ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BOREL Émile Félix Édouard Justin, français, 1871-1956

Source portrait : avec l'aimable autorisation du Portail de la ville de Saint-Affrique en Aveyron où l'on trouvera une biographie plus complète en cliquant sur l'image. Éléments biographique : Ibid, + CDSB + Académie des sciences.

Né à Saint-Affrique (Aveyron), major de Polytechnique et de l'École Normale Supérieure à 18 ans, sa thèse Sur quelques points de la théorie des fonctions fut dirigée par Darboux (1893).

Maître de conférence à Lille la même année, il enseignera ensuite à l'ENS (1897-1920) et à la faculté des sciences de Paris-Sorbonne sur une chaire de théorie des fonctions (1909-20), puis de probabilités (1920-40).

Directeur scientifique de l'École normale supérieure, ami de Paul Appell (dont il épousa une des filles), de Paul Valéry, de Paul Painlevé (mathématicien, ministre, Président du conseil = premier ministre ou chef du gouvernement comme on disait à l'époque), Borel fut aussi député de l'Aveyron et ministre de la Marine (1925).

Outre ses travaux en mathématiques, Borel étudia les géométries non euclidiennes appliquées à l'espace-temps eu égard à la théorie de la relativité d'Albert Einstein (années 1910). On lui doit, avec en particulier la participation de Darmois, la création (1922) de l'ISUP (Institut de statistique de l'université de Paris) et, financé en partie par le baron de Rothschild, la création (1928) de l'Institut Henri Poincaré pour la recherche en mathématiques pures et appliquées (aujourd'hui rattaché au C.N.R.S.).

Borel reçut le Grand Prix des sciences mathématiques de l'Académie des sciences (1898) pour son étude relative aux séries divergentes. Élu à ladite Académie (1921), il en sera président en 1934. Membre du Bureau des longitudes (1946), il reçut la première médaille d'or du CNRS (1954). Borel, à l'image de Kronecker, est considéré comme un mathématicien constructiviste.

Institut Henri Poincaré (site externe) :    ISUP :

Borel, un des fondateurs de la théorie de la mesure :

Borell fut à l'origine, avec Jordan, de la théorie de la mesure des ensembles (1897) qui annonce l'intégrale de Lebesgue (1902), de la théorie des jeux stratégiques et de la cybernétique que développeront les américains Von Neumann, Morgenstern et, en France, Couffignal.

Très importants travaux et résultats :

La σ-algèbre (tribu), ensemble mesurable, application mesurable :

Ce concept sera l'outil de base de la théorie de la mesure des parties d'un espace topologique. La mesure, au sens topologique, généralise la notion élémentaire de mesure d'un segment, ou d'une aire (au sens de Riemann ou de Jordan, par exemple) et est indissociable de la nouvelle théorie de l'intégration que Lebesgue mettra en place de 1901 à 1902.

Une σ-algèbre , aussi appelée algèbre de Borel ou tribu (appellation de Bourbaki) d'un ensemble E, est une famille de parties de E, donc sous-ensemble de (E), contenant E lui-même et stable par complémentation et réunion dénombrable, ce qui s'écrit :

  Il découle de ce ces axiomes de définition, qu'une σ-algèbre est aussi stable par intersection finie ou dénombrable et que (E) est une tribu sur E.

Il est clair que toute intersection de tribus est une tribu et si F est un ensemble de parties d'un espace topologique X, parmi les tribus qui contiennent tous les éléments de F, il en existe une plus petite (au sens de l'inclusion) que toutes les autres, dite tribu engendrée par F : c'est l'intersection de ces tribus.

Ensemble mesurable :       

On qualifie ainsi tout ensemble E muni d'une tribu . On note souvent (E,) un tel ensemble.


Soit f une application de E vers F (E et F quelconques). Si A est une partie de F, on pose f-1(A) = {xE / f(x)A}, image réciproque de a par f. Montrer que si T est une tribu de F, alors son image réciproque par f
(ensemble des images réciproques de ses éléments) est une tribu de E.

Application mesurable :     

Si (E,) et (F,) sont des ensembles mesurables et f une application de E dans F, f est dite mesurable si l'image réciproque (cf. exercice ci-dessus) d'une partie mesurable de f est une partie mesurable de E :

B , f-1(B)

Tribu borélienne, corps de Borel :

Dans un espace topologique X, on appelle tribu borélienne, ou tribu de Borel, la tribu engendrée par les ouverts de X. Eu égard  à la définition d'une s-algèbre, elle est aussi engendrée par les parties fermées.


Montrer que toute application continue f de R dans R est borélienne.

Notion de mesure sur une tribu d'un espace topologique :

désignant une tribu d'un espace topologique X, une mesure sur (X,) est une application m σ-additive de dans ]-, +]. La σ-additivité introduite par Borel exprime que pour toute réunion dénombrable d'éléments de deux à deux disjoints (d'intersection vide) on a :

 

Lorsque est la tribu borélienne, on parle de mesure de Borel.

On dira que K est négligeable pour la mesure m, ou encore m-négligeable si m(K) = 0. Relativement à la mesure m, une propriété P(x) est dite vraie presque partout sur K, si l'ensemble des x de K pour lesquels elle n'est pas vérifiée est m-négligeable.

Dans le cas d'espaces de Riesz de fonctions définies sur un espace topologique localement compact, on adjoint à la définition d'une mesure un axiome de continuité qu'utilisèrent systématiquement les mathématiciens « bourbakistes » :            

Mesure de Radon :

Tribu et espace probabilisé :

Noter que m(Ø) = 0 et si, lorsque m est positive (c'est à dire m(K) 0 pour tout K de ), on a m(X) = 1, alors m s'identifie à une probabilité sur et on parle de tribu d'événements. L'espace X, souvent appelé univers (et noté Ω) sur lequel est ainsi défini une probabilité est dit probabilisé et se note (X,,m).

Kolmogorov et la définition axiomatique d'un espace probabilisé :


Soit X une variable aléatoire discrète (c'est à dire ne prenant qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs) définie sur un espace probabilisé W muni d'une tribu d'événements T et à valeurs dans un ensemble E. Soit F une partie de E. Montrer que les ensembles {w / X(w)F} constituent une sous-tribu de T (tribu engendrée par X).

Variables aléatoires indépendantes :

Lien entre la mesure d'un ensemble et l'intégrale d'une fonction positive :

On note 1A la fonction caractéristique (ou fonction indicatrice) d'un partie bornée A de R, définie comme valant 1 si x est élément de A, 0 sinon.

Si A est un intervalle de bornes a et b, la distance de a à b, a pour mesure b - a et coïncide avec l'intégrale 1Adx. Dans le cas plus général d'une fonction f en escalier, l'intégrale de f sur [a,b] apparaît comme étant l'aire du domaine (mesure de sa surface) sous la "courbe" : d'où le principe d'intégration de Riemann en approchant une fonction par des fonctions en escalier.

Mesure de Borel-Stieltjes :

F désignant une fonction numérique, croissante et continue à droite, on peut lui associer une mesure µ, unique, vérifiant

µ(]a,b]) = F(b) - F(a).

Lorsque F admet une limite nulle en - , F est appelée fonction de répartition de µ et si µ s'avère être une probabilité (cf ci-dessus), la limite en + de F est 1. Lorsque F est l'application identique, on parle de mesure de Borel de la droite réelle µ(]a,b]) = b - a.

             Introduction à l'intégrale de Stieltjes :  

La loi forte des grands nombres :

Il s'agit là de la première "découverte" de cette loi des grands nombres dite forte, comparativement à la loi faible) exprimée par Borel en 1909 dans son traité Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques où il définit le concept de nombre normal :

Soit (Xn) est une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi, d'espérance mathématique finie m, sur un même espace probabilisé. Alors :

Prob [lim = m] = 1.

C'est dire que la suite de terme général Yn =  converge vers la constante m presque sûrement.

  Une suite (An) d'événements est dite indépendante ou mutuellement indépendante lorsque tout sous-ensemble fini {Ai1, Ai2, ..., Aip} de ces événements constitue une famille d'événements indépendants, autrement dit : Prob(Ai1Ai2...Aik) = Prob(Ai1)Prob(Ai2)...Prob(Aik).   Bayes

Une variante de la loi des grands nombres de Bernoulli (dite faible) fut énoncée par Poisson en 1837.

Loi des grands nombres selon Bernoulli : ,  selon Poisson :            Loi forte selon Kolmogorov : 
 
Théorème (ou lemme) de Borel-Cantelli :

Ce résultat, exprimé par Borel en 1909 dans ses Éléments de la théorie des probabilités, fut repris par Cantelli en 1917 dans une approche plus précise :

Si (An) une suite dénombrable d'événements d'un espace probabilisé, alors :

  1. Si la série ΣProb(An) converge, alors seul un nombre fini des An peuvent se produire simultanément. Autrement dit,  l'événement « une infinité d'événements An se produisent simultanément » est impossible (probabilité 0).

  2. Si la série ΣProb(An) diverge (limite +∞) et si les An sont indépendants ( ci-dessus), alors l'évé­nement « une infinité d'événements An se produisent simultanément » est certain (probabilité 1).

  Cantelli , Kolmogorov

Axiome de Borel-Lebesgue :

Un espace topologique E vérifie l'axiome de Borel-Lebesgue si de tout recouvrement de E par des ouverts, on peut extraire un recouvrement fini. On dit alors que E est quasi-compact. Si E est séparé, alors E est compact.

  Lebesgue            Topologie, différents types de compacité :

Théorème de Borel-Lebesgue :

Dans un espace normé de dimension finie, les parties compactes sont les parties fermées bornées.

  Lebesgue            Topologie, compacité :
Théorème de Heine-Borel  :

Toute fonction continue sur un intervalle fermé [a,b] est uniformément continue sur [a,b].

  Heine

Une approximation de p :

Dans une publication intitulée Sur l'approximation des nombres réels par les nombres quadratiques (Bulletin de la Société Mathématique de France, 1903), Borel constate que la partie décimale de 8p est "très voisine" de celle de 229 : leur différence est en effet de l'ordre de 4,7 x 10-6. On a donc 229 + 10 8p. Ce qui conduit à une valeur approchée de p (à moins de 5 x 10-6 près) au moyen de la formule :

  Le texte numérisé contient curieusement une erreur : 1/2 au lieu de 1/4 devant le radical.

Le concept de nombre normal :

Dans son mémoire Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, paru en 1909, Borel s'intéresse à la distribution (au sens probabiliste) des chiffres composant un nombre écrit dans une base b et qualifie de nombre normal relativement à la base b, tout nombre x vérifiant la propriété suivante :

où (a) désigne le nombre d'occurrences du chiffre a parmi les n premiers chiffres de l'écriture en base b de x. Borel s'attache tout particulièrement à la base b = 2 (nombres dyadiques) et aux nombres réels de l'intervalle [0,1] et démontre que tout nombre réel est normal à l'exception d'un ensemble de nombres de mesure nulle au sens de Lebesgue : les entiers naturels (le nombre de chiffres est fini), les nombres rationnels (leur développement est périodique) et quelques autres sans doute... : la preuve de la normalité du célébrissime p n'est pas établie aujourd'hui (novembre 2009).

Concrètement, en choisissant la base 10, donc l'écriture usuelle avec nos chiffres 0 à 9, dits arabes, considérons le nombre p :

Pour n grand, la proportion  de 0, de 1, de 2, ... de 9 dans les n premiers chiffres semble la même et de l'ordre de 10% (1/b = 1/10). On peut facilement vérifier ce résultat au moyen des ordinateurs : p semble normal. Ouff !..

En admettant que la présence consécutive d'un chiffre c et d'un chiffre c' sont des événements indépendants, il vient que, pour un nombre normal, la proportion de 00, 01, ... 99 dans les n premiers chiffres est la même et de l'ordre de 1/101/10, soit 1%. De même pour les séquences de 3 chiffres consécutifs : 1 (1 pour mille).

On voit sur la dernière ligne de l'approximation de p ci-dessus la présence de six 9 consécutifs : si p est normal, comme on le pense, cette occurrence a autant de chances de se produire que les autres : à savoir 1 chance sur 1 000 000 dans l'écriture de p. A noter que la normalité d'un nombre dans une base n'assure pas sa normalité dans une autre !

Définition et théorème de Borel :     

Borel qualifie d'absolument normal, un nombre réel normal relativement à toute base. Il prouve qu'un nombre absolument normal est irrationnel et que :

Presque tous les nombres réels sont absolument normaux

  Presque tout signifiant à l'exception d'un ensemble négligeable, c'est à dire de mesure de Lebesgue nulle.

Les nombres normaux furent ultérieurement étudiés tout particulièrement par le statisticien anglais David G. Champernowne, professeur à Cambridge (1912-2000) qui nous a légué (1933) un nombre normal portant son nom :

0,123456789101112131415161718192021222324252627...

Vous avez certainement compris l'algorithme de fabrication de ce nombre également transcendant. On ne sait pas si ce nombre est absolument normal.

  Feynman
 

Pour en savoir plus :

von Koch  Enriques
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