ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

GAUSS (Gauß) Karl Friedrich, allemand, 1777-1855             
         Loi normale :
calcul en ligne de π(t) | Congruences | Géométrie différentielle | Nombres complexes

Enfant prodige, né à Brunswick dans une famille pauvre, Gauss obtint une bourse (1792) du duc de Brunswick afin de poursuivre ses études. Il étudia à Göttingen de 1795 à 1798 et soutint sa thèse l'année suivante à Helmstedt sous la direction de Pfaff (qui devint son ami), portant sur une démonstration rigoureuse du fameux théorème de d'Alembert.

Illustre mathématicien (arithmétique, géométrie différentielle), physicien (importants travaux et publications en électricité, optique et magnétisme, théorie du potentiel), Gauss fut aussi, et principalement, un astronome réputé. Il établit (1801) l'orbite de Cérès, découverte la même année par l'astronome italien Giuseppe Piazzi, en utilisant une méthode toute nouvelle : la méthode des moindres carrés ( ci-après). Grace à ce beau résultat, mais aussi pour le dissuader de quitter l'Allemagne pour Saint-Pétersbourg (où la mort de Euler en 1783 avait laissé un grand vide), la direction de l'observatoire de Göttingen lui est offert 6 ans plus tard (1807), succédant à Mayer. Il conserva ce poste durant toute sa carrière tout en enseignant à l'université.

Sollicité par von Humboldt, Gauss est, avec le physicien Wilhelm Eduard Weber (1804-1891) qui rejoignit Göttingen en 1831, à l'origine de l'étude du champ magnétique terrestre. Le gauss est aujourd'hui l'unité d'induction magnétique, le weber est celle du flux magnétique. Ce grand savant, qui dirigea la thèse de Bernhard Riemann à l'âge de 74 ans (1851), sera surnommé par ses pairs Prince des mathématiciens.

Le théorème fondamental de l'algèbre :

Comme dit ci-dessus, c'est dans sa thèse de doctorat  que Gauss démontre complètement (1799) le théorème fondamental de l'algèbre (énoncé au préalable par Girard et démontré partiellement par d'Alembert) de quatre façons différentes mettant en œuvre un usage géométrique des nombres complexes avant d'en donner une preuve plus algébrique 40 ans plus tard :

Tout polynôme d'une variable complexe, de degré n, admet n racines complexes (éventuellement égales)

En savoir un peu plus sur ce célèbre théorème :

L'arithmétique de Gauss et la notion de congruence :

Tout jeune enfant, Gauss avait étonné son instituteur en utilisant une méthode subtile pour le calcul rapide des n premiers nombres entiers. Une des contributions majeures de Gauss en mathématiques sera dans ses Recherches arithmétiques (Disquisitiones arithmeticae, 1801, réf.1) où il crée, à 24 ans, le concept de congruence, outil puissant dans la résolution d'équations en nombres entiers.

Gauss établit un grand nombre de théorèmes fondamentaux complétant magnifiquement l'arithmétique d'Euclide, dont son fameux et incontournable théorème selon lequel :

Si d divise un produit ab d'entiers et si a et d sont premiers entre eux, alors d divise b

Il se penche également sur la distribution des nombres premiers dans l'ensemble des entiers naturels, un sujet encore à l'étude aujourd'hui.

L'arithmétique de Gauss, congruences, théorème chinois, résidus quadratiques, nombres premiers, ... :

L'étude des polygones réguliers, leur constructibilité :

S'intéressant aux problèmes anciens de la géométrie grecque, Gauss étudia les nombres et les polygones réguliers (angles égaux et côtés égaux) constructibles à l’aide des seuls règle et compas autorisés par Platon et Euclide.

L'étude des polygones réguliers est né de la volonté d'améliorer les calculs de la circonférence sur lesquels se pencheront tout particulièrement Archimède et, bien plus tard au 15è siècle : de Cusa dans le calcul de π (rapport de la circonférence à son diamètre).

Gauss énonça qu'un polygone régulier à n côtés est constructible si, condition suffisante , n est un nombre premier de Fermat, de la forme 22^p + 1 (^ signifiant ici exposant). Gauss affinera la condition sous une forme plus générale qui sera entièrement démontrée par Wantzel en 1837.

Polygones réguliers :

Le développement de la théorie des nombres algébriques, la reconnaissance des nombres négatifs :

Gauss est aussi à l'origine de la théorie des nombres algébriques, née de la volonté de résoudre algébriquement les équations polynomiales, problème très difficile résolu par la négative par Abel (degré 5) et Galois (pour tout degré excédant 4). Au cœur de cette théorie se retrouvera le grand théorème de Fermat et les recherches des grands algébristes que furent Kronecker, Kummer, Lamé, Dirichlet, Dedekind, Weber, et Hilbert avec son ZahlBericht (1893).

Nombre algébrique selon Abel :

Avec les travaux de Gauss et, précédemment, de Euler, on peut considérer que les nombres négatifs ( Jean de Baugrand, 1638) sont définitivement considérés comme des nombres à part entière. Depuis la Chine et surtout les mathématiques indiennes du 7ème siècle, il aura donc fallu plus de 1000 ans pour donner à ces nombres "faux" ou "absurdes", "fictifs" ou "quantités impossibles", le statut de nombre qui leur était refusé de par l'héritage babylonien et grec

Le nombre ou la fraction étant alors la mesure d'une grandeur géométrique, donc "positive". Il faut rendre cependant hommage à Girard qui les avait intégrés dans son Invention nouvelle en l'Algèbre (1629) afin de pouvoir énoncer qu'un polynôme de degré n admet n racines réelles ou imaginaires (théorème fondamental de l'algèbre).

 Brahmagupta , Stifel , Girard , Descartes , Buée  

La théorie moderne des nombres complexes :

Tous comme les nombres négatifs, les quantités imaginaires (Descartes, 1637) n'avaient pas un véritable statut depuis leur apparition dans les travaux de Cardan et de Bombelli. On doit à Gauss (1831) une définition précise des nombres complexes : leur statut de nombre émerge avec la notation z = a + bi avec i2 = -1 (notation i due à Euler), incluant les nombres usuels (réels) lorsque b = 0 et leurs interprétation et représentation géométrico-trigonométriques dans un repère orthonormé du plan, dont la paternité revient à Wessel (1799) et Argand (1805), sont définitivement acquises.

Rappelons ici que le nombres complexe  a - bi, est appelé nombre conjugué de z, on le note généralement z : cette notation est conforme à la tradition d'appeler conjugué du nombre a + b la quantité a - b. On a en particulier zz = a2 + b2. Le nombre réel a est appelé partie réelle de a et souvent noté Re(z); le nombre réel b est la partie imaginaire de z et généralement notée Im(z).    

Module, argument, forme trigonométrique :             

L'ensemble C des nombres complexes, corps commutatif, s'interprète en tant qu'espace vectoriel de dimension 2 sur R. Gauss affirme la même année 1831, conviction sans preuve, qu'il n'existe pas d'autre système de nombres "hypercomplexes", surcorps de R,  possédant la structure de corps commutatif.

Structures algébriques :              d'Alembert et les nombres imaginaires :

  Hamilton et quaternions , Cayley et octonions

Racine n-ièmes d'un nombre complexe :      

Tout comme pour les nombres "usuels" (entiers, rationnels, réels), un nombre complexe possède-t-il une racine carrée, cubique ou n-ième ? Le problème est plus... complexe.

Exemple : Posons j = (-1 + i3)/2; on a j2 = (-1 + i3)2/4 = (-1 - i3)/2 = -1 - j, donc 1 + j + j2 = 0 et j + j2 + j3 = 0. D'où j3 = 1 et j apparaît donc comme une racine cubique (complexe) de l'unité; il y en a deux autres : 1 (bien connue !) et j2 = (-1 - i3)/2, conjugué de j.

Racines carrées, cubiques et n-ièmes d'un nombre complexe (étude) :

                        Exercices divers niveau Ter/Sup

Entiers de Gauss :     

Afin de rechercher les solutions d'équations diophantiennes (étude d'équations en nombres entiers), comme ce résultat dû à Fermat selon lequel

Tout entier p premier de la forme 4n + 1 est une somme de deux carrés,

Gauss introduira implicitement la notion d'anneau avec l'ensemble, noté de nos jours Z[i], des nombres complexes de la forme a + bi, également notés a + b, où a et b sont entiers, dits entiers de Gauss, et celle d'extension de corps avec Q[i].

Cependant les appellations anneau et corps ne sont pas de Gauss : elles furent introduites ultérieurement par Hilbert (anneau) et Weber (corps), mais Dedekind fut un des premiers à manipuler ces concepts au sens de structure algébrique.

Divisibilité dans un anneau :                      Corps de nombres algébriques :

On peut définir dans Z[i] une arithmétique prolongeant celle des entiers relatifs : si d et z sont éléments de Z[i], d sera diviseur de z s'il existe un élément z' de Z[i] tel que z = dz'.

On remarque que i est un diviseur de tout élément z = a + bi de Z[i] puisque (a + bi)/i = b - ai. Dans cet ensemble l'entier 5, par exemple, n'est pas un nombre premier puisque 5 = (2 + i)(2 - i). Par contre 3 en est un : il n'admet pas d'autres diviseurs (au signe près) que 1, i et lui-même :


Montrer que dans Z[i], 3 est premier. On raisonnera par l'absurde en écrivant 3 = (a + bi)(c + di), avec a, b, c, d
entiers et on remarquera que 3 étant réel, on a aussi 3 = (a - bi)(c - di), d'où 9 = (a2 + b2)(c2 + d2)

Divisibilité dans un anneau commutatif :

En remarquant que (a + bi)(a - bi) = a2 + b2, on voit qu'une somme de carrés entiers est toujours factorisable dans Z[i] et on peut retrouver le théorème déjà cité :

Tout nombre premier dans N de la forme 4n + 1 se décompose de façon unique
en somme de deux carrés
(d'entiers)

Des entiers premiers comme 13 = 32 + 22, 17 = 42 + 12 , ... , 421 = 142 + 152 en sont des exemples.

Kummer , Eisenstein

Les fonctions analytique d'une variable complexe :     

Comme le montre une lettre adressée à Bessel en 1811, on doit à Gauss un première approche des fonctions analytiques d'une variable complexe, c'est à dire l'étude des fonctions f d'une variable complexe z développable en série entière autour d'un point donné zo :

f(z) = Σan(z - zo)n

Mais ce sera Cauchy (dès 1814), Laurent (1843) puis Riemann (1851), un de ses élèves à Göttingen qui en élaboreront une véritable théorie. Noter que la qualification d'analytique, dans le cas réel, est due à Condorcet.

Géométrie différentielle, étude des surfaces, coordonnées curvilignes        notion de surface

La géométrie différentielle consiste à cette époque en l'étude locale des courbes et des surfaces paramétrées (de l'espace usuel) faisant intervenir le calcul différentiel (orientation, tangentes, plan tangent, normale, torsion, ...) et intégral (longueur d'un arc, aires).

Après Clairaut et Monge, Gauss apporte une vision novatrice dans l'étude des surfaces (par exemple, la sphère, le tore, l'ellipsoïde, l'hyperboloïde, le ruban de Möbius...), de leurs courbures et de leurs géodésiques, plus courts chemins entre deux points ( surface), avec l'usage des coordonnées paramétriques (dont l'initiateur fut Euler) dans un vaste traité de géométrie différentielle (Recherches sur la théorie générale des surfaces courbes, 1827).


L'
hyperboloïde à une nappe  (qui ressemble à l'hyperbole) peut vous rappeler le diabolo (qui ressemble à deux bols, ref.8)...

Theorema egregium :    

Dans sa théorie des surfaces, Gauss développe un important chapitre sur la notion de courbure. Sous ce nom latin, signifiant théorème remarquable, Gauss établit ce résultat effectivement remarquable selon lequel :

La courbure totale d'une surface est préservée par isométrie locale

La notion de courbure et de torsion (courbes 3D) :              Surfaces et courbure gaussienne (ou totale) :

Riemann donnera une interprétation plus abstraite de cette géométrie avec l'étude des fonctions complexes, les premiers apports de la topologie, avec Listing, un autre élève de Gauss, et la notion de variété différentielle sur laquelle reposera plus tard la théorie de la relativité d'Einstein. Avec René Thom, la géométrie différentielle prend un essor nouveau avec le cobordisme, nouvelle branche de la topologie différentielle (étude des variétés en tant qu'espaces topologiques).

Riemann et la notion de variété différentielle :                    Frenet , Serret , Darboux , Ribaucour

Les coordonnées curvilignes :

En remplacement de l'équation générale f(x,y,z) = 0 ou z = f(x,y) que Monge utilisait, Gauss définit un point M(x,y,z) d'une surface par la donnée de x, y et z au moyen de deux paramètres :

x = f(u,v) , y = g(u,v) , z = h(u,v)

Le couple (u,v) constitue les coordonnées curvilignes de M (du latin curvus = courbe, par opposition aux coordonnées cartésiennes x, y, z de Descartes calculées relativement à un repère "rectiligne"). Elles sont également dites de Gauss ou gaussiennes.

En écrivant (u,v)φ(u,v), vecteur de R3 de coordonnées x = f(u,v), y = g(u,v), z = h(u,v), on obtient une représentation paramétrique de la surface dont les éléments caractéristiques seront donnés par les relations entre les dérivées partielles de φpar rapport à u et v.

Par exemple, la normale en un point M(u,v) sera donnée par le produit vectoriel φ/uφ/v lorsque M est régulier : φ/u et φ/v indépendants.

Si on fixe u (resp. v), un point M de la surface décrit une courbe dite première ligne de coordonnées (resp. seconde) et tout point M de la surface est généralement à l'intersection des deux lignes de chaque famille ainsi engendrée.

Cas du ruban de Möbius :              Étude locale d'une surface, trièdre de Ribaucour, indicatrice de Dupin :

Sur la sphère de rayon R, les coordonnées curvilignes sont la longitude λ et la latitude θ et les lignes de coordonnées sont alors les méridiens (grands cercles : de diamètre 2R) et les parallèles : cercles parallèles à l'équateur. L'équateur a pour latitude 0. Un méridien origine doit être est choisi pour définir la longitude.

Surfaces élémentaires :       Tracer une surface avec Wim's (lien externe) :

Géométrie non euclidienne :

Cherchant à réfuter le 5e postulat d'Euclide, Gauss perçoit la géométrie, dite aujourd'hui de Lobatchevski ou encore hyperbolique (géométrie sur une surface à courbure négative), mais préoccupé par d'autres tâches, Gauss ne publie pas ces travaux. On trouve la preuve de ces recherches dans une lettre adressée au mathématicien allemand Franz Adolph Taurinus en 1824.

Notions sur les géométries non euclidiennes :

Méthode du pivot (ou des pivots), réduction de Gauss (matrices) :

Elle permet une résolution pratique (algorithme) des systèmes d'équations linéaires :

a1,1x1 + a1,2x2 + … + a1,nxn = b1
a2,1x1 + a2,2x2 + … + a2,nxn = b2

...
a
n,1x1 + an,2x2 + … + an,nxn = bn

Gauss procède par transformations (dites élémentaires) sur les lignes, à savoir : permutations, multiplication par un réel non nul, combinaisons linéaires, afin de ramener le système à un système triangulaire (c'est à dire dont la matrice est triangulaire : les termes sous la diagonale sont nuls), ce qui permet d'obtenir facilement les solutions.

Cette méthode est au programme des classes de Terminale S. Lorsque le système n'est pas de Cramer ou est rectangulaire, on tente de trianguler le système principal extrait. Gauss a également construit un algorithme de résolution par itérations successives qui sera amélioré par Jacobi et Seidel.

Méthode du pivot (système n x n) et exemples élémentaires :

Réduite de Gauss :       

La mise sous forme triangulaire d'une matrice selon le procédé de Gauss porte le nom de réduction de Gauss ou réduite de Gauss. L'algorithme permet de déterminer le rang d'une matrice et l'indépendance linéaire d'un système de vecteurs.

Voici un exemple dans R3 : considérons u(2,3,1), v(3,4,1) et w(1,2,1). On peut écrire la matrice M correspondant à ces trois vecteurs :

Avec des notations qui paraîtrons bien évidentes au lecteur procédons à L2 ==> L2 - L1 et L3 ==> L3 - ½ L1. La matrice M devient :

Si l'on procède maintenant dans M' à L3 ==> L3 - L2, il vient la forme recherchée :

La matrice M" est triangulaire. Mieux : on voit que le terme de rang 3 de la diagonale est nul. Par conséquent ses vecteurs colonnes sont dans le plan des (x,y). Les deux premiers sont clairement non colinéaires :  u, v et w sont coplanaires et la matrice initiale M est de rang 2. On pouvait reconnaître cet état de fait par L3 = L2 - L1 ou encore remarquer la liaison des colonnes : 2C1 - C3 = C2.

Loi de Laplace-Gauss aussi appelée loi normale, cloche de Gauss :

Cette loi de probabilité intervient dans l'étude de phénomènes quantitatifs aléatoires continus soumis à de multiples causes (aucune d'entre elles n'étant prépondérante), agissant additivement et indépendamment l'une de l'autre et dont la répartition des valeurs s'étale autour de leur moyenne.

par continu, on entend dont les valeurs peuvent être des nombres réels quelconques. Un phénomène non continu est dit discret : ses valeurs sont entières et dénombrables, c'est le cas de la loi de Poisson.

Si X est la variable aléatoire soumise à une telle loi, on recherche la probabilité que X prenne ses valeurs dans un intervalle donné. La densité de la loi normale de moyenne m (espérance mathématique) et d'écart-type est :

Sa représentation est une courbe en cloche comme illustrée ci-dessus (ancien billet de 10 marks allemands).

Étude de la loi normale, approximations, tables (programme JavaScript) :              Galton et loi normale

Intégrale de Gauss et fonction erf :

 Il s'agit de l'intégrale généralisée :

On montre relativement facilement que :

Calcul de l'intégrale de Gauss (2 méthodes) :

Ce résultat montre que la densité f de la loi normale est intégrable sur R et que son intégrale est égale à 1, ce qui est nécessaire pour une densité de probabilité.

Suivant les auteurs, l'intégrale de Gauss présente quelques variantes :

Si l'on considère le second cas en restreignant l'intervalle d'intégration à l'intervalle fini [0,x], on obtient une fonction intégrale, souvent notée erf(x) pour signifier error function :

La fonction erf se rencontre souvent multipliée par 2/. L'intégrale sur [x,+[ est alors son complémentaire et se note erfc. On a :

erf(x) + erfc(x) = 1

Usage de erf en thermodynamique (site externe) :

Les fonctions et intégrales elliptiques :

Gauss s'intéressa très tôt (au tout début du 19è siècle) aux intégrales elliptiques mais ne publia pas ses travaux. Ils seront poursuivis par Abel, Legendre et Jacobi. Gauss fut cependant le premier à découvrir leur double périodicité dans l'étude de l'intégrale elliptique :

On connaît bien les fonctions circulaires comme sinus et cosinus que l'on peut définir géométriquement sur le cercle trigonométrique. L'intégrale

              intégrales elliptiques

n'est autre que la fonction Arcsin, réciproque de la fonction circulaire sinus. Ainsi, l(x) peut s'interpréter de façon semblable non plus sur le cercle x2 + y2 = 1 mais sur la courbe d'équation x4 + y2 = 1, appelée lemniscate elliptique.

Gauss fonde la théorie des formes quadratiques :

Dans ses Recherches arithmétiques (1801), Gauss fonde la théorie des formes quadratiques, que développeront Cayley et Sylvester. Dans le cas de deux (resp. trois) variables réelles x et y, une forme quadratique f est un polynôme homogène de degré 2, fonction numérique de deux (resp. trois) variables  de la forme :

f(x,y) = ax2 + 2bxy + cy2 ,  g(x,y,z) =  ax2 + 2bxy + 2cxz + 2dyz + ey2

Ces formes se retrouvent dans l'étude d'équations diophantiennes, en géométrie analytique (produit scalaire) et en géométrie différentielle pour l'étude des surfaces (distance, orthogonalité, courbure). Elles firent l'objet de travaux importants de la part des mathématiciens du 19è siècle. Leur étude réapparait en théorie des nombres avec les travaux de Manjul Bhargava, médaille Fields 2014.

C'est dans cette nouvelle théorie que Gauss introduisit le concept de déterminant avec la notion de rang d'une forme quadratique : f(x,y) = ax2 + 2bxy + cy2 est de rang 2 si ac - b2 est non nul.

En savoir plus sur les formes quadratiques :

La méthode des moindres carrés (1801) :

En tant qu'astronome, Gauss fut amené à étudier des méthodes d'ajustement de ses nombreuses observations (comme le fit en son temps Mayer). En établissant, à 24 ans (1801), l'orbite de Cérès, découverte cette année-là par l'astronome italien Giuseppe Piazzi, il utilise une méthode toute nouvelle : la méthode des moindres carrés qu'il ne publia officiellement qu'en 1809 dans un traité sur le mouvement des corps célestes ( réf.3), ce qui  permit à Laplace de revendiquer la paternité de cette méthode également utilisée (initiée serait plus exact) indépendamment par Legendre :

On considère un nuage de points Mi(xi,yi) que l'on désire ajuster au mieux par une fonction mathématique f donnée : on recherche les paramètres de f les plus adéquats (fonction affine, polynôme, exponentielle, etc.) minimisant la somme des carrés des distances entre yi et f(xi).

Étude de la méthode des moindres carrés et programme en ligne :

 
Exercice pas gai
:
taux de mortalité  (faisant usage de la méthode des moindres carrés)

Étude de la fonction Γ et séries et fonctions hypergéométriques (1812) :

On doit à Gauss l'établissement de la formule, souvent dite de Euler-Gauss, pour la fonction Γ :

               Euler

 A ce sujet, on pourra se référer (partiellement) sur Google Livres au livre de Konrad Königsburger : clic me...

Initiées par Gauss, les séries hypergéométriques, réelles ou complexes, sont des séries entières, de la forme Σunzn  où le rapport un+1/un des coefficients de deux termes consécutifs est une fonction rationnelle de n. Cette appellation hypergéométrique provient du fait qu'on généralise ainsi celle de série géométrique Σαzn où le rapport en question est α = constante.

  Gauss fait là usage du symbole Π, symbole de produit fini ou non (Pi, P majuscule grec).

Séries et fonctions hypergéométriques :
Le prix Karl Friedrich Gauss :

Ce prix a été récemment créé (2006) par l'Union Mathématique Internationale en association avec l'Union mathématique allemande. D'un montant de 10 000 euros, il récompense des contributions marquantes dans le domaine des mathématiques appliquées et est décerné lors du congrès mathématique international se réunissant tous les 4 ans lors de la remise des médailles Fields.

En août 2010, le prix fut décerné au français Yves Meyer pour ses travaux sur les ondelettes associés à la compression des images numériques. Le japonais Kiyoshi Itō, décédé en 2008 à l'âge de 91 ans, fut le premier récipiendaire en 2006.

Site officiel du prix Gauss :

Pour en savoir plus :


Germain  Poinsot 
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