ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

ABEL Niels Henrik, norvégien, 1802-1829      Victor Hugo (1802-1885), poète & écrivain français       
    
Résultats d'Abel sur les séries  | Cas des séries entières | Fonctions abéliennes | Équation intégrale d'Abel | Prix Abel

Abel fit ses études au collège de la cathédrale d'Oslo (Christiania à l'époque) jusqu'en 1821. Dès l'âge de 16 ans, il chercha à résoudre l'équation du 5ème degré mais ses maîtres ne prêtèrent pas attention à ses recherches. Il s'attaqua alors aux intégrales elliptiques tout en continuant à travailler sur les équations algébriques. Il entre ensuite à l'université d'Oslo où il présentera (1824) ses premiers résultats sur l'équation du 5ème degré confirmés par Ruffini qui travaillait indépendamment sur le sujet.

Malgré ses publications dans le journal de Crelle (dès 1825), les travaux de ce grand mathématicien, victime de la tuberculose à peine âgé de 27 ans, ne furent reconnus qu'après sa mort.

Son mémoire fondamental sur les fonctions elliptiques, présenté par Hachette (1826) à l'Académie des Sciences de Paris, fut mésestimé par Gauss et Legendre puis égaré et retrouvé par Cauchy mais, hélas, après la mort d'Abel.

Dans ce mémoire était exposé pour la première fois le concept génial de fonction elliptique basé sur le principe d'inversion des intégrales elliptiques. une nouvelle classe de fonctions transcendantes était ainsi découvertes. Liouville et Jacobi complèteront ces travaux.

Ce sera d'ailleurs Jacobi qui comprendra tout le génie du jeune mathématicien. C'est avec ce dernier qu'Abel recevra, à titre posthume, le grand prix de mathématiques de l'Institut de France (1830).

Les équations algébriques et les nombres algébriques :

Par équation algébrique, on entend une équation du type P(x) = 0 où P est un polynôme pour lequel on précise la nature de la variable et des coefficients (appartenance à tel ou tel ensemble de nombres, comme Z, Q, R ou C).

Si, à 16 ans, Abel pense avoir prouvé la possibilité de résoudre par radicaux l'équation du 5ème degré, c'est à 19 ans qu'il reviendra sur son résultat en prouvant le contraire ! 

Il est impossible, dans le cas général, de résoudre par radicaux une équation algébrique de degré 5

C'est dire, qu'en dehors de certains cas particuliers, il n'existe pas d'algorithme général applicable à de telles équations.

Abel caractérisa une catégorie d'équations algébriques susceptibles d'être résolubles par radicaux, dites aujourd'hui équations abéliennes, dont un représentant élémentaire est xn - 1 = 0 lorsque n est premier, équation que résolut Vandermonde en la ramenant au 5è degré sur une idée d'Abraham de Moivre.

Ces résultats, que Gauss, incrédule, refusa de lire, ne furent publiés qu'en 1826 dans le journal de Crelle. On cherchait à les établir depuis Bombelli avec les travaux de Lagrange, Gauss, Cauchy et Ruffini, utilisant certaines propriétés invariantes des fonctions symétriques des racines. Le français Evariste Galois, contemporain d'Abel, développant la théorie des groupes de substitution, généralisera ces travaux à tout entier premier n > 4.

Courbes et équations algébriques :                  Notion de fonction algébrique :

Nombres algébriques, entiers algébriques :      

On doit à Abel (1825) la notion de nombre algébrique de degré n : solution (réelle ou complexe) d'une équation polynomiale P(x) = 0 de degré n à coefficients rationnels (ou entiers, cela revient au même). On parlera d'entiers algébriques lorsque le coefficient de plus haut degré de P est 1 (polynôme unitaire), les autres coefficients étant entiers. Ces nombres seront le socle de fructueuses recherches de la preuve du grand théorème de Fermat.

  1. Tout entier naturel ou relatif n est un entier algébrique, solution de P(x) = x - n.
  2. Le nombre 2 est algébrique car solution de l'équation polynomiale x2 - 2 = 0. En tant que nombre algébrique, on dira que le degré de 2 est 2 : c'est le degré du polynôme minimal (de plus bas degré) dont il est solution. 2 est aussi un entier algébrique.
  3. Toute solution réelle ou complexe d'un trinôme du second degré du type x2 + ax + b où a et b sont entiers, est un entier algébrique de degré 2. C'est le cas du célèbre nombre complexe i, solution de l'équation x2 + 1 = 0 et du nombre d'or Φ.
  4. Plus subtilement, cos(π/7) est un nombre algébrique de degré 7. En effet, on peut facilement établir, en développant la formule de De Moivre (cos x + i.sin x)n selon la formule du binôme et en séparant les partie réelle et imaginaire que : cos7x = 64cos7x - 112cos5x + 56cos3x - 7cosx. Si x = π/7, il vient 64x7- 112x5 + 56x3 - 7x + 1 = 0.

Corps de nombres algébriques, extension algébrique d'un corps :         Gauss , Pisot

 L'exemple 4 ci-dessus se généralise :

cos(π/n) et de sin(π/n) sont des nombres algébriques de degré n pour tout entier naturel non nul n

  Kummer

Il fut prouvé respectivement en 1873 par Hermite et en 1882 par Lindemann que les nombres e (base des logarithmes népériens) et π ne sont pas algébriques. De tels nombres sont dits transcendants. Cette appellation est due à Liouville (1844), lequel mit "à jour" une première catégorie de tels nombres. On sait depuis Cantor qu'il en existe une infinité non dénombrable :

Nombres de Liouville, fonctions transcendantes :        Non dénombrabilité des nombres transcendants :

Notion de groupe, groupe abélien, extension abélienne d'un corps :

Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et dans lequel tout élément possède un symétrique. Un groupe est dit abélien ou commutatif si sa loi de composition est commutative.

Lois de composition :

  On parle d'extension abélienne pour désigner une extension de corps dont le groupe de Galois est abélien.

  Artin              Structures algébriques, groupes, anneaux, corps, ... :
Travaux sur les séries réelles ou complexes :            lemme d'Abel  | notions sur suites et séries

Introduits afin d'établir des résultats relatifs à la convergence des séries numériques et des séries de fonctions, les théorèmes, règles et lemmes d'Abel son nombreux.

Contre-exemple d'Abel :      

Dans ce contexte, Abel mit en défaut (1826) un théorème de Cauchy, énoncé par ce dernier dans son Cours d'analyse, (1821) selon lequel

Si les fn sont continues au point xo et si la série Σfn(x) est convergente dans un voisinage V de xo, alors la fonction limite f ainsi définie dans V est continue en xo.

Abel exhiba la série numérique de terme général fn définie par :

Cette série converge pour tout x réel. Soit xf(x) la limite des fn manifestement continues en x = 0 et f(0) = 0 Malheureusement f n'est pas continue en 0 : on montre facilement, par développement en série de Fourrier que ses limites à droite et à gauche en 0 sont respectivement ± π/4.

  Cauchy ne tint pas compte de la remarque du jeune prodige car il reprit le même théorème dans son cours de 1833 !

Étude du contre-exemple d'Abel :Suites & séries (généralités, convergence) :

Transformation d'Abel :      

Soit une série numérique se présentant sous la forme Σan. On note Rn(m) la somme des termes des rangs n à m, m > n :

Rn(m) = an + an+1 + an+2 + ... am

On a :

Ce qui conduit à :

Rn(m)  = bnRn(n) + bn+1[Rn(n+1) - Rn(n)] + bn+2[Rn(n+2) - Rn(n+1)] + ... + bm[Rn(m) -Rn(m-1)]

Et on voit que Rn(m) peut être réécrit sous la forme dite transformation d'Abel :

Rn(n) (bn - bn+1) + Rn(n+1)(bn+1 - bn+2) + ... Rn(m-1)(bm-1 - bm) + bmRn(m)

En application de cette transformation, on établit :

Théorème 1 :        

Soit une série réelle ou complexe de la forme Σanbn . Supposons alors que :

Dans ces conditions, la série Σanbn est alors convergente (puisque son reste tend vers 0). Un cas particulier très pratique est le suivant :

Théorème 2 :         

Soit Σanbn une série numérique où (an) désigne une suite numérique positive décroissante et Σbn une série (réelle ou complexe) dont les sommes partielles sont bornées : il existe k > 0, | b0 + b1 + ... + bn | < k pour tout n. Alors les sommes partielles de Σanbn sont aussi bornées et on a :

| aobo + a1b1 + ... . anbn | < kao

On a en corollaire de ce théorème :

Critère (ou règle, ou test) d'Abel pour les séries :    

Si les sommes partielles de la série de terme général an (réel ou complexe) sont bornées et si (bn) est une suite réelle positive décroissant vers 0, alors la série Σanbn est convergente.  

Résultats sur les séries entières, lemme d'Abel :                 notions sur suites et séries

Une série entière (ou série de puissances) est une série Σun = uo + u1 + u2 + ... + un + ... dont le terme général un est de la forme anzn où an est un réel fonction de n et z un nombre réel ou complexe. Il s'agit d'un cas particulier de série de fonctions dont le terme général est de la forme fn(z) où fn est une fonction numérique. Dans les deux cas, la convergence (finitude de la somme) dépend de la valeur de la variable z.

Lemme d'Abel pour les séries entières et rayon de convergence :        

Soit Σanzn une série entière réelle ou complexe. Si, pour un complexe zo, la suite de terme général anzon est bornée, alors la série Σanzn est absolument convergente (la série des modules converge) pour tout z tel que |z| < |zo|.

Preuve : par hypothèse, il existe un réel positif M tel que anzon < M. On a alors |anzn|  = |anzon||z/zo|n < M|z/zo|n. Or |z/zo|n est le terme général d'une série géométrique convergente puisque |z/zo| < 1. La série entière est donc absolument convergente et donc, a fortiori, convergente.

  On remarquera que la suite de terme général anzon est bornée si, en particulier, la série Σanzon est convergente.

Rayon de convergence d'une série entière :    

En conséquence du lemme d'Abel ci-dessus, si une série entière converge pour une valeur zo, elle convergera pour tout z tel que |z| < |zo|. Si une série entière diverge pour une valeur zo, elle divergera pour tout z tel que |z| > |zo|. On en déduit l'existence d'un réel positif tel que la série converge pour tout |z| < R et diverge pour tout |z| > R. Le cas |z| = R restant litigieux :

Le rayon de convergence de la série Σanzn est la borne supérieure R (finie ou non) de l'ensemble des réels positifs tels que la suite des anzn soit bornée. Le disque ouvert de centre 0, de rayon R (resp. intervalle ]-R,+R[ dans le cas réel) est le disque (resp. intervalle) de convergence.

On ne confondra pas les concepts de série absolument convergente et de série normalement convergente : pour laquelle il existe une série Σun convergente à termes positifs pour laquelle on a pour tous n et z : | Σanzn | un.

Calcul du rayon R de convergence :    

Pour une série Σanzn, réelle ou complexe, la règle de d'Alembert et le critère de Cauchy pour les séries ( 5b) permettent d'écrire :

Lorsque la limite trouvée est nulle, le rayon de convergence est infini. C'est ainsi, par exemple que la série Σxn/n! converge pour tout x de R. Cette convergence est uniforme ( théorème 3 ci-dessous) vers ex.

Séries de fonctions (cas général) :

On a l'important résultat suivant :

Théorème 3 (pour les séries entières) :     

Soit Σanzn une série entière à valeurs dans R dans C :

Rappelons que la convergence normale entraîne la convergence uniforme d'une telle série à valeurs dans un espace métrique complet : cas particulier d'une série de fonctions. Dans l'intervalle de convergence, la continuité de la somme est assurée. On peut également dériver ou intégrer terme à terme. On pourra consulter :

Séries de fonctions (cas général) :

Théorème 4 (pour les séries entières) :      

Soit Σanxn une série entière dans R, de rayon de convergence ρ non nul, de somme f (c'est une fonction de x). Si Σanρn est convergente, alors  f admet Σanρn comme limite au point ρ. Ce résultat assure donc la continuité de f sur l'intervalle fermé borné [0,ρ].

Un énoncé réciproque (Tauber) :             Critère de Dedekind :              Critère de Dirichlet :

Règle d'Abel pour la convergence d'une intégrale généralisée :

On suppose que f est une fonction positive, continue et décroissante vers 0 sur [a, +[ et que l'intégrale de g sur tout intervalle [a,λ], avec λ > a , existe et est bornée. Dans ces conditions, l'intégrale :

est convergente, ceci pour exprimer que la limite, lorsque λ tend vers +, de l'intégrale sur [a,λ] du produit fg existe et est finie).

Équations intégrales d'Abel et inversion (1823) :

L'équation intégrale d'Abel est née d'un problème de mécanique résolu et publié en 1823, avec d'autres sujets, par le jeune mathématicien sous le titre Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies. Volterra reprend ici le sujet ( réf. 4) :

 

L'équation intégrale d'Abel (1) ci-dessus, peut s'écrire :

Abel résolut plus généralement ( 0 < α < 1) :

dont la solution peut prendre la forme :

Cette équation intégrale (linéaire de 1ère espèce) est liée à l'intégrale de Riemann-Liouville.

Une autre équation intégrale d'Abel (de seconde espèce) est :

C'est un cas particulier d'équation intégrale de Volterra.

Volterra et la notion d'équation intégrale :                  Équation intégrale de Fredholm :

Les intégrales et fonctions elliptiques, fonctions abéliennes :

Considérée comme l'œuvre maîtresse d'Abel (Mémoire sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes, 1826), l'étude de ces fonctions, dite elliptiques depuis Legendre, provient des premières tentatives de rectification de l'ellipse conduisant aux intégrales elliptiques, préalablement étudiées par Lagrange et Legendre, et dont le calcul par quadrature, donc la recherche d'une primitive de l'intégrande (fonction à intégrer), est impossible à l'aide de fonctions "usuelles".

Avant de le publier, Abel confia son manuscrit à Cauchy qui l'égara ! Ce ne fut qu'en 1841, 12 après la mort d'Abel, qu'il fut retrouvé et publié par l'Académie des sciences.

Ces intégrales sont des fonctions de leur borne supérieure. Par analogie avec le cercle (fonctions circulaires), l'idée générale (et géniale) d'Abel, et de Jacobi la même année, fut de renverser le problème en étudiant leurs "réciproques".

On parle alors de fonctions elliptiques mettant ainsi en évidence une nouvelle classe de fonctions transcendantes. En se plaçant dans le plan complexe, Abel découvre une propriété étonnante de ces fonctions : leur double périodicité. Il est alors permis d'étudier ces fonctions de façon formelle, indépendamment de leur genèse en tant que fonction méromorphe doublement périodique.

Les travaux d'Abel furent poursuivis par Gauss et Jacobi et par de très nombreux mathématiciens du 19è siècle dont Gudermann, Riemann, Clebsch et, en France, Liouville, Bouquet et Briot, Poincaré.

En savoir un peu plus sur les intégrales elliptiques :

Abel généralisa l'étude des intégrales elliptiques à une classe d'intégrales dites aujourd'hui abéliennes dont la forme générale peut s'écrire :

où F est une fonction rationnelle de x et y (polynôme ou quotient de deux polynômes en x et y), y étant lié à x par une équation algébrique φ(x,y) = 0.

Lorsque φ(x,y) est de la forme y2 - P(x) = 0, y est un radical de la forme ±P(x) et si P est un polynôme de d°3 ou 4 (resp. de d° > 4), on retrouve les intégrales elliptiques (resp. hyperelliptiques).

Variétés abéliennes :

Il s'agit de variétés algébriques particulières dont la définition et l'étude nécessitent des requis dépassant les objectifs de cette chronologie. Le lecteur désireux d'en savoir plus pourra, par exemple, consulter :

  1. La théorie des groupes algébriques par Claude Chevalley (1958, lors du CIM d'Edimbourg) :
    http://www.mathunion.org/ICM/ICM1958/Main/icm1958.0053.0068.ocr.pdf
  2. Variétés abéliennes et jacobiennes, par Nicolas Ratazzi, maître de conférences, univ. Orsay (2002) :
    https://www.math.u-psud.fr/~ratazzi/varabjac.pdf

Le prix Abel :

Afin de pallier l'absence d'un prix Nobel de mathématiques, le gouvernement norvégien a créé en 2002, un « prix Abel » à l'occasion du bicentenaire de sa naissance (5 août 1802). D'un montant annuel de 625 000 €, il concurrence ainsi la très prestigieuse et convoitée médaille Fields (mais peu dotée : environ 10 000 €), d'origine canadienne, accordée tous les quatre ans mais qui ne peut être attribuée à des mathématiciens de plus de 40 ans.

Le premier prix a été décerné le 3 avril 2003 au mathématicien français Jean-Pierre Serre. En 2004, il fut attribué à Michael Atiyah. Plus récemment : Jacques Tits et John G. Thompson (2008), Gromov (2009), John Tate (2010), John Milnor (2011), Endre Szemerédi, mathématicien hongrois (2012), Pierre Deligne (2013), John Nash & Louis Nirenberg (2015), Andrew Wiles (2016).  

Pour en savoir plus :

  1. Œuvres complètes d'Abel sur Google Livres :
    http://books.google.fr/books?id=iOsGAAAAYAAJ&dq=Oeuvres+complètes+de+N.+H.+Abel,+mathématicien...

  2. ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, 1700-1900, Ch. 7, Jean Dieudonné et une équipe de mathématiciens, Éd. Hermann - 1978-1992
  3. Dictionnaire des mathematiques : algèbre, analyse, géométrie
    ENCYCLOPÆDIA UNIVERSALIS, tome 1, Dictionnaires des MATHÉMATIQUES, algèbre, analyse, géométrie
    Éd. Albin Michel, Paris, 1997 (voir dans ce livre Abel, fonctions elliptiques, Gauss).
  4. Équations intégrales d'Abel-Volterra (cours de Volterra, 1910) : https://archive.org/stream/leonssurlesq00voltuoft#page/34/mode/2up
  5. Sur la réduction des intégrales hyperelliptiques (Goursat, 6 mai 1885) : http://www.numdam.org/article/BSMF_1885__13__143_1.pdf      

  6. Sur les Intégrales abéliennes, elliptiques et hyperelliptiques, on pourra consulter le traité de Appell et Goursat :
    Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales, édition de 1929 (BnF) : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k92705z.image.f2
  7. Integral equations, EDM (Encyclopedic Dictionary of Mathematics), Tome 1, pages 830/831

  8. Problèmes inverses, par Michel Kern, INRIA : http://www-rocq.inria.fr/~kern/Teaching/ESILV/inverse.pdf

  9. Les courbes elliptiques pour les nuls, page de Guillaume Lafon : http://www.normalesup.org/~glafon/maths/courbes_elliptiques.pdf
  10. Le site officiel du prix Abel : http://www.abelprize.no/


Raabe  Bolyai
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