ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 ARGAND Jean Robert,
français, 1768-1822 |
Suisse d'origine, juge et comptable à Genève, ce
mathématicien amateur s'installera libraire à Paris et sera le
premier, avec Wessel
(arpenteur et
géomètre danois, 1745-1818), à interpréter
géométriquement les nombres imaginaires (qualifiés ultérieurement de
complexes par Gauss) et les opérations s'y rattachant :
représentation, addition, multiplication. Mais son mémoire resta méconnu
près d'un siècle !
Argand reprend les mêmes idées que Wessel dans son Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques (1806) la même année que l'abbé Buée. Là encore, cet essai n'est guère pris en compte. Argand l'envoie à Legendre (1813) mais cet auteur inconnu laisse le grand mathématicien sceptique... Pourtant, cette année là, Français et Gergonne s'intéressent au sujet sans s'y attarder.
Ce seront Gauss (à qui l'on devra, en 1831, le qualificatif de complexe pour les nombres imaginaires) et Cauchy, 25 ans plus tard, qui adopteront définitivement ce point de vue et compléteront ses travaux. On doit aussi à Argand, dans ce même ouvrage une démonstration du théorème fondamental de l'algèbre.
Il est étonnant que l'idée d'une représentation
géométrique des nombres complexes laissa tant d'années récalcitrants tant de
mathématiciens européens de haut niveau d'autant que
Wallis en 1685 en avait été le pionnier dans son Traité d'Algèbre, De
Algebra tractacus !
|
Plan complexe ou diagramme d'Argand ou plan d'Argand-Cauchy : |
Également appelé plan d'Argand-Gauss, il s'agit d'un plan euclidien muni du repère orthonormé (O,1,i) où i désigne le célèbre nombre imaginaire dont le carré est - 1.
Dans son Essai,
Argand, tout comme Wessel, interprète
comme une
rotation de 90° de l'unité positive autour d'un point origine O. La notation i pour
n'est pas encore utilisée malgré la
notation d'Euler (1777).
En termes actuels, le point M est l'image
de z dans le plan affine euclidien de repère orthonormal
direct (O,1,i) avec i =
.
d'Alembert et les nombres imaginaires
:
| Une notation fondamentale : |
La vision d'Argand est clairement vectorielle dans les
notations : il distingue entre OA (longueur, nombre positif) et
,
"lignes dirigées", notation des
mesures
algébriques d'aujourd'hui.
est l'opposé de
. Réservée aujourd'hui pour les mesures algébriques sur un axe,
elle fut également utilisée antérieurement par
Carnot.
La notation
désigne alors
le nombre cosq +
.sinq où
q désigne l'angle que fait
avec l'unité
positive notée
1. 
désignera le nombre
complexe z = r(cosq +
.sinq)
en posant r = OM.
En termes de
coordonnées polaires, on a M(r,q) et sur l'axe
polaire [OM), 
est l'opposé de : on a N(r,q
+ p); les nombres complexes d'images M et N sont opposés.
de Moivre , Lefébure de Fourcy
| Module & argument, forme z = r(cosq + i.sinq) : |
On doit à Argand le terme module (du latin modulus = mesure) pour exprimer la longueur r = OM. Sur le schéma, A et M ont le même module r.
On passe de l'unité 1 à U par la rotation de centre O d'angle q, puis de U à M par l'homothétie de rapport r : la transformation qui à 1 associe M s'apparente à une similitude plane directe.
Transformations affines de type z' = az
+ b
:
Cauchy donnera le nom d'affixe au complexe z représenté par M. C'est encore Cauchy (1838) qui appellera argument l'angle q = (Ox,OM), terme emprunté au vocabulaire de l'astronomie, mesurant l'angle de la position de la lune sur son orbite compté à partir du point où cette orbite coupe celle de la Terre.
Cet argument est noté
généralement arg z
et cette appellation (et notation) désigne également la mesure de l'angle (Ox, OM).
On appelle argument principal et on note
Arg z la mesure de (Ox,OM)
comprise entre -p et +p;
plus précisément : -π < Arg z
π.
L'argument du nombre complexe nul est indéterminé.
Si z = x + iy = r(cosq +
i.sinq) , alors y/x = tanq,
d'où arg z = atan(y/x) + kp (
fonction atan arc tangente). Le signe de x (du
signe de cosq) et le signe de y (du signe de sinq)
permettent de calculer Arg z sans ambigüité.
Arg zz' = Arg z + Arg z mod. 2π
Si z est non nul, Arg 1/z = - Arg z mod. 2π
Si z' est non nul, Arg z/z' = Arg z - Arg z' mod. 2π
1 â désignant un angle de l'intervalle ]p/2;p],
calculer le module et un argument du nombre complexe z = 1/(1 - i.tan
â)
Indications :
remarquer que 1 + tan2 â = 1/cos2 â. On a z = cos â(cos â + i.sin â) = -cos â(-cos â - i.sin â) = -cos â[-cos (p
+ â) + i.sin ( p
+ â)].
Le module de z est donc -cos â (positif) et un argument est
p + â.
2
On pose u = sin
2â - i(1 + cos
2â), v = (1 - cos
2â) - i.sin
2â et z = u/v , â 
]0;p/4].
Montrer que u/v = 1/tan â
3
z = x + iy et z' = x' + iy' sont deux nombres complexes. Montrer que Re(zz')
| z |.|z'|
Indications :
si Re(zz')est négatif, le cas est
trivial, sinon, élever au carré : une identité remarquable devrait apparaître...
4
Soi P un polynôme à coefficients réels admettant z comme zéro, montrer que l'on a aussi P(z) = 0. Autres exercices
niveau Terminale et Sup :
Dans l'addition géométrique des nombres complexes, Argand
est amené à poser
la formule :
C'est la formule dite de Chasles. La notation fléchée semble apparaître, en France, et sporadiquement à vocation pédagogique, dans les années 1930-1940. Elle n'est pas universelle. On utilise souvent encore de nos jours les caractères gras italiques car plus simple sur le plan de la typographie et de la mise en page :
AB = AC + CB
Argand annonce ainsi l'entrée en scène de la notion de vecteur : il voit dans les nombres imaginaires (nombres dits complexes depuis Gauss ) des lignes dirigées : segments orientés du plan : c'est bien, là encore, le point de vue de Wessel.
Ce concept, déjà présent chez Stevin au 16è siècle, se rencontrera implicitement dans les travaux de Möbius et Chasles mais principalement et plus formellement avec Bellavitis (dans sa théorie des équipollences), Hamilton à qui l'on doit d'ailleurs l'appellation vecteur, Gibbs et Grassmann.
Vecteurs du plan (exposé élémentaire) :
| Usage des nombres complexes en géométrie euclidienne plane : |
Se donner M d'affixe z, souvent noté M(z), c'est se donner le vecteur OM. Ce sera aussi l'affixe de OM et ce dernier vecteur est l'image vectorielle de z.
• Si OM est l'image vectorielle de z,
arg z = (Ox, OM)
Angles orientés de vecteurs et de droites
• (Ox, AB) = arg (b - a) mod. 2π
• L'affixe d'un vecteur AB = OB - OA, où a est l'affixe de A et b celui de B, sera b - a.
• MA = MB (distances) ssi | z - a | = | z - b | : M décrit la médiatrice de [AB].
• Si u et u' sont les images vectorielles de z et z', alors (u,u') = arg z'/z mod. 2π
• Si
u et u' sont les images vectorielles
de z et z', alors
♦
u et u' colinéaires
ssi z'/z réel.
♦ u
orthogonal à u' ssi z'/z imaginaire pur.
• Si A, B et C sont des points distincts
d'affixes respectifs a, b et c :
♦
A, B et C sont alignés ssi
(c - a)/(b - a) est réel.
On peut préférer dire (b - a)/(c - a) réel ou (a -
b)/(a - c) réel, ...
♦
(AB)
(AC) sont
perpendiculaires ssi (c - a)/(b - a) est imaginaire
pur.
Là encore, on peut effectuer quelques permutations judicieuses.
• Si, dans une rotation de centre A(a), d'angle q, un point M(z) a pour image M'(z), alors :
z' - a = eiq x (z - a)
C'est un
cas particulier de similitude directe.
• A, autre que B et C,
appartient au cercle de
diamètre [BC] ssi
arg(c - a) - arg(b - a) =
π/2 mod. π.
Wessel et les nombres complexes :
Euler et les nombres complexes
:
Pour en savoir
plus :
Tout cours de mathématiques, niveau Terminale S.
Fourier
