ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

La géométrie d'Euclide               L'arithmétique d'Euclide
         Outre les nombreux exercices présents sur cette page, voir aussi les pages exos CM2/CLG , LYC

A l'origine, la géométrie est la mesure de la Terre : en grec, = terre et metron = mesure. En premier lieu, Euclide définit les objets usuels de la géométrie plane :

Euclide ne définit pas le segment par un terme spécifique : il parle de droite finie (limitée de part et d'autre). On note d // d' pour exprimer que les droites d et d' sont parallèles et, dans la pratique, on utilisera la définition : d // d' si et seulement si  : d = d' ou bien d et d' ne se rencontrent pas (n'ont aucun point en commun).

En savoir plus sur les polygones :

Notons là encore ( Platon) que les objets visibles qui résultent de ces définitions (figures) ne sont que des représentations imparfaites de ces concepts mathématiques que nul ne peut en fait contempler si ce n'est par la pensée.

Les figures aident à développer un raisonnement conduisant à extraire des propriétés dans un contexte complexe mais elles peuvent devenir trompeuses si l'on s'attache à des faux-semblants résultant de leurs tracés nécessairement imparfaits. Écueil classique des élèves...

     Angles & mesures en degrés (niveau 6ème, 3 exercices)   niveau 6ème
  
  Le rapporteur   de son bon usage niveau 6ème/5ème
  
  Somme des angles d'un triangle, angles alternes-internes   différents niveaux à partir de 5ème
  
  Somme des angles au sommet d'une pyramide    4ème/3ème
  
  Chèvre, corde et piquet...   niveau 6ème
  
  Régionnement & cercles     niveau 6ème/5ème
  
  Périmètre du cercle & "aire du cercle" (aire d'un disque)  niveau collège
  
  Inscrire un triangle équilatéral dans un cercle   un sommet étant donné  + variante  (4ème/2nde)
  
  Résolution de triangles (2 exercices)    niveau 2nde/1ère

  Apprendre à démontrer  , apprendre à construire


Les postulats de la géométrie d'Euclide :                     distinguo axiome/postulat

Après les définitions, Euclide pose ensuite ses fameux postulats (ses demandes) dont le cinquième est resté LE postulat d'Euclide, souvent dit  axiome (ou postulat) des parallèles et qui fut sujet à nombreuses recherches et controverses quant à sa nécessité :

L'émergence de géométries non euclidiennes :

Du 10è au 19è siècle, nombreux furent les mathématiciens arabes et européens ont cherché à démontrer le 5è postulat à partir des quatre premiers. Sans succès. En fait, ils utilisaient alors inconsciemment dans leurs démonstrations une affirmation équivalente ! Malgré l'apport des travaux de Saccheri, le français Legendre, par exemple, s'est acharné pendant près de 40 ans à prouver que la somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits sans usage du 5è postulat dans le but d'en déduire ce dernier.

Toutes ces recherches et ces échecs menèrent finalement à la découverte de nouvelles géométries dites non euclidiennes :

 Si on le retire au profit de l'affirmation que deux droites distinctes sont sécantes à l'infini, c'est la géométrie projective (on ajoute au plan des points dits à l'infini, assimilés aux directions de droites , constituant la ligne de l'infini : Desargues, Poncelet.

  Si on le remplace par l'impossibilité, au contraire, de tracer une parallèle à une droite, on obtient la géométrie elliptique : par exemple, la géométrie de la sphère (surface à courbure constante positive) : Gauss, Klein, Riemann.

  Enfin, si on pose maintenant que par un point extérieur à une droite on peut mener une infinité de parallèles à cette droite, on obtient la géométrie hyperbolique, dite aussi de Lobatchevski, dont une représentation est la géométrie de la pseudosphère (surface à courbure constante négative) : Lobatchevski, Poincaré, Beltrami.

Bien noter que si le 5è postulat fut sujet à d'innombrables études, il n'a jamais été remis en cause quant à sa compatibilité : le système axiomatique d'Euclide n'est pas contradictoire. Afin de montrer qu'un système d'axiomes n'engendre pas de contradictions, il suffit d'exhiber une proposition toujours vraie (tautologie au sens logique : vraie quels que soient les variables qui la composent) résultant de l'ensemble des axiomes.

Le problème fut de savoir si le 5ème axiome était dépendant des autres. Dans l'affirmative, il serait démontrable au moyen des autres et deviendrait un théorème du système. Les travaux des géomètres consistèrent tout d'abord à le remplacer par sa négation : cela n'engendra aucune contradiction, montrant que le fameux postulat était indépendant des autres.

  La géométrie selon Oswald Veblen (1903)               Les géométries non euclidiennes :

Un sixième postulat..., Cas d'égalité des triangles, triangles semblables :

On trouve, dans certaines éditions des Éléments, un 6è postulat selon lequel deux droites ne peuvent enfermer un espace. Selon l'historien des mathématiques arabes, A. P. Youschkevitch, il serait un ajout, sans doute des mathématiciens arabes, comme Ibn al Haytham et Al Khayyam, lors de leurs commentaires des Éléments afin d'établir plus rigoureusement la proposition 4 du livre I des Éléments énonçant le premier cas d'égalité des triangles :

Si deux triangles ont un angle égal, compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, alors ces deux triangles sont égaux (superposables)

Ci-dessus : Formulation et "preuve" (on peut déplorer le manque de rigueur dû à l'usage d'un calque, mais n'ergotons pas...), du 1er cas d'égalité des triangles, extraite du manuel Lebossé-Hémery, Algèbre, Arithmétique et Géométrie, classe de 4ème des lycées et collèges, Ed. Nathan, 1951.

Par triangles égaux, on entendait jusque dans les années 1950-60, des triangles ayant leurs six éléments correspondants (chacun à chacun) de mêmes mesures (angles et côtés).

Rappelons les second et troisième cas :

Ces résultats montrent que trois données correspondant (ou se ramenant) à ces trois cas conduisent à la construction d'un triangle et un seul. Par exemple, si AB = 6, ^ABC = 55° et ^ACB = 65°, on déduit ^CAB = 180° - 55° - 65° = 60° et l'application du second cas conduit à l'unicité du triangle ABC et à sa construction.


Niveau 3è : Dans un triangle ABC, on suppose connu BC et les angles ^B et ^C.
Prouver, en traçant la hauteur issue de A et en distinguant les deux cas ^B aigu et ^B obtus  que :

Niveau lycée : Retrouver ce résultat en utilisant la formule des sinus

 
Résolutions de triangles
, Parallèles équidistantes

Euclide étudie aussi les relations entre les côtés de triangles dont les angles ont les mêmes mesures, sans condition de parallélisme sur les côtés, ce qui le conduit à établir des relations de proportionnalité analogues à celles rencontrés dans la propriété de Thalès. Il s'agit des triangles semblables dont on trouvera de nombreuses applications dans ChronoMath :

Somme des angles d'un triangle :            Inégalités dans le triangle :           Triangles semblables :

Raisonner, démontrer, prouver, déduire, CQFD :

L'art du raisonnement hypothético-déductif consiste, à partir de postulats ou résultats déjà acquis et donc posés comme hypothèses (au sens premier : assertions, propositions sous-jacentes supposées vraies), en la déduction (conséquence) logique de nouveaux résultats.

Par logique, on entend étymologiquement un discours (du grec logos = discours et logikê = qui est relatif à la raison) objectif s'appuyant exclusivement sur les hypothèses. Euclide et Aristote ont élevé le raisonnement hypothético-déductif au plus haut niveau de la pensée scientifique et philosophique de leur époque.

La méthode de démonstration dite de réduction à l'absurde (ou raisonnement par l'absurde), initiée par Aristote fut un puissant outil utilisé par Euclide.

Aristote, le syllogisme et la dialectique :

Le célèbre CQFD, Ce Qu'il Fallait Démontrer, est la traduction française du QED, Quod Erat Demonstrandum, acronyme latin traduit de l'équivalent grec qu'utilisait systématiquement Euclide pour clore une démonstration.

Déraisonner, c'est ne pas avoir un discours logique. De méchants et irrespectueux professeurs disent parfois d'un élève qu'il résonne comme un tambour (le tambour, comme chacun sait, est vide). Une tête bien pleine ne résonne pas, elle raisonne !

Preuve, selon Euclide, du théorème de Pythagore :       et du théorème d'Al Kashi :

  Apprendre à démontrer   
Apprendre a construire , Exercices élémentaires sur les angles , Voir aussi...

Quadrilatères & triangles particuliers   
apprendre à construire/démontrer - 6ème/5ème

    Caractériser un losange #2   
    apprendre à démontrer - 5ème

Caractérisation d'un carré #1    
apprendre à démontrer - 6ème

    A la découverte d'un losange   
    apprendre à démontrer - 5ème/4ème

Caractérisation d'un carré #2    
apprendre à démontrer - 4ème

    Sans titre !    
    bissectrice, parallélogramme, losange - 5ème/4ème

Caractérisation d'un carré #3    
apprendre à démontrer - 4ème

    Un quadrilatère un peu particulier...  
    en application de la droite des milieux - 4ème

Caractérisation d'un carré #4    
apprendre à démontrer - 4ème

    Une application de l'inégalité triangulaire    
    point intérieur à un triangle - 5ème/4ème

Losange & parallélogramme    
apprendre à démontrer - 5ème

    Construire, conjecturer, démontrer    
    losange, parallélogramme, milieu - 4ème/3ème

Caractériser un losange #1   
apprendre à démontrer - 5ème

    C'est évident
    géométrie élémentaire ou rotations - 3ème/2nde

Cette page, comme toutes celles de ChronoMath, représente un travail personnel non négligeable de recherches. A ceux qui l'ont recopiée et publiée sur leur site ou blog sans pudeur ni scrupule (ou qui s'apprêteraient à commettre cette abomination...) , je recommande de vérifier les informations qu'elle contient car elles peuvent être entachées d'erreurs (y compris d'orthographe !) et de s'interroger sur les problèmes de déontologie, de bonne éducation et de droits d'auteur...

Qu'est-ce qu'une construction mathématique au sens d'Euclide ?                       

Construire une figure consiste, sauf consigne contraire, à déterminer les points qui la constituent en utilisant ces deux seuls instruments, la règle et le compas, hérités de la tradition platonicienne :

  La règle est considérée ici comme un moyen de relier deux points (déjà construits) : elle sert à tracer un segment ou une droite; elle n'est donc pas graduée. La règle permet aussi de construire un point en tant qu'intersection de deux lignes (une ligne est ici une droite, un segment, un cercle ou une courbe quelconque déjà construits).

  Le compas sert à tracer des cercles dont le centre et un point (ou le rayon : écart) sont déjà déterminés. Le compas permet également de construire un point en tant qu'intersection de deux cercles.

L'usage des règle et compas seuls dans une construction oblige à la réflexion, au raisonnement, mais il ne doit pas être obligatoire ou systématique (à l'école ou au collège).

On remarque chez les jeunes élèves (6è, 5è) la difficulté à se forger une image mentale a priori d'une figure géométrique, même élémentaire comme un segment en tant que côté d'un triangle : pour de nombreux enfants, deux arcs de cercles centrés en A et B et se coupant en C est un dessin, et non une figure géométrique structurée, possédant des propriétés.

La présence implicite des segments [AC] et [BC] (rayons) n'est pas perçue. D'où la difficulté pour ces élèves à construire des objets géométriques sans l'usage de la règle graduée : si les mesures ne leur sont pas données, la figure est "impossible", le professeur a "oublié de donner les mesures"...

à l'école, si l'objectif de la construction est d'évaluer les connaissances de l'élève sur un nouveau savoir et les propriétés géométriques remarquables de ce savoir (par exemple, construire la médiatrice d'un segment, suite à sa caractérisation), on pourra exiger l'usage des seuls règle non graduée et compas. Sinon on parlera de tracer plutôt que de construire. Et là, tous les outils sont permis.

L'usage d'une règle graduée, d'un rapporteur, d'une équerre (du latin, préfixe é : augmenter et quadrare = rendre droit, qui a aussi donner équarrir), d'une bande de papier, voire d'une calculatrice, apparaîtra généralement dans les cas où la construction d'une figure n'est qu'un support visuel du problème étudié et non un objectif.

Apprendre à Construire    Apprendre à démontrer , Exercices élémentaires sur les angles

Vocabulaire de la géométrie (programme de construction)  -  6ème

Construction d'un triangle  apprendre à construire  -  CM2/6ème/5ème

Construction d'un triangle  apprendre à construire  -  4ème/3ème (hauteurs, médianes, centre de gravité)

Programmes de construction #1, #2, #3, #4 (4 exercices) apprendre à rédiger et construire - 6ème/5ème
Construction d'un triangle connaissant une hauteur et le centre de gravité   -  4ème & 1èreS/TerS

Aire d'un carré  construction d'un carré connaissant la mesure de ses diagonales  -  6ème

Barrette mobile dans un triangle  -  4ème/2nde
Construction géométrique  d'une perpendiculaire - 4ème
Construction géométrique  axe de symétrie - 4ème
Programme de construction #4  apprendre à construire, mesures et codage  - 4ème
Construction de la tangente au cercle   -  4ème
Construction de cercles tangents   -  4ème/2nde

Triangle équilatéral inscrit   dans un cercle, dans un carré (un sommet étant imposé)


  Voir aussi plus difficile... :
MalfattiMohr , Mascheroni , Napoléon , Petersen


Le dogme de la règle et du compas : un frein dans le développement mathématique ?

L'admiration quasi mystique de la droite et du cercle induite par Platon, induisant la notion de construction géométrique acceptable à l'aide du compas et de la règle seuls, a pu être un frein au développement des mathématiques par le biais de la géométrie euclidienne.

En effet, l'intersection d'une droite et d'un cercle fournit au plus deux points : la conséquence de ce dogme de la construction et d'une mathématique reposant sur la géométrie est une algèbre limitée à l'équation du second degré ne fournissant des solutions qu'à des problèmes quadratiques (du second degré), donc constructibles.

Wantzel , Petersen


Euclide (ou Archimède selon certains) : l'École d'Athènes, selon Raphaël- Détail
Chambre de la Signature, Vatican

Conscients cependant des limites de la règle et du compas, les mathématiciens grecs débordèrent d'imagination et de génie dans leur acharnement à résoudre les subtils problèmes que furent la duplication du cube, l'évaluation de π, la trisection de l'angle ou la quadrature du cercle.

L'étude des sections coniques, l'invention de courbes ingénieuses comme la conchoïde de droite et la théorie des proportions, permirent d'aborder des problèmes relevant du 3ème ou 4ème degré.

Section dorée et pentagone/décagone régulier :

Inégalités usuelles dans le triangle :

Certains problèmes métriques de géométrie demandent quelques connaissances des relations élémentaires liant les côtés aux angles du triangle et permettant de comparer ces côtés et ces angles. Euclide se pencha sur le sujet.

La plus connue est l'inégalité triangulaire ( i4 ci-après), utilisée dans la définition d'une distance d'un espace métrique, et enseignée dès le collège en classe de 5ème. Voici l'ensemble des inégalités usuelles du triangle :

i1/ (Euclide, Livre I, XVI) : la mesure d'un angle extérieur est supérieure à chacune des mesures des deux angles intérieurs non adjacents et, plus précisément, sa mesure est la somme des mesures des angles non adjacents.

Rappelons que par angles adjacents, on entend deux angles ayant un côté commun et dont les autres côtés sont situés de part et d'autre de ce côté commun. Ci-dessus, ^BCA et ^ACD sont adjacents. Il en est de même de ^ACD à ^xCD mais ^BCA n'est pas adjacent à ^xCD.

Ci-dessous, l'angle extérieur ^xCA égale (en mesure) ^CBA + ^BAC :

La preuve de ce résultat est très simple en considérant le parallélogramme ADCB obtenu en construisant le point D, symétrique de B par rapport au milieu J de [AC].

i2/ (Euclide, Livre I, XVIII) : si deux côtés d'un triangle n'ont pas même mesure, il en est de même des angles opposés et au plus grand côté est opposé le plus grand angle :

En effet, supposons (ci-dessus) BC > BA. On peut placer D sur [BC] tel que BA = BD.
On a ^BAD = ^BDA et, d'après i1/, ^BDA > ^BCA, donc ^BAD > ^BCA. Mais ^BAC > ^BAD puisque ce dernier angle est intérieur à ^BAC. Donc ^BAC > ^BCA. On montrerait de même ^BAC > ^ABC si BC > AC.


i3/ (Euclide, Livre I, XIX) : si deux angles d'un triangle n'ont pas même mesure, il en est de même des côtés opposés et au plus grand angle est opposé le plus grand côté (réciproque de i2).

Supposons ^BAC > ^ABC et comparons BC et AC. On ne peut avoir BC = AC sinon le triangle est isocèle en C et on devrait avoir ^BAC = ^ABC. On ne peut avoir BC < AC car selon i2/ nous aurions ^BAC < ^ABC. On a donc BC > AC.

i2/ et i3/ montrent que les angles d'un triangle sont dans le même ordre (au sens des mesures) que les côtés opposés.

i4/ Inégalité triangulaire (Euclide, Livre I, XX) : La mesure de tout côté d'un triangle est inférieur à la somme des mesures des deux autres côtés.

Ce résultat est évident si l'on admet comme postulat que le plus court chemin d'un point à un autre est la « ligne droite » ou que « traverser tout droit » est toujours plus court que « traverser en oblique »...

La preuve d'Euclide : sur la figure ci-dessous, prolongeons [BC] et plaçons D tel que CA = CD. [AC] étant intérieur à ^BAD, cet angle est supérieur à ^CAD. Le triangle ACD étant isocèle, on en déduit ^CDA < ^BAD. Selon i3/ on peut conclure que dans le triangle BAD, on a AB < BD. Mais BD = BC + CD, soit : AB < BC + CA.

i5/ La mesure de tout côté d'un triangle est supérieure à la différence absolue des mesures des deux autres côtés :

Selon i4/ on a dans tout triangle ABC : BC < AB + AC ,  AB < BC + AC  et  AC < AB + BC. Ce qui fournit par exemple AB > BC - AC (1) et AB > AC - BC. Or BC - AC et AC - BC sont opposés, donc  AC > | BC - AC |.


Utiliser les résultats précédents afin de prouver la proposition XXI (Livre I) :
Un triangle ABC étant donné, on construit intérieurement un triangle BMC, on a alors BM + MC < BA + AC mais ^BMC > ^BAC
BM peut être supérieur à BA !!!  Déplacer M vers A' et A' vers C..

Si vous séchez après avoir bien cherché :

  Variante et prolongement (inégalité triangulaire)
 
© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Réponse :

Preuve donnée par Euclide (Livre I, proposition XXI) :

a) M étant intérieur à l'angle ^BAC, la demi-droite [AM) coupe [BC] en un point A'. Selon le résultat i1/, l'angle ^BMA' extérieur au triangle BAA' est supérieur à ^BAM. De même ^A'MC est supérieur à ^A'AC. D'où ^BMC > ^BAC.

b) Étudions maintenant la longueur BM. Le point M étant intérieur à ABC, la demi-droite [BM) coupe [AC] en un point M'. Dans le triangle  BAM', on a AB + AM' > BM' (inégalité triangulaire : i4). Ajoutons membre à membre M'C; on obtient :

BA + AC > BM' + M'C.

Dans CM'M, on a CM' + M'M > CM (inégalité triangulaire : i4). Ajoutons membre à membre MB :

CM' + M'B > CM + MB


  Vous pouvez déplacer A, B, C et M

Des deux relations trouvées, on conclut : BA + AC > CM + MB  (ou BM + MC), ce qu'il fallait démontrer.


© Serge Mehl - www.chronomath.com