ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Théorème « du sandwich » ou théorème « des gendarmes »          » dérivée de sin x et cos x

Très utile est le théorème suivant, concernant la limite d'une fonction encadrée par deux autres (d'où l'appellation humoristique rencontrée dans certains manuels de classe terminale) :

 ➔  Ce résultat s'applique avec profit aux suites numériques :

1. si (u_n) et (v_n) convergent vers une limite L et si, à partir d'un certain rang, on a u_n < w_n < v_n, alors la suite (w_n) converge vers L.
2. si, pour tout n de N, on a 0 < u_n < v_n et si v_n tend vers 0, alors la suite (u_n) converge également vers 0.

Preuve :  Selon la première hypothèse, il existe un voisinage X de x_o tel que pour tout x de X-{x_o}, l'encadrement u(x) < f(x) < v(x) soit vérifié. Selon la seconde, pour tout voisinage W_ε = ]L - ε, L + ε[ de L :
                   - il existe un voisinage X' de x_o tel que  x∈X'-{x_o} ⇒ u(x)∈W_ε
                   - il existe un voisinage X" de x_o tel que x∈X"-{x_o} ⇒ v(x)∈W_ε

Posons alors Z = X∩X'∩X". C'est un voisinage de x_o et il apparaît que si x en est un élément autre que x_o, on a : ]L - ε < u(x) < f(x) < v(x) < L + ε[.
Ainsi, pour tout voisinage W_ε de L, il existe un voisinage Z de x_o tel que  x∈Z-{x_o} ⇒ f(x)∈W_ε : CQFD.

D'une façon générale : si u tend vers L et v tend vers L' avec l'encadrement u(x) < f(x) < v(x), on a, "à la limite", l'inégalité large :  L ≤ lim f ≤ L'. Dans un passage à la la limite une relation d'inégalité stricte devient large.

• Exemple simple : si n est un entier naturel non nul, 1/n > 0 pour tout n. Lorsque n tend vers l'infini, lim 1/n = 0 : la limite L en un point d'une fonction strictement positive est non négative : L ≥ 0. Schématiquement, α désignant une constante, si lim f existe, alors : f < α  devient  lim f ≤ α. Dans ce théorème du sandwich, L = L' et l'antisymétrie de la relation d'ordre entraîne lim f = L.

Exemple (bien connu) d'application :  

On suppose connu que la limite en 0 de cos x est égale à 1, montrons que :

Comparons les aires des triangles OHB et OAM à celle du secteur OAB coloré en jaune. On a :

Aire trg OHB < Aire secteur OAB < Aire trg OAM

C'est dire que : ½sin x.cos x < ½x (radians) < ½tan x

Et en divisant par sin x, non nul :

cos x < x/sin x < 1/cos x

L'application du « théorème du sandwich » conduit au résultat cherché puisque la limite de la fonction cos x en zéro est 1.

 ➔  On déduit de ce résultat :     

Preuve : la formule bien connue cos2x = 1 - 2sin²x, permet d'écrire :

 lim_{x →o}(1 - cos x)/x = lim_{x →o}sin(x/2) × sin(x/2)/(x/2) = 0 × 1 = 0

et ces deux résultats permettent de prouver que la fonction dérivée de x → sin x est x → cos x. Il suffit d'écrire le taux c'accroissement de la fonction sinus :

et de passer à la limite lorsque h tends vers 0. Quant à la dérivée de cos x, on peut la calculer de façon similaire ou bien écrire que cos x = sin(π/2 - x) et dériver en tant que fonction composée : f[g(x)]' = f '[g(x)] × g'(x).

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Constante d'Euler (suites adjacentes) , étude de la fonction sin(x)/x