ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BOLZANO Bernhard, tchèque, 1781-1848

La conception rationaliste de ce prêtre philosophe, d'origine italienne, le conduit à la logique mathématique et à une refonte rigoureuse de la théorie des fonctions d'une variable réelle où il définit, et distingue clairement les concepts de continuité et de dérivabilité.

Ses travaux, rédigés en allemand, en particulier Die drei Probleme der Rectification (Les trois problèmes de la rectification, 1817) au sens du calcul des longueurs, des aires et des volumes, la Grössenlehre (théorie des grandeurs, 1830-34) et la Reine Zahlenlehre (Théorie pure des nombres, 1835) annoncent la construction des nombres réels par Dedekind (méthode des coupures), les fondements et la rigueur de l'analyse selon Weierstrass et, par la généralité de leurs domaines d'application, la théorie des ensembles de Cantor. Ils furent malheureusement relativement ignorés de son vivant. De nombreux mémoires ne furent retrouvés et appréciés que dans les années 1920-1930.

On doit également à Bolzano les Paradoxes de l'infini (oeuvre posthume publiée à Leipzig en 1851) où il étudie, en particulier, le fameux paradoxe de Galilée. On y trouve implicitement le concept d'ensemble infini au sens de Dedekind : ensemble en bijection avec l'une de ses parties propres.

Ensemble infini selon Dedekind :                    La notion de point d'accumulation et d'ensemble infini :

 Bolzano fut un contemporain de Cauchy. On lui doit l'appellation suite de Cauchy pour qualifier une suite numérique (un) pour laquelle |um - up| < ε à partir d’un certain rang Nε (m > Nε, p > Nε).

Suites & séries :

Théorème de Bolzano :

Il s'agit d'un cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires de Cauchy que Bolzano prouva en s'appuyant sur le théorème précédent :

Si f est continue sur [a,b] et change de signe sur cet intervalle, alors f s'annule
en (au moins) un point c de [a,b].

En application de ce résultat, on peut résoudre, avec toute précision voulue, les équations du type f(x) = 0 lorsque x est un zéro isolé dans un intervalle [a,b] pour lequel f(a) x f(b) est négatif :

Résolution approchée d'équations numériques :               Théorème de Rolle :

  Application du théorème à une équation polynomiale de degré 5 , voir aussi degré 4

Première approche de courbes fractales :

Bolzano donna, avant Weierstrass sur le même sujet, un exemple de fonction continue très irrégulière : dérivable en aucun point ! Le manuscrit de Bolzano, relatif à cette fonction ne nous fut connu qu'en 1921. Son procédé, comparable à celui von Koch, procède d'une construction géométrique et  alors que l'exemple de Weierstrass est numérique.

En fait, Bolzano, étonné de sa découverte, pensait, comme son contemporain Cauchy, qu'une fonction continue devait au moins être dérivable en des points isolés (c'est à dire en nombre fini ou dénombrable). Et pourtant, la fonction régissant sa courbe n'était dérivable en aucun point : elle fut l'un des premiers monstres de l'analyse...

   Hilbert , Peano , JuliaMandelbrot , Sierpinski.
 

Théorème de la borne supérieure :

Afin de prouver rigoureusement dans son Rein analytischer Beweis (Démonstration purement analytique, 1817) le théorème exposé ci-après, sans se contenter d'un dessin comme le fit Cauchy, Bolzano avait établi un lemme fondamental qui sera repris et exploité par Weierstrass et Dini  :

Tout ensemble majoré de nombres réels admet une borne supérieure

Et on peut également énoncer bien entendu :

Tout ensemble minoré de nombres réels admet une borne inférieure

Selon l'historien des sciences Jan Sebestik, c'est à cette occasion que Bolzano définit le concept de borne supérieure (en allemand obere Grenze) d'un ensemble de valeurs et, selon le même auteur, le théorème de la borne supérieure est aussi appelé théorème de Bolzano-Gauss, cette appellation étant due à O. Perron. Ce résultat apparaît comme la première pierre de la construction des nombres réels que Dedekind développa par la méthode dite des coupures.

 Les notions de bornes inférieure et supérieure :               Théorème de Bolzano-Weierstrass :


 Pour en savoir plus :


Crelle  Poisson
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