ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

WEIERSTRASS Karl Wilhelm Theodor, allemand, 1815-1897

Simple instituteur, Karl Weierstrass poursuit des études à Münster où Gudermann sera son professeur. Il enseigna les mathématiques et la physique dans différents lycées et, encouragé par son ancien professeur, ses premiers travaux sur les fonctions abéliennes (dès 1854) répondant à des problèmes ouverts posés par Abel lui-même et Jacobi furent appréciés par Crelle et Liouville qui les publia,  lui ouvrant les portes de l'enseignement supérieur. 

Il fut nommé à Breslau l'année suivante en remplacement de Kummer et élu à l'Académie des sciences de Berlin en 1856. Son brillant traité sur les intégrales elliptiques (Réflexions sur l'intégration des équations différentielles hyperelliptiques) le mènent à une chaire de mathématiques à l'université de Berlin  en 1864. Il en fut le recteur en 1873.

De santé précaire à l'époque de sa nomination à Berlin, Weierstrass confiera souvent à ses étudiants le soin d'exposer ses cours et une grande partie de ses résultats ne furent publiés qu'ultérieurement, par Hurwitz notamment. On le considère généralement comme un des plus grands mathématiciens du 19è siècle.

Consolidant avec rigueur les résultats de Cauchy relatifs à l'analyse numérique, les travaux de Weierstrass préciseront aussi le statut des nombres irrationnels, notion encore vague depuis la découverte de ces derniers par les Pythagoriciens (disciples de Pythagore). Il mettra un point final à la difficile étude des fonctions et intégrales elliptiques dont Abel fut à l'origine. Son Traité sur la théorie des fonctions (Abhandlungen aus der Funktionenlehre, 1886) couronne l'ensemble de son œuvre.

Les lecteurs intéressés et germanophones peuvent consulter quelques œuvres de Weierstrass, dont le Abhandlungen aus der Funktionenlehre en suivant ce lien LiNuM.

Construction arithmétique de l’ensemble des nombres réels (1863) :

Au cours de l'hiver 1863-64, dans son Introduction à la théorie des fonctions analytiques, Weierstrass présente pour la première fois une construction de l’ensemble des nombres irrationnels. Ses notes de cours furent réunies et publiées 15 ans plus tard par Hurwitz en 1878.     fonctions analytiques

Évitant d'y introduire la notion de limite afin de séparer les nombres de l'analyse et rester dans le domaine de l’arithmétique (on parlera d'arithmétisation de l'analyse), sa construction est basée sur le développement décimal illimité non périodique d'un nombre irrationnel (non rationnel) comme 2, π, e (base des logarithmes népériens).

Rappelons ici qu'un nombre est dit décimal, si la suite de ses décimales est fini (ex : 23,45). Un nombre rationnel est une fraction, quotient de deux entiers a et b; dans cette division, le reste r est inférieur à b (r = 0, 1, ..., b-1) et par conséquent, la suite des décimales du nombre a/b est soit finie (si l'un des restes s'avère nul), soit illimitée périodique.

Il est clair que tout nombre entier ou décimal est rationnel. La réunion de l'ensemble des nombres rationnels et de l'ensemble des nombres irrationnels constitue l'ensemble des nombres réels R.

Dedekind, Meray et Cantor se lanceront à sa suite sur cette difficile construction que les mathématiciens "attendaient" depuis plus de 2000 ans, suite à la découverte des irrationnels par les Pythagoriciens (disciples de Pythagore).

Pour en savoir plus :

Définition rigoureuse du concept de continuité et de limite des fonctions numériques :

Avec Weierstrass, on entre dans un univers de rigueur jusqu'ici ignoré mettant fin à des conclusions hardies de convergence, de continuité ou de dérivabilité comme le firent imprudemment par exemple Fourier et Cauchy.

On lui doit (vers 1850, Journal de Crelle) la première définition précise ("par les e et d") de la notion de limite d'une suite (convergence) et d'une fonction ainsi que la définition formelle de la continuité d'une fonction. L'usage des quantificateurs, introduits au début du 20è siècle (Peano, Gentzen), se rencontrera systématiquement avec Bourbaki.

e > 0, d > 0 / x, 0 < |x - xo| < d :  |f(x) - L| < e

Weierstrass parle pour la 1ère fois de voisinage de xo en évoquant l'intervalle ]xo - d, xo+d[. Il utilisera  aussi ultérieurement la notation lim x®xo. L'huillier semble être cependant le premier à avoir utilisé (1786) l'abréviation « lim. » dans un traité d'analyse.
 

e > 0, d > 0 / x, 0 < |x - xo| < d :  |f(x) - f(xo)| < e

 Noter que la notion de la continuité uniforme d'une fonction n'est pas due à Weierstrass : elle fut définie par Heine, son contemporain et "élève", sinon collègue.

Cas d'une fonction de plusieurs variables :      

On définirait de façon tout à fait semblable la continuité d'une fonction numérique de deux ou plusieurs variables ou d'une fonction d'un espace métrique E vers un espace métrique F, au moyen de la notion de distance :

e > 0, d > 0 / x, 0 < d(u, uo) < d :  d(f(u), f(uo) < e

Dans le cas E = F = R2 muni de la distance euclidienne usuelle et d'une fonction de deux variables réelles x et y, u = (x,y) et uo = (xo,yo), d(u, uo) serait la racine carrée de (x - xo)2 + y - yo)2 en application du théorème de Pythagore.

Si la continuité d'une fonction de deux variables x et y entraîne manifestement la continuité de x f(x,y) pour y fixé et de y f(x,y) pour x fixé, la réciproque est fausse. La difficulté de l'étude de ce type de fonction réside dans la multitude de façons, pour un couple (x,y) de tendre vers (xo,yo). Par exemple, si f(x,y) = x/y et si (x,y) tend vers (0,0) sur la droite d'équation y = x, le rapport tend vers1; mais si (x,y) tend vers (0,0) sur la  spirale de Cotes (entre autres...), alors on va tourner longtemps : pas de limite !


On pose f(0,0) = 0 et f(x,y) = xy/(x2 + y2) pour tout (x,y) (0,0).
Vérifier que g : x f(x,y) pour y fixé et de h : y f(x,y) sont continues en 0 mais non pas f.

Fonctions analytiques et notion de convergence uniforme pour les suites et les séries de fonctions :

L'étude des différentes formules de Taylor l'amènera (1860) à préciser la convergence des développements en série de fonctions numériques : fonctions analytiques (terme dû antérieurement à Condorcet) au voisinage d'un point xo, c'est à dire admettant un développement en série entière de la forme :

f(x) = Σan(x - xo)n   pour tout x, d'un voisinage V de xo.

  Dans le cas complexe, les fonctions analytiques coïncident avec les fonctions holomorphes, sujet fondamental sur lequel Weierstrass complétera les travaux de Cauchy et de Riemann.

Un théorème de Weierstrass :          

Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U de C privé d'un point zo, point singulier essentiel de f. Alors, l'image par f de toute couronne 0 < |z - zo| < r est dense dans C (r > 0).

En 1861, Weierstrass perfectionne le concept de convergence uniforme d'une suite et d'une série de fonctions introduit par Gudermann (1838) puis Cauchy (1853). La convergence uniforme permet d'assurer, par exemple, la convergence effective d'une série trigonométrique vers la fonction qu'elle est censée développer ou bien encore la continuité et la dérivabilité d'une fonction définie en tant que somme d'une série de fonctions.

Convergence uniforme d'une suite :      

Notons (fn) une suite de fonctions numériques. Dire que la suite est (simplement) convergente pour un x donné dans un intervalle [a,b] vers un nombre f(x), c'est dire que pour tout e > 0 (aussi petit que l'on voudra), il existe un entier Nx,e , dépendant de x et de e, pour lequel :

n > Nx,e | fn(x) - f(x) | < e

On conçoit que la vitesse de convergence dépend de x : on dit que la suite converge uniformément ou que la convergence de la suite est uniforme si l'entier N ne dépend pas de x. Ce qui s'écrira :

e > 0, Ne / x [a,b] , n > Ne | fn(x) - f(x) | < e

On peut aussi écrire :

Norme de la convergence uniforme :

Convergence uniforme d'une série :     

 Notons Sn(x) la somme des n+1 premiers termes d'une série de fonctions fn (sommes partielles) :

Sn(x) = fo(x) + f1(x) + f2(x) + ... + fn(x)

Dire que la série est convergente pour x donné dans un intervalle [a,b], c'est dire que la suite de terme général Sn(x) est convergente. Notons S(x) la limite de cette suite. C'est la somme de la série. On appelle reste de la série, le nombre :

Rn(x) = S(x) - Sn(x)

Avec cette notation, dire que la série est convergente pour x donné dans [a,b], c'est dire que la suite des Rn(x) converge vers 0. On dit, là encore, que la convergence de la série est uniforme, ou que la série converge uniformément si Rn(x) converge uniformément vers 0 :

Quel que soit e > 0 , il existe un entier N, indépendant de x, pour lequel : n > N | Rn(x) | < e

  • Exemple : La série de fonctions définie sur [0,a], 0 < a < 1, par fn(x) = xn est uniformément convergente vers f(x) = 1/(1 - x). Dans ce cas très simple, on a Sn(x) = 1 + x + ... + xn = (1 - xn+1)/(1 - x) et par conséquent | Rn(x) | = xn+1/(1 - x) et, sur [0,a], on a  | Rn(x) | < an+1/(1 - a) du fait de la croissance de x xn+1/(1 - x) pour tout entier n. La convergence vers 0 de Rn(x) est uniforme. Si vous n'en êtes pas persuadé, choisissez N > ln [e(1-a)] / ln(a) - 1...

Résultats d'Abel sur les séries entières :

  • Contre-exemple : La suite de fonctions définie sur [0,1] par fn(x) = nx/(1 + nx) converge vers 0 si x = 0 et vers 1 pour tout x non nul. Cette convergence n'est pas uniforme : pour x non nul, le reste est Rn(x) = 1/(1 + nx). Il est clair que Rn(x) tend vers 0 mais pour toute valeur de n aussi grande que l'on voudra, on peut choisir un x suffisamment petit de sorte que nx soit encore très petit : Rn(x) serait alors proche de 1 et il faudra donc choisir, pour ce x là, un N "vraiment grand" pour arranger les choses...  

Critère de Weierstrass pour la convergence uniforme d'une série de fonctions :

Soit fn(x) le terme général d'une série de fonctions numérique et un le terme général d'une série numérique positive convergente :

Si, à partir d'un certain rang, on a |fn(x)| un pour tout x d'un intervalle fermé J,
alors la série des fn converge uniformément sur J.

Convergence normale d'une série de fonctions :

On dit qu'une série de fonctions Sfn à valeurs dans un espace vectoriel normé E , est normalement convergente s'il existe une série numérique positive convergente Sun pour laquelle || fn(x) || un pour tout n et tout x.

Lorsque E est complet (espace de Banach), cas des fonctions numériques par exemple, la convergence normale entraîne la convergence uniforme.
Convergence uniforme et continuité :

Si fn(x) est le terme général d'une série uniformément convergente sur un intervalle J et si (toutes) les fn sont continues en un point xo de J (resp. sur J), alors la somme f de la série est continue en xo (resp. sur J).

                Continuité uniforme :

Convergence uniforme et intégration "terme à terme" : 

Si fn(x) est le terme général d'une série uniformément convergente sur un intervalle [a,b] et si les fn sont continues sur [a,b], alors :

    intégration terme à terme

En d'autres termes (c'est le cas de le dire...), si f est la somme de la série, l'intégrale de la somme est la somme des intégrales :

                cas d'une fonction définie par une intégrale
 
Convergence uniforme et dérivation "terme à terme" :

   les conditions sont plus subtiles : 

On peut aussi exprimer que si f ' est la somme de la série des dérivées, la dérivée de la somme est la somme des dérivées :

Calcul de 1/9801, une application de ce résultat à une division très spéciale :

Ces résultats, implicitement énoncés dans le cas réel, sont encore valables dans le cas complexe en remplaçant les intervalles par des disques de centre et de rayon donné. Dans le cas de la dérivation terme à terme, si les fonctions sont à valeurs dans un espace vectoriel normé non complet, il faut imposer la convergence simple en tout point de [a,b] et non plus seulement en un point.

Convergence normale et calcul de p :

Série-produit :

Si deux séries de fonctions Sfn(x) et Sgn(x) réelles ou complexes sont absolument convergentes, alors leur série-produit (au sens de Cauchy) de terme général :

hn(x) =  Sfk(x)gn-k(x) = fo(x)gn(x) + f1(x)gn-1(x) + f2(x)gn-2(x) + ... + fn-1(x)g1(x) + fn(x)go(x)

est absolument convergente et sa somme est le produit des sommes : 

Shn(x) = (Sfn(x)) x (Sgn(x))

Une application de ce résultat à la fonction exponentielle lorsqu'elle est définie par :

Cette série est clairement absolument convergente (utiliser le critère de d'Alembert) pour tout réel x. Étudions le produit ex x ey : c'est la série-produit de terme général :

Or n! = k!(n - k)! x Cnk , donc un = (x + y)n/n! :  c'est dire que ex x ey = ex + y.

Fonction exponentielle complexe :

Convergence uniforme d'une intégrale généralisée, dérivation et intégration "sous le signe somme"  :

Lorsque x varie dans un intervalle J, une fonction F de la variable réelle x peut être définie par une intégrale de la forme :

 

Lorsque la borne infinie est remplacée par une borne finie b, les conditions de dérivabilité et d'intégration de f sont plus simples et furent étudiées par Leibniz. On sait que la notation ci-dessus signifie que l'intégrale :

admet une limité finie lorsque l tend vers l'infini : Lagrange. Cette limite dépend de x : on définit ainsi une fonction F(x). Comme pour la convergence des suites ou des séries, on dira que cette convergence vers F(x) est uniforme lorsque l tend vers l'infini si :

e > 0, t > 0 / l > t |F(x) - Fl(x)| < e

C'est dire que l ne dépend pas de x : si t est suffisamment grand, la différence |F(x) - Fl(x)| sera aussi petite que l'on voudra et ce, quelles que soient les valeurs prises par x dans J.

On dit et écrit souvent que converge uniformément puisque, par définition, cette intégrale généralisée est la limite de pour l infini.

Notion d'intégrale généralisée :

Critère de convergence uniforme d'une intégrale généralisée : 

Si, pour tout x et t, | f(x,t) | g(t) et g intégrable sur [a,+[, alors | f(x,t)| est intégrable et il en est de même de f(x,t) et on a :

D'une façon générale, toute fonction absolument intégrable (sa valeur absolue est intégrable) est-elle même intégrable et on a alors |f | |f| .

Théorème 1                                   

On suppose J fermé. f est une fonction continue des deux variables xJ et t[a,+[, et l'intégrale :

converge uniformément vers une fonction F(x). Dans ces conditions F est continue sur J et pour tout couple (u,v) de points intérieurs à J :

     (intégration sous le signe somme)

Théorème 2                                  

On suppose J fermé. f  est dérivable par rapport à t, f 'x(x,t), dérivée de f par rapport à x, est une fonction continue des deux variables xJ et t[a,+[. Dans ces conditions si l'intégrale définie par :

existe (converge simplement) pour au moins une valeur de x dans J et si

converge uniformément vers une fonction g(x), alors F(x) existe pour tout x de J et est dérivable de dérivée F'(x) définie par l'intégrale ci-dessus, soit :

    (dérivation sous le signe somme)

Applications :  calcul de l'intégrale de Gauss : calcul de l'intégrale de Dirichlet :

Contre-exemple de Weierstrass :

Afin de prouver la nette distinction entre continuité et dérivabilité, mal perçue par Cauchy, Weierstrass, dans exhibe (note lue à l'Académie des sciences de Berlin, 1872) une fonction, définie par une série convergente, continue en tout point et dérivable en aucun point créant un grand trouble dans le monde mathématique de l'époque :


Choisir 0 < a < 1, b entier impair distinct de 1 et ab > 6 (plus précisément si ab > 1 + 3p/2)

et dont Hermite aurait dit :

Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues
qui n'ont pas de dérivée...

Riemann avait construit (1854), avec les mêmes motivations, une fonction continue n'admettant pas de nombre dérivé en tout point rationnel a/b irréductible pour lequel b est pair. Voir aussi celle de Darboux, également définie par une série.

Pour en savoir plus :

Notons que les courbes fractales, aujourd'hui bien connues, sont des exemples de courbes "continues" n'admettant de tangente en aucun point :

Mandelbrot , Koch , Peano , Hilbert   


 

Point d'accumulation et théorème de Bolzano-Weierstrass, application aux suites numériques :

On appelle point d'accumulation d'une partie A de R, un réel k pour lequel tout intervalle de centre k contient un point de A autre que k.

Cette importante notion, introduite implicitement par Bolzano dans ses Grössenlehre, écrites entre 1830 et 1835, fut formalisé par Weierstrass 25 ans plus tard.

Par exemple, l'ensemble des valeurs A de la suite numérique définie par :

                       Bolzano

admet 0 comme point d'accumulation mais 2, valeur pourtant prise une infinité de fois par u2n , n'en est pas un car un intervalle comme ]2 - t ,2 + t[ privé de 2, avec 0 < t < 1, ne contient aucun élément de la suite.

La définition d'un point d'accumulation induit le théorème suivant :

Théorème :    

a/  Tout ensemble admettant un point d'accumulation est infini.

b/  Si AR admet un point d'accumulation x, alors il existe une suite de points de A qui converge vers x.

On a le très important théorème ci-après :

Théorème de Bolzano-Weierstrass (1860) :          

Selon Jan Sebestik, 1931-, français d'origine tchèque, philosophe et historien des sciences, la double paternité de ce théorème est due à H. Schwarz :

Tout ensemble infini (c. à d. ayant une infinité d'éléments) et borné de nombres réels
admet au moins un point d'accumulation

On rencontre couramment des suites ne prenant qu'un nombre fini de valeurs. Il s'est avéré pratique de supprimer, dans la définition d'un point d'accumulation, la condition autre que k, on parle alors de valeur d'adhérence d'une suite (un) et on peut alors énoncer :

Théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites :        

Toute suite bornée admet au moins une valeur d'adhérence

Notions de suites et de séries :               Valeur d'adhérence et point d'accumulation en topologie :

Rappelons qu'une suite extraite (on dit aussi suite partielle ou une sous-suite) d'une suite (u) est une suite (v) dont chaque élément est choisi dans l'ensemble des valeurs de la suite (u).

et on démontre qu'il est équivalent d'énoncer :

De toute suite bornée de nombres réels, on peut extraire une suite convergente

La suite définie ci-dessus admet deux valeurs d'adhérence : 0 et 2. 
La suite définie par un = (-1)n possède deux valeurs d'adhérence : -1 et 1.

L'existence d'un unique point d'accumulation ou d'une unique valeur d'adhérence d'une suite n'implique nullement la convergence de cette suite (condition nécessaire non suffisante).
  Pour s'en convaincre, considérer la suite définie par un = n si n est pair, 1/n sinon.

Théorème de la borne supérieure :        

En conséquence du théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut énoncer :             

Toute suite croissante majorée de nombre réels converge vers sa borne supérieure

et bien évidemment, en corollaire :

Toute suite décroissante minorée de nombre réels converge vers sa borne inférieure

exemple d'application , points d'accumulation et divergence spirale

  Dedekind , Bolzano

Théorème de Stone-Weierstrass (1885) :

Toute fonction numérique continue sur un intervalle fermé J peut être approchée uniformément par un polynôme

C'est un théorème très puissant d'analyse fonctionnelle que Stone généralisera dans le cadre d'espaces topologiques. L'ensemble F de telles fonctions constitue un espace vectoriel contenant les polynômes qui les approchent. On peut munir cet espace d'une norme, dite de la convergence uniforme :

Le théorème cité exprime que pour toute fonction f de F et pour tout e > 0 , il existe un polynôme P de F tel que :

Approximation uniforme par les polynômes de Bernstein  :

On peut utiliser d'autres normes, associées à des produits scalaires, et pouvant s'avérer plus pratiques pour une recherche concrète d'une approximation polynomiale : c'est l'usage de polynômes orthogonaux comme ceux de Legendre, Tchebychev, Hermite, ...

Théorème d'approximation trigonométrique :

Toute fonction continue et 2p-périodique d'une variable réelle à valeurs dans C peut être approchée uniformément par un polynôme trigonométrique, chaque terme en cosnx ou sinnx pouvant par linéarisation se ramener à une somme finie de termes de la forme ap.cospx + bp.sinpx).  

exercice de linéarisation.

L'ensemble de ces polynômes trigonométriques est donc partout dense dans l'ensemble des fonctions continues 2p-périodiques (pour la norme de la convergence uniforme).

Séries de Fourier :             Séries de Fourier et espaces L2 :

Formule de Weierstrass pour la fonction  Γ de Euler :

Weierstrass s'intéressa non seulement aux développements en série des fonctions : sommes infinies Sanfn(x) mais aussi sous forme de produits infinis Panfn(x). Un exemple qui porte son nom est le développement de la fonction gamma G :

          
où g désigne la constante d'Euler : limite pour n infini de  1 + 1/2 + 1/3 + ... +1/n - ln n.

Preuve de la formule :

La notation  | x | :

Notons enfin que l'on doit à Weierstrass la notation | x | pour la valeur absolue d'un nombre réel x :

Définition et exemples :

Espace weierstrassien :

Appellation en hommage à Weierstrass, synonyme d'espace pseudocompact : espace topologique E tel que toute fonction numérique continue sur E est bornée.

Pour en savoir plus sur ce sujet :

Boole  Delaunay
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