ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

ABEL Niels Henrik, norvégien, 1802-1829     
        Victor Hugo (1802-1885), poète & écrivain français

Abel fit ses études au collège de la cathédrale d'Oslo (Christiania à l'époque) jusqu'en 1821. Dès l'âge de 16 ans, il chercha à résoudre l'équation du 5ème degré mais ses maîtres ne prêtèrent pas attention à ses recherches. Il s'attaqua alors aux intégrales elliptiques tout en continuant à travailler sur les équations algébriques.

Il entre ensuite à l'université d'Oslo où il présentera (1824) ses premiers résultats sur l'équation du 5ème degré confirmés par Ruffini qui travaillait indépendamment sur le sujet.

Malgré ses publications dans le journal de Crelle (dès 1825), les travaux de ce grand mathématicien, victime de la tuberculose à peine âgé de 27 ans, ne furent reconnus qu'après sa mort. Son mémoire fondamental sur les fonctions elliptiques, présenté par Hachette (1826) à l'Académie des Sciences de Paris, fut mésestimé par Gauss et Legendre puis, égaré et retrouvé par Cauchy mais, hélas, après la mort d'Abel.

Dans ce mémoire était exposé pour la première fois le concept génial de fonction elliptique basé sur le principe d'inversion des intégrales elliptiques. une nouvelle classe de fonctions transcendantes était ainsi découvertes. Liouville et Jacobi complèteront ces travaux.

Ce sera d'ailleurs Jacobi qui comprendra tout le génie du jeune mathématicien. C'est avec ce dernier qu'Abel recevra, à titre posthume, le grand prix de mathématiques de l'Institut de France (1830).

Le prix Abel :       

  Afin de pallier l'absence d'un prix Nobel de mathématiques, le gouvernement norvégien a créé en 2002, un « prix Abel » à l'occasion du bicentenaire de sa naissance (5 août 1802). D'un montant annuel de 625 000 €, il concurrence ainsi la médaille Fields, d'origine canadienne, accordée tous les quatre ans mais qui ne peut être attribuée à des mathématiciens de plus de 40 ans. Le premier prix a été décerné le 3 avril 2003 au mathématicien français Jean-Pierre Serre. Plus récemment : Jacques Tits et John G. Thompson (2008), Gromov (2009), Milnor (2011), Endre Szemerédi (2012).   

Les équations algébriques :

Si à 16 ans, il pense avoir prouvé la possibilité de résoudre par radicaux l'équation du 5ème degré, c'est à 19 ans qu'il reviendra sur son résultat en prouvant le contraire !  Abel démontre l'impossibilité, dans le cas général, de résoudre par radicaux une équation algébrique, c'est à dire une équation polynomiale de la forme P(x) = 0, de degré 5 et précise une catégorie d'équations algébriques susceptibles d'être résolubles par radicaux, dites aujourd'hui équations abéliennes, dont un représentant élémentaire est xn - 1 = 0 lorsque n est premier.

Ce résultat, que Gauss, incrédule, refusa de lire, ne fut publié qu'en 1826 dans le journal de Crelle. On cherchait à l'établir depuis Bombelli avec les travaux de Lagrange, Gauss, Cauchy et Ruffini, utilisant certaines propriétés invariantes des fonctions symétriques des racines. Son contemporain Galois, développant la théorie des groupes de substitution, généralisera ces travaux à tout entier premier n > 4.

Courbes et équations algébriques :                  Notion de fonction algébrique :

Les nombres algébriques :

 On doit à Abel (1825) la notion de nombre algébrique : solution (réelle ou complexe) d'une équation polynomiale à coefficients rationnels (ou entiers, cela revient au même).

Par exemple, le nombre 2 est algébrique car solution de l'équation polynomiale x2 - 2 = 0.

En tant que nombre algébrique, on dira que le degré de 2 est 2 : c'est le degré du polynôme minimal (de plus bas degré) dont il est solution. Il en est de même du célèbre nombre complexe i puisqu'il est une solution de l'équation polynomiale x2 + 1 = 0 ou encore de cos(p/7) puisque :

cos 7x = 64cos7x - 112cos5x + 56cos3x - 7cosx

et il suffit de remplacer x par p/7 pour constater que cos(p/7) est solution de l'équation :

64X7- 112X5 + 56X3 - 7X + 1 = 0

Plus généralement, en vertu de la formule de De Moivre (cos x + i.sin x)n , il en est de même de cos(p/n) et de sin(p/n) où n désigne un entier naturel.


Gauss , Équation algébrique , Corps de nombres algébriques

Il fut prouvé respectivement en 1873 par Hermite et en 1882 par Lindemann que les nombres e (base des logarithmes népériens) et p ne sont pas algébriques. De tels nombres sont dits transcendants. Cette appellation est due à Liouville (1844), lequel mit "à jour" une première catégorie de tels nombres. On sait depuis Cantor qu'il en existe une infinité non dénombrable :

Nombres de Liouville, fonctions transcendantes :      Non dénombrabilité des nombres transcendants :

Notion de groupe, groupe abélien, extension abélienne d'un corps :

Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et dans lequel tout élément possède un symétrique. Un groupe est dit abélien ou commutatif si sa loi de composition est commutative.

Lois de composition :

  On parle d'extension abélienne pour désigner une extension de corps dont le groupe de Galois est abélien.

  Artin              Structures algébriques, groupes, anneaux, corps, ... :  
Travaux sur les séries réelles ou complexes :                 Lemme d'Abel , notions sur suites et séries

Introduits afin d'établir des résultats relatifs à la convergence des séries numériques et des séries de fonctions, les théorèmes, règles et lemmes d'Abel son nombreux. Rappelons succinctement que :

Abel mit en défaut (1826) le théorème de Cauchy, énoncé en 1821 dans son Cours d'analyse, selon lequel si les fn sont continues au point xo et si la série Sfn(x) est convergente dans un voisinage V de xo, alors la fonction limite f ainsi définie dans V est continue en xo :

Contre-exemple d'Abel :Suites & séries (généralités, convergence) :

Transformation d'Abel :      

Soit une série numérique se présentant sous la forme San. On note Rn(m) la somme des termes des rangs n à m, m > n :

Rn(m) = an + an+1 + an+2 + ... am

On a :

Ce qui conduit à :

Rn(m)  = bnRn(n) + bn+1[Rn(n+1) - Rn(n)] + bn+2[Rn(n+2) - Rn(n+1)] + ... + bm[Rn(m) -Rn(m-1)]

Et on voit que Rn(m) peut être réécrit sous la forme dite transformation d'Abel :

Rn(n) (bn - bn+1) + Rn(n+1)(bn+1 - bn+2) + ... Rn(m-1)(bm-1 - bm) + bmRn(m)

En application de cette transformation, on établit :

Théorème 1 :        

Soit une série réelle ou complexe de la forme Sanbn. Supposons alors que :

Dans ces conditions, la série Sanbn est alors convergente (puisque son reste tend vers 0). Un cas particulier très pratique est le suivant :

Théorème 2 :         

Soit Sanbn une série numérique où (an) désigne une suite numérique positive décroissante et Sbn une série (réelle ou complexe) dont les sommes partielles sont bornées : il existe k > 0, | b0 + b1 + ... + bn | < k pour tout n. Alors les sommes partielles de Sanbn sont aussi bornées et on a :

| aobo + a1b1 + ... . anbn | < kao

On a en corollaire de ce théorème :

Critère (ou règle, ou test) d'Abel pour les séries :    

Si les sommes partielles de la série de terme général an (réel ou complexe) sont bornées et si (bn) est une suite réelle positive décroissant vers 0, alors la série Sanbn est convergente.

Résultats sur les séries entières, lemme d'Abel :                 notions sur suites et séries

Lemme d'Abel pour les séries entières et rayon de convergence :        

Soit Sanzn une série entière réelle ou complexe. Si, pour un complexe zo, la suite de terme général anzon est bornée, alors la série Sanzn est absolument convergente (la série des modules converge) pour tout z tel que |z| < |zo|.

Preuve : par hypothèse, il existe un réel positif M tel que anzon < M. On a alors |anzn|  = |anzon||z/zo|n < M|z/zo|n. Or |z/zo|n est le terme général d'une série géométrique convergente puisque |z/zo| < 1. La série entière est donc absolument convergente et donc, a fortiori, convergente.

  On remarquera que la suite de terme général anzon est bornée si, en particulier, la série Sanzon est convergente.

Conséquence du lemme d'Abel :    

Si une série entière converge pour une valeur zo, elle convergera pour tout z tel que |z| < |zo|. Si une série entière diverge pour une valeur zo, elle divergera pour tout z tel que |z| > |zo|. On en déduit l'existence d'un réel positif tel que la série converge pour tout |z| < R et diverge pour tout |z| > R. Le cas |z| = R restant litigieux :

Le rayon de convergence de la série San est la borne supérieure R (finie ou non) de l'ensemble des réels positifs tels que la suite des anzn soit bornée. Le disque ouvert de centre 0, de rayon R (resp. intervalle ]-R,+R[ dans le cas réel) est le disque (resp. intervalle) de convergence.

On ne confondra pas les concepts de série absolument convergente et de série normalement convergente : pour laquelle il existe une série Sun convergente à termes positifs pour laquelle on a pour tous n et z : |Sanzn | un.

On a le résultat suivant :

Théorème 3 (pour les séries entières) :        

Soit Sanzn une série entière à valeurs dans R dans C :

Rappelons que la convergence normale entraîne la convergence uniforme d'une telle série à valeurs dans un espace métrique complet : cas particulier d'une série de fonctions. Dans l'intervalle de convergence, la continuité de la somme est assurée. On peut également dériver ou intégrer terme à terme. On pourra consulter :

Weierstrass et les séries de fonctions :

Théorème 4 (pour les séries entières) :        

Soit Sanxn une série entière dans R, de rayon de convergence r non nul, de somme f (c'est une fonction de x). Si Sanrn est convergente, alors  f admet Sanrn comme limite au point r. Ce résultat assure donc la continuité de f sur l'intervalle fermé borné [0,r].

Un énoncé réciproque (Tauber) :               Critère de Dedekind :                Critère de Dirichlet :

Règle d'Abel pour la convergence d'une intégrale généralisée :

On suppose que f est une fonction positive, continue et décroissante vers 0 sur [a, +[ et que l'intégrale de g sur tout intervalle [a,l], l > a , existe et est bornée. Dans ces conditions, l'intégrale :

est convergente, ceci pour exprimer que la limite, lorsque l tend vers +, de l'intégrale sur [a,l] du produit fg existe et est finie).

Équation intégrale d'Abel et inversion (1823) :

 Il s'agit de l'équation fonctionnelle d'inconnue f, pour h donnée et 0 < α < 1 :

dont la solution peut prendre la forme :

Cette équation intégrale est liée à l'intégrale de Riemann-Liouville.

Pour en savoir plus :

Les intégrales et fonctions elliptiques, fonctions abéliennes :

Considérée comme l'œuvre maîtresse d'Abel (Mémoire sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes, 1826), l'étude de ces fonctions provient des premières tentatives de rectification de l'ellipse conduisant aux intégrales elliptiques, préalablement étudiées par Lagrange et Legendre, et dont le calcul par quadrature, donc la recherche d'une primitive de l'intégrande (fonction à intégrer), est impossible à l'aide de fonctions "usuelles".

Avant de le publier, Abel confia son manuscrit à Cauchy qui l'égara ! Ce ne fut qu'en 1841, 12 après la mort d'Abel, qu'il fut retrouvé et publié par l'Académie des sciences.

Ces intégrales sont des fonctions de leur borne supérieure. Par analogie avec le cercle (fonctions circulaires), l'idée générale (et géniale) d'Abel, et de Jacobi la même année, fut de renverser le problème en étudiant leurs "réciproques" : on parle alors de fonctions elliptiques mettant en évidence une nouvelle classe de fonctions transcendantes.

En se plaçant dans le plan complexe, Abel découvre une propriété étonnante de ces fonctions : leur double périodicité. Il est alors permis d'étudier ces fonctions de façon formelle, indépendamment de leur genèse en tant que fonction méromorphe doublement périodique.

Les travaux d'Abel furent poursuivis par Gauss et Jacobi et par de très nombreux mathématiciens du 19è siècle dont Gudermann, Riemann, Clebsch et, en France, Liouville, Bouquet et Briot, Poincaré.

En savoir un peu plus sur les intégrales elliptiques :

Abel généralisa l'étude des intégrales elliptiques à une classe d'intégrales dites aujourd'hui abéliennes dont la forme générale peut s'écrire :

où F est une fonction rationnelle de x et y (polynôme ou quotient de deux polynômes en x et y), y étant lié à x par une équation algébrique j(x,y) = 0.

Lorsque j(x,y) est de la forme y2 - P(x) = 0, y est un radical de la forme ±P(x) et si P est un polynôme de d°3 ou 4 (resp. de d°>4), on retrouve les intégrales elliptiques (resp. hyperelliptiques).

Pour en savoir plus sur ce difficile sujet :

Raabe  Bolyai
© Serge Mehl - www.chronomath.com