ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Théorème « du sandwich » ou théorème « des gendarmes »    
 
dérivée de sin x et cos x

Très utile est le théorème suivant, concernant la limite d'une fonction encadrée par deux autres (d'où l'appellation humoristique rencontrée dans certains manuels de classe terminale) :

Pour toute valeur x d'un intervalle, éventuellement privé d'un point xo, on suppose avoir :

i/  u(x) < f(x) < v(x)           (  peut remplacer  <)

ii/

  Alors :

Ce résultat s'applique aux suites numériques : si (un) et (vn) convergent vers une limite L et si, à partir d'un certain rang, on a un < wn < vn, alors la suite (wn) converge vers L.

Preuve :         

u(x) < f(x) < v(x)

soit vérifié.

Posons Z = XX'X". C'est un voisinage de xo et il apparaît que si x en est un élément autre que xo, on a :

]L - ε < u(x) < f(x) < v(x) < L + ε[

Ainsi, pour tout voisinage Wε de L, il existe un voisinage Z de xo tel que  xZ-{xo} f(x)Wε : CQFD.

Plus généralement si u tend vers L et v vers L' avec l'encadrement u(x) < f(x) < v(x), on a, "à la limite", l'inégalité large :  L lim f L'. Dans un passage à la la limite une relation d'inégalité stricte devient large. Un exemple évident : si n est un entier naturel non nul, 1/n > 0 pour tout n. Lorsque n tend vers l'infini, lim 1/n = 0 : la limite L en un point d'une fonction strictement positive est non négative : L 0. Schématiquement, α désignant une constante, si lim f existe, alors : f < α  devient  lim f α. Dans ce théorème du sandwich, L = L' et l'antisymétrie de la relation d'ordre entraîne lim f = L.

Exemple (bien connu) d'application :        

On suppose connu que la limite en 0 de cos x est égale à 1, montrons que :

Comparons les aires des triangles OHB et OAM à celle du secteur OAB coloré en jaune. On a :

Aire trg OHB < Aire secteur OAB < Aire trg OAM

C'est dire que : ½sin x.cos x < ½x (radians) < ½tan x

Et en divisant par sin x, non nul :

cos x < x/sin x < 1/cos x

L'application du « théorème du sandwich » conduit au résultat cherché puisque la limite de la fonction cos x en zéro est 1.

  On déduit de ce résultat :      

Preuve : la formule bien connue cos2x = 1 - 2sin2x, permet d'écrire :

 limx→o(1 - cos x)/x = limx→osin(x/2)sin(x/2)/(x/2) = 01 = 0

et ces deux résultats permettent de prouver que la fonction dérivée de x sin x est xcos x. Il suffit d'écrire le taux c'accroissement de la fonction sinus :

et de passer à la limite lorsque h tends vers 0. Quant à la dérivée de cos x, on peut la calculer de façon similaire ou bien écrire que cos x = sin(π/2 - x) et dériver en tant que fonction composée : f[g(x)]' = f '[g(x)]g'(x).

Constante d'Euler (suites adjacentes) , étude de la fonction sin(x)/x


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