ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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GAUSS (Gauß) Karl Friedrich, allemand, 1777-1855                  Loi normale :   calcul en ligne de p(t) , -5 < t < 5  | Congruences  |  Géométrie  |  Nombres complexes

Enfant prodige, né à Brunswick dans une famille pauvre, Gauss obtint une bourse (1792) du duc de Brunswick afin de poursuivre ses études. Il étudia à Göttingen de 1795 à 1798 et soutint sa thèse l'année suivante à Helmstedt sous la direction de Pfaff.

Illustre mathématicien (arithmétique, géométrie différentielle), physicien (importants travaux et publications en électricité, optique et magnétisme, théorie du potentiel), Gauss fut aussi un astronome réputé : succédant à Mayer (1807) il fut directeur de l'observatoire de Göttingen tout en enseignant à l'université. Il établit l'orbite de Cérès (découverte en 1801 par l'astronome italien Giuseppe Piazzi) en utilisant la méthode des moindres carrés (voir ci-après).

Sollicité par von Humboldt, Gauss est, avec Wilhelm Weber (1804-1891), à l'origine de l'étude du champ magnétique terrestre. Le gauss est aujourd'hui l'unité d'induction magnétique. Ce grand savant, sera surnommé par ses pairs Prince des mathématiciens.

Une des contributions majeures de Gauss en mathématiques sera dans ses Recherches arithmétiques (Disquisitiones arithmeticae, 1801) où il crée le concept de congruence, outil puissant dans la résolution d'équations en nombres entiers. Gauss établit un grand nombre de théorèmes fondamentaux complétant magnifiquement l'arithmétique d'Euclide.

L'arithmétique de Gauss, congruences, théorème chinois, résidus quadratiques, nombres premiers :
 

Dans sa thèse de doctorat exposée à Helmstedt, Gauss démontre complètement (1799) le théorème fondamental de l'algèbre (énoncé au préalable par Girard et démontré partiellement par d'Alembert) de quatre façons différentes :

Tout polynôme d'une variable complexe, de degré n, admet n racines complexes
(éventuellement égales)

S'intéressant aux problèmes anciens de la géométrie grecque, Gauss étudia les nombres et les polygones réguliers (angles égaux et côtés égaux) constructibles à l’aide des seuls règle et compas autorisés par Platon et Euclide.

L'étude des polygones réguliers est né de la volonté d'améliorer les calculs de la circonférence sur lesquels se pencheront tout particulièrement Archimède et, bien plus tard au 15è siècle : de Cusa dans le calcul de p (rapport de la circonférence à son diamètre).

Gauss énonça qu'un polygone régulier à n côtés est constructible si, condition suffisante , n est un nombre premier de Fermat, de la forme 2^{2^p} + 1 (^ signifiant ici exposant). Gauss affinera la condition sous une forme plus générale qui sera entièrement démontrée par Wantzel en 1837.

Polygones réguliers :  

Gauss est aussi à l'origine de la théorie des nombres algébriques, née de la volonté de résoudre algébriquement les équations polynomiales, problème très difficile résolu par la négative par Abel (degré 5) et Galois (pour tout degré excédant 4). Au cœur de cette théorie se retrouvera le grand théorème de Fermat et les recherches des grands algébristes que furent Kronecker, Kummer, Lamé, Dirichlet, Dedekind, Weber, et Hilbert avec son ZahlBericht (1893).

Nombre algébrique selon Abel :

Remarquons ici qu'avec les travaux de Gauss et, précédemment, de Euler, on peut considérer que les nombres négatifs ( Jean de Baugrand, 1638) sont définitivement considérés comme des nombres à part entière. Depuis la Chine et surtout les mathématiques indiennes du 7ème siècle, il aura donc fallu plus de 1000 ans pour donner à ces nombres "faux" ou "absurdes", "fictifs" ou "quantités impossibles", le statut de nombre qui leur était refusé de par l'héritage babylonien et grec. 

Le nombre ou la fraction étant alors la mesure d'une grandeur géométrique, donc "positive". Il faut rendre cependant hommage à Girard qui les avait intégrés dans son Invention nouvelle en l'Algèbre (1629) afin de pouvoir énoncer qu'un polynôme de degré n admet n racines réelles ou imaginaires (théorème fondamental de l'algèbre).

 Brahmagupta , Stifel , Girard , Descartes , Buée  

Les quantités imaginaires (nombres complexes) subissaient le même sort depuis leur apparition dans les travaux de Bombelli. Leur statut de nombre émerge avec la notation z = a + bi, incluant les nombres usuels (réels) lorsque b = 0 :

On doit à Gauss (1831) une définition précise des nombres complexes (l’épithète est de lui en remplacement du qualificatif imaginaire qu'avaient utilisé à l'origine Cardan et Bombelli), l'écriture (définitive, enfin !) sous la forme z = a + bi avec i² = -1 (notation due à Euler) leur interprétation et représentation géométriques (dont la paternité revient à Wessel et  Argand) et l'étude des fonctions analytiques d'une variable complexe.

Le nombres complexe  a - bi, est appelé nombre conjugué de z, on le note généralement z : cette notation est conforme à la tradition d'appeler conjugué du nombre a + b la quantité a - b. On a en particulier zz = a² + b².

Le nombre réel a est appelé partie réelle de a et souvent noté Re(z); le nombre réel b est la partie imaginaire de z et généralement notée Im(z).    

Module, argument, interprétation géométrique  :

  Posons j = (-1 + i3)/2; on a j² = (-1 + i3)²/4 = (-1 - i3)/2 = -1 - j, donc 1 + j + j² = 0; on a la relation algébrique :  x³ - 1 = (x - 1)(1 + x + x²). Donc j³ - 1 = 0 et j apparaît donc comme une des trois racines cubiques (complexes) de l'unité; les autres sont 1 (bien connue !) et j² = (-1 - i3)/2, conjugué de j.

Racines carrées, cubiques, n-ièmes d'un nombre complexe :            

L'ensemble C des nombres complexes, corps commutatif, s'interprète en tant qu'espace vectoriel de dimension 2 sur R. Gauss affirme la même année, conviction sans preuve, qu'il n'existe pas d'autre système de nombres "hypercomplexes", surcorps de R,  possédant la structure de corps commutatif.

Structures algébriques :d'Alembert et les nombres imaginaires :            
  Hamilton et quaternions , Cayley et octonions          Exercices divers niveau Ter/Sup

Afin de rechercher les solutions d'équations diophantiennes (étude d'équations en nombres entiers), comme ce résultat dû à Fermat selon lequel tout entier p premier de la forme 4n + 1 est une somme de deux carrés, Gauss introduira implicitement la notion d'anneau avec l'ensemble, noté de nos jours Z[i], des nombres complexes de la forme a + bi, également notés a + b, où a et b sont entiers, et celle d'extension de corps (sur-corps) avec celle de Q(i).

Cependant les appellations anneau et corps ne sont pas de Gauss : elles furent introduites ultérieurement par Hilbert (anneau) et Weber (corps), mais Dedekind fut un des premiers à manipuler ces concepts au sens de structure algébrique.

Corps de nombres algébriques :

On peut définir dans Z[i] une arithmétique prolongeant celle des entiers relatifs : si d et z sont éléments de Z[i], d sera diviseur de z s'il existe un élément z' de Z[i] tel que z = dz'; par exemple, 1 + i est un diviseur de 3 + i puisque (1 + i)(2 - i) = 3 + i.  On remarque que i est un diviseur de tout élément z de Z[i] puisque (a + bi)/i = b - ai. Dans cet ensemble l'entier 5, par exemple, n'est pas un nombre premier puisque 5 = (2 + i)(2 - i). Par contre 3 en est un : il n'admet pas d'autres diviseurs (au signe près) que 1, i et lui-même.

Divisibilité dans un anneau commutatif :

En remarquant que (a + bi)(a - bi) = a² + b², on voit qu'une somme de carrés entiers est toujours factorisable dans Z[i] et on peut retrouver le résultat suivant :

Tout nombre premier dans N de la forme 4n + 1 se décompose de façon unique
en somme de deux carrés (d'entiers)

Des entiers premiers comme 13 = 3² + 2², 17 = 4² + 1² , ... , 421 = 14² + 15² en sont des exemples.

Kummer , Eisenstein

Pour en savoir un peu plus : LE LIVRE DES NOMBRES, par J.H. Conway et R.K. Guy , Ed. Eyrolles - 1998.

Géométrie différentielle, étude des surfaces, coordonnées curvilignes        notion de surface

La géométrie différentielle consiste à cette époque en l'étude locale des courbes et des surfaces paramétrées (de l'espace usuel) faisant intervenir le calcul différentiel (orientation, tangentes, plan tangent, normale, torsion, ...) et intégral (longueur d'un arc, aires).

Après Clairaut et Monge, Gauss apporte une vision novatrice dans l'étude des surfaces (par exemple, la sphère, le tore, l'ellipsoïde, le ruban de Möbius...), de leurs courbures et de leurs géodésiques, chemin le plus court entre deux points ( surface) avec l'usage des coordonnées paramétriques (dont l'initiateur fut Euler) dans un vaste traité de géométrie différentielle (Recherches sur la théorie générale des surfaces courbes, 1827).

Courbure, torsion :              Courbure gaussienne (ou totale) :

Riemann donnera une interprétation plus abstraite de cette géométrie avec l'étude des fonctions complexes, les premiers apports de la topologie et la notion de variété différentielle sur laquelle reposera plus tard la théorie de la relativité d'Einstein.

 Frenet , Serret , Darboux , Ribaucour
 

En remplacement de l'équation générale f(x,y,z) = 0 ou z = f(x,y) que Monge utilisait, Gauss définit un point M(x,y,z) d'une surface par la donnée de x, y et z au moyen de deux paramètres :

Le couple (u,v) constitue les coordonnées curvilignes de M (du latin curvus = courbe, par opposition aux coordonnées cartésiennes x, y, z de Descartes calculées relativement à un repère "rectiligne"). Elles sont également dites de Gauss ou gaussiennes.

En écrivant (u,v)j(u,v), vecteur de R³ de coordonnées x = f(u,v), y = g(u,v), z = h(u,v), on obtient une représentation paramétrique de la surface dont les éléments caractéristiques seront donnés par les relations entre les dérivées partielles de j par rapport à u et v.

Par exemple, la normale en un point M(u,v) sera donnée par le produit vectoriel j/uj/v lorsque M est régulier : j/u et j/v indépendants.

Si on fixe u (resp. v), un point M de la surface décrit une courbe dite première ligne de coordonnées (resp. seconde) et tout point M de la surface est généralement à l'intersection des deux lignes de chaque famille ainsi engendrée.

Cas du ruban de Möbius :           Étude locale d'une surface, trièdre de Ribaucour, indicatrice de Dupin :

Sur la sphère de rayon R, les coordonnées curvilignes sont la longitude l et la latitude q et les lignes de coordonnées sont alors les méridiens (grands cercles : de diamètre 2R) et les parallèles : cercles parallèles à l'équateur. L'équateur a pour latitude 0. Un méridien origine doit être est choisi pour définir la longitude.

Cherchant à réfuter le 5e postulat d'Euclide, Gauss perçoit la géométrie, dite aujourd'hui de Lobatchevski ou encore hyperbolique (géométrie sur une surface à courbure négative), mais préoccupé par d'autres tâches, Gauss ne publie pas ces travaux. On trouve la preuve de ces recherches dans une lettre adressée au mathématicien allemand Franz Adolph Taurinus en 1824.

Elle permet une résolution pratique (algorithme) des systèmes d'équations linéaires :

a_1,1x₁ + a_1,2x₂ + … + a_1,nx_n = b₁
a_2,1x₁ + a_2,2x₂ + … + a_2,nx_n = b₂
…
...
a_n,1x₁ + a_n,2x₂ + … + a_n,nx_n = b_n

Gauss procède par transformations (dites élémentaires) sur les lignes, à savoir : permutations, multiplication par un réel non nul, combinaisons linéaires, afin de ramener le système à un système triangulaire (c'est à dire dont la matrice est triangulaire : les termes sous la diagonale sont nuls), ce qui permet d'obtenir facilement les solutions.

Cette méthode est au programme des classes de Terminale S. Lorsque le système n'est pas de Cramer ou est rectangulaire, on tente de trianguler le système principal extrait. Gauss a également construit un algorithme de résolution par itérations successives qui sera amélioré par Jacobi et Seidel.

  La mise sous forme triangulaire d'une matrice selon le procédé de Gauss porte le nom de réduction de Gauss ou réduite de Gauss. L'algorithme permet de déterminer le rang d'une matrice et l'indépendance linéaire d'un système de vecteurs.

Voici un exemple dans R³ : considérons u(2,3,1), v(3,4,1) et w(1,2,1). On peut écrire la matrice M correspondant à ces trois vecteurs :

Avec des notations qui paraîtrons bien évidentes au lecteur procédons à L2 ==> L2 - L1 et L3 ==> L3 - ½ L1. La matrice M devient :

Si l'on procède maintenant dans M' à L3 ==> L3 - L2, il vient la forme recherchée :

La matrice M" est triangulaire. Mieux : on voit que le terme de rang 3 de la diagonale est nul. Par conséquent ses vecteurs colonnes sont dans le plan des (x,y). Les deux premiers sont clairement non colinéaires :  u, v et w sont coplanaires et la matrice initiale M est de rang 2. On pouvait reconnaître cet état de fait par L3 = L2 - L1 ou encore remarquer la liaison des colonnes : 2C1 - C3 = C2.

Cette loi de probabilités intervient dans l'étude de phénomènes quantitatifs aléatoires continus soumis à de multiples causes (aucune d'entre elles n'étant prépondérante), agissant additivement et indépendamment l'une de l'autre et dont la répartition des valeurs s'étale autour de leur moyenne.

par continu, on entend dont les valeurs peuvent être des nombres réels quelconques. Un phénomène non continu est dit discret : ses valeurs sont entières et dénombrables, c'est le cas de la loi de Poisson.

Si X est la variable aléatoire soumise à une telle loi, on recherche la probabilité que X prenne ses valeurs dans un intervalle donné. La densité de la loi normale de moyenne m (espérance mathématique) et d'écart-type est :

Ce résultat montre que la densité f de la loi normale est intégrable sur R et que son intégrale est égale à 1, ce qui est nécessaire pour une densité de probabilité.

Suivant les auteurs, l'intégrale de Gauss présente quelques variantes :

• Si l'on intègre e^-x²/2 sur R tout entier, alors, par parité, on trouve un résultat double : G = .

• Si l'on intègre e^-x² sur R⁺, G prend la valeur /2.

• Enfin, si c'est l'intégrale sur R tout entier de e^-x² que l'on considère, alors G = .

Si l'on considère le second cas en restreignant l'intervalle d'intégration à l'intervalle fini [0,x], on obtient une fonction intégrale, souvent notée erf(x) pour signifier error function. On la rencontre souvent multipliée par 2/. L'intégrale sur [x,+[ est alors son complémentaire et se note erfc. On a :

erf(x) + erfc(x) = 1

Usage de erf en thermodynamique (site externe) :

Gauss s'intéressa très tôt (au tout début du 19è siècle) aux fonctions elliptiques mais ne publia pas ses travaux. C'est ainsi qu'il sera le premier à découvrir leur double périodicité dans l'étude de l'intégrale elliptique :

On connaît l'intégrale :

qui n'est autre que la fonction Arcsin, réciproque de la fonction circulaire sinus. Ainsi, l(x) peut s'interpréter de façon semblable non plus sur le cercle x² + y² = 1 mais sur la courbe d'équation x⁴ + y² = 1, appelée lemniscate elliptique.

Dans ses Recherches arithmétiques, Gauss fonde la théorie des formes quadratiques, que développeront Cayley et Sylvester. Dans le cas de deux (resp. trois) variables réelles x et y, une forme quadratique f est une fonction numérique de deux (resp. trois) variables  de la forme :

Ces formes se retrouvent dans l'étude d'équations diophantiennes, en géométrie analytique (produit scalaire) et en géométrie différentielle pour l'étude des surfaces (distance, orthogonalité, courbure). Elles firent l'objet de travaux importants de la part des mathématiciens du 19è siècle.

En savoir plus sur les formes quadratiques :

En tant qu'astronome, Gauss fut amené à étudier des méthodes d'ajustement de ses nombreuses observations (comme le fit en son temps Mayer) :

On considère un nuage de points M_i(x_i,y_i) que l'on désire ajuster au mieux par une fonction mathématique f donnée : on recherche les paramètres de f les plus adéquats (fonction affine, polynôme, exponentielle, etc.) minimisant la somme des carrés des distances entre y_i et f(x_i).

Laplace revendiqua la paternité de cette méthode également utilisée (initiée serait plus exact) indépendamment par Legendre.

Étude de la méthode des moindres carrés et programme en ligne :

Étude de la fonction G et séries et fonctions hypergéométriques (1812) :

On doit à Gauss l'établissement de la formule, souvent dite de Euler-Gauss :

               Euler

 A ce sujet, on pourra se référer (partiellement) sur Google Livres au livre de Konrad Königsburger : clic me...

Initiées par Gauss, les séries hypergéométriques, réelles ou complexes, sont des séries entières, de la forme Su_nzⁿ  où le rapport u_n+1/u_n des coefficients de deux termes consécutifs est une fonction rationnelle de n. Cette appellation hypergéométrique provient du fait qu'on généralise ainsi celle de série géométrique Sazⁿ où le rapport en question est a = constante.

  Gauss fait là usage du symbole P, symbole de produit fini ou non.

Séries et fonctions hypergéométriques :

Le prix Karl Friedrich Gauss :

Ce prix a été récemment créé (2006) par l'Union Mathématique Internationale en association avec l'Union mathématique allemande. D'un montant de 10 000 euros, il récompense des contributions marquantes dans le domaine des mathématiques appliquées et est décerné lors du congrès mathématique international se réunissant tous les 4 ans lors de la remise des médailles Fields.

En août 2010, le prix fut décerné au français Yves Meyer pour ses travaux sur les ondelettes associés à la compression des images numériques. Le japonais Kiyoshi Itō, décédé en 2008 à l'âge de 91 ans, fut le premier récipiendaire en 2006.

Site officiel du prix Gauss :

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Germain  Poinsot 

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