ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

A l'origine, la géométrie est la mesure de la Terre : en grec, gê = terre et metron = mesure. En premier lieu, Euclide définit les objets usuels de la géométrie plane :

• point : ce dont la partie est nulle;

• ligne (finie) : longueur sans largeur dont les extrémités sont des points;

• droite : ligne qui est également (de manière égale) placée entre ses points;

• droites (distinctes) parallèles d'un même plan : droites qui, prolongées indéfiniment d'un côté ou de l'autre, ne se rencontrent pas.

» Euclide ne définit pas le segment par un terme spécifique : il parle de droite finie (limitée de part et d'autre). On note d // d' pour exprimer que les droites d et d' sont parallèles et, dans la pratique, on utilisera la définition : d // d' si et seulement si  : d = d' ou bien d et d' ne se rencontrent pas (n'ont aucun point en commun).

• angle : inclinaison mutuelle (de l'une par rapport à l'autre) de deux droites n'ayant pas même direction;
   → une définition pas évidente, voir figure : la demi-droite [OB) a une certaine inclinaison par rapport à [OA) choisie ici "horizontale". Si on prend maintenant [OB) comme demi-droite de référence, [OC) a une inclinaison : la même que [OB) par rapport à [OC) : c'est l'inclinaison mutuelle.

• droites perpendiculaires : lorsqu'une droite tombe sur une autre en formant des angles tels que deux quelconques d'entre eux aient même mesure (superposables), on dit que les droites sont perpendiculaires et que les angles formés sont droits;

• surface : est ce qui a seulement longueur et largeur;

• plan : surface également placée entre ses droites;

• cercle : figure plane constituée d'une seule ligne telle que tous les segments (rayons du cercle) que l'on peut lui mener depuis un point ont même longueur; ce point est le centre du cercle;

• polygones : ligne brisée fermée (du grec poly = plusieurs et gônia = angle) dont le triangle (3 angles) est l'exemple le plus élémentaire. On distingue le triangle isocèle (2 côtés de même mesure), le triangle équilatéral (3 côtés de même mesure), le triangle scalène (trois côtés inégaux (du grec skalenos = oblique), le triangle rectangle (possédant un angle droit). On remarque qu'un polygone possède autant d'angles que de côtés.

• Pour 4 côtés, on parle de quadrilatère (du latin quadrilatérus : quatre côtés) plutôt que de tétragone (du grec quatre angles). Puis le grec l'emporte : pentagone (5 côtés), hexagone (6 côtés), heptagone (7 côtés), etc.

En savoir plus sur les polygones :  »

 ➔  Notons là encore (» Platon) que les objets visibles qui résultent de ces définitions (figures) ne sont que des représentations imparfaites de ces concepts mathématiques que nul ne peut en fait contempler si ce n'est par la pensée.

Les figures aident à développer un raisonnement conduisant à extraire des propriétés dans un contexte complexe mais elles peuvent devenir trompeuses si l'on s'attache à des faux-semblants résultant de leurs tracés nécessairement imparfaits. Écueil classique des élèves...

Après les définitions, Euclide pose ensuite ses fameux postulats (ses demandes) dont le cinquième est resté LE postulat d'Euclide, souvent dit  axiome (ou postulat) des parallèles et qui fut sujet à nombreuses recherches et controverses quant à sa nécessité :

• 1. Étant donnés deux points A et B, il existe une droite passant par A et B;
       Euclide écrit : Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque.

• 2. Tout segment [AB] est prolongeable en une droite passant par A et B;
      Euclide écrit : Prolonger indéfiniment, une droite finie selon sa direction
      » par droite finie, Euclide entend un segment et compte tenu du premier postulat, la droite obtenue est unique.

• 3. Pour tout point A et tout point B distinct de A, on peut décrire un cercle de centre A passant par B;

• 4. Tous les angles droits sont égaux entre eux;

• 5. Par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite.
  
  » Il s'agit ici de la formulation la plus connue et la plus simple de ce fameux postulat que tous les grands géomètres comme Legendre et Lobatchevski, ont tenté de prouver jusqu'à l'orée du 20è siècle (» § suivant). Pour un élève de collège, celle d'Euclide paraîtra plus alambiquée. On peut l'exprimer ainsi (elle varie suivant les siècles et les traducteurs...) :

  Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

  

C'est quoi M'sieur un axiome d'incidence ?    

On parle souvent d'axiomes d'incidence pour parler des postulats 1, 3 et 5 ci-dessus. Le mot incidence provient du latin incidere signifiant tomber sur. En physique on parle par exemple d'un rayon incident tombant sur une surface; en termes de réflexion sur un miroir, on parle d'angle incident et d'angle réfléchi. Dans son axiome 5, ci-dessus, Euclide nous dit Si une droite, tombant sur deux droites, fait... : parler en classe d'axiomes d'incidence, pourquoi pas, mais il s'agira d'en préciser le sens... dans le sens indiqué !

• LIVRE I, PROPOSITION I : Sur une droite donnée et finie, construire un triangle équilatéral.
  » On dira de nos jours : on peut toujours construire un triangle équilatéral dont un côté est segment donné.
   
• LIVRE I, PROPOSITION II : A désignant un point donné, placer une droite égale à une droite donnée.
  » On dira de nos jours : étant donné un point A, on peut toujours construire un segment dont une extrémité est A et de même longueur qu'un segment donné.

 ➔  Le problème fut également de savoir si le 5ème axiome était dépendant des autres. Dans l'affirmative, il serait démontrable au moyen des autres et deviendrait un théorème du système. Les travaux des géomètres consistèrent tout d'abord à le remplacer par sa négation : cela n'engendra aucune contradiction, montrant que le fameux postulat était indépendant des autres et finalement indispensable à la géométrie euclidienne plane et de l'espace... euclidien. Toutes ces recherches et ces échecs menèrent finalement à la découverte de nouvelles géométries dites non euclidiennes :

♦ Si on le retire au profit de l'affirmation que deux droites distinctes sont sécantes à l'infini, c'est la géométrie projective (on ajoute au plan des points dits à l'infini, assimilés aux directions de droites, constituant la ligne de l'infini : Desargues, Poncelet.

♦  Si on le remplace par l'impossibilité, au contraire, de tracer une parallèle à une droite, on obtient la géométrie elliptique : par exemple, la géométrie de la sphère (surface à courbure constante positive) : Gauss, Klein, Riemann.

♦  Enfin, si on pose maintenant que par un point extérieur à une droite on peut mener une infinité de parallèles à cette droite, on obtient la géométrie hyperbolique, dite aussi de Lobatchevski, dont une représentation est la géométrie de la pseudosphère (surface à courbure constante négative) : Lobatchevski, Poincaré, Beltrami.

» Oswald Veblen               Les géométries non euclidiennes : »

L'expression "chacun à chacun", aujourd'hui désuète, signifiait "respectivement". Le 1er cas d'égalité peut s'exprimer ainsi (selon les générations de manuels scolaires, les premier et second cas peuvent s'interchanger :

Si deux triangles ont un angle égal, compris entre deux côtés respectivement égaux,
alors ces deux triangles sont égaux (superposables)

Dans cette figure, les angles ^ABC et ^A'B'C' et les côtés [AB] et  [A'B'] sont homologues

 ➔  Par triangles égaux, on entendait jusque dans les années 1950-60, des triangles ayant leurs six éléments correspondants de mêmes mesures (angles et côtés). Ces éléments correspondants portent aussi le qualificatif d'éléments homologues.

Ci-dessus : Formulation et "preuve" (on peut déplorer le manque de rigueur dû à l'usage d'un calque, mais n'ergotons pas...), du 1er cas d'égalité des triangles, extraite du manuel Lebossé-Hémery, Algèbre, Arithmétique et Géométrie, classe de 4ème des lycées et collèges, Ed. Nathan, 1951.

 !  Bien noter que deux triangles ayant des angles de même mesure ne sont généralement pas égaux. Le cas des triangles équilatéraux en est un exemple. Voici un autre cas :

Rappelons les second et troisième cas :

• 2/ Si deux triangles ont un côté égal, compris entre deux angles respectivement égaux, alors ces deux triangles sont égaux.

• 3/ Si deux triangles ont leurs trois côtés respectivement égaux, ces deux triangles sont égaux.

Ces résultats montrent que trois données correspondant (ou se ramenant) à ces trois cas conduisent à la construction d'un triangle et un seul. Par exemple, si AB = 6, ^ABC = 55° et ^ACB = 65°, on déduit ^CAB = 180° - 55° - 65° = 60° et l'application du second cas conduit à l'unicité du triangle ABC et à sa construction.

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Niveau 3è : Dans un triangle ABC, on suppose connu BC et les angles ^B et ^C.
Prouver, en traçant la hauteur issue de A et en distinguant les deux cas ^B aigu et ^B obtus  que :

Niveau lycée : Retrouver ce résultat en utilisant la formule des sinus

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Résolutions de triangles , Parallèles équidistantes

Somme des angles d'un triangle : »           Inégalités dans le triangle : »          Triangles semblables : »

Déraisonner, c'est ne pas avoir un discours logique. De méchants et irrespectueux professeurs disent parfois d'un élève
 qu'il résonne comme un tambour (le tambour, comme chacun sait, est vide). Une tête bien pleine ne résonne pas, elle raisonne !

Aristote, le syllogisme et la dialectique : »

 ➔  Le célèbre CQFD, Ce Qu'il Fallait Démontrer, est la traduction française du QED, Quod Erat Demonstrandum, acronyme latin traduit de l'équivalent grec qu'utilisait systématiquement Euclide pour clore une démonstration.

Preuve, selon Euclide, du théorème de Pythagore : »      et du théorème d'Al Kashi : »

∗∗∗  Apprendre à démontrer   
» Apprendre a construire , Exercices élémentaires sur les angles , Voir aussi...

Quadrilatères & triangles particuliers    apprendre à construire/démontrer - 6ème/5ème	Caractériser un losange #2        apprendre à démontrer - 5ème
Caractérisation d'un carré #1     apprendre à démontrer - 6ème	A la découverte d'un losange        apprendre à démontrer - 5ème/4ème
Caractérisation d'un carré #2     apprendre à démontrer - 4ème	Sans titre !         bissectrice, parallélogramme, losange - 5ème/4ème
Caractérisation d'un carré #3     apprendre à démontrer - 4ème	Un quadrilatère un peu particulier...       en application de la droite des milieux - 4ème
Caractérisation d'un carré #4     apprendre à démontrer - 4ème	Une application de l'inégalité triangulaire         point intérieur à un triangle - 5ème/4ème
Losange & parallélogramme     apprendre à démontrer - 5ème	Construire, conjecturer, démontrer         losange, parallélogramme, milieu - 4ème/3ème
Caractériser un losange #1    apprendre à démontrer - 5ème	C'est évident     géométrie élémentaire ou rotations - 3ème/2nde

Cette page, comme toutes celles de ChronoMath, représente un travail personnel non négligeable de recherches. A ceux qui l'ont recopiée et publiée sur leur site ou blog sans pudeur ni scrupule (ou qui s'apprêteraient à commettre cette abomination...) , je recommande de vérifier les informations qu'elle contient car elles peuvent être entachées d'erreurs (y compris d'orthographe !) et de s'interroger sur les problèmes de déontologie, de bonne éducation et de droits d'auteur...

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Apprendre à Construire

L'admiration quasi mystique de la droite et du cercle induite par Platon, induisant la notion de construction géométrique acceptable à l'aide du compas et de la règle seuls, a pu être un frein au développement des mathématiques par le biais de la géométrie euclidienne.

» Petersen , Wantzel

Euclide (ou Archimède selon certains)
L'École d'Athènes, selon Raphaël- Détail , Chambre de la Signature, Vatican

Section dorée et pentagone/décagone régulier : »

La plus connue est l'inégalité triangulaire (» i4 ci-après), utilisée dans la définition d'une distance d'un espace métrique, et enseignée dès le collège en classe de 5ème. Voici l'ensemble des inégalités usuelles du triangle :

• Angles adjacents :    

Rappelons que par angles adjacents, on entend deux angles ayant un côté commun et dont les autres côtés sont situés de part et d'autre de ce côté commun. Ci-dessus, ^BCA et ^ACD sont adjacents. Il en est de même de ^ACD à ^xCD mais ^BCA n'est pas adjacent à ^xCD.

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Utiliser les résultats précédents afin de prouver la proposition XXI (Livre I) :
Un triangle ABC étant donné, on construit intérieurement un triangle BMC
alors BM + MC < BA + AC mais ^BMC > ^BAC

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BM peut être supérieur à BA : déplacer M vers A' et A' vers C

Si vous séchez après avoir bien cherché : »

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Vous pouvez déformer le triangle ABC et déplacer M