant respectivement Y et Y' les matrices colonnes d'éléments y1, ... yn et y'1, ... y'n, le système prend la forme :

Y' = f(x,Y)

Soit (xo,Yo) donné. S'il existe un voisinage V de (xo,Yo) dans lequel (x,Y)f(x,Y) est continue et lipschitzienne alors, il existe une unique solution du système contenant (xo,Yo).

  Pour en savoir plus :


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