intégrale généralisée & convergence uniforme

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Calcul d'une intégrale généralisée
par dérivation sous le signe somme et calcul de l'intégrale de Dirichlet

On se propose de calculer, sous forme d'exercice commenté, l'intégrale généralisée ci-dessous où x est positif ou nul :

L'intégrale I(x) est convergente pour tout x positif ou nul. On s'en convaincra en remarquant que :

sur R+, la fonction exp(-xt)/t est positive, décroissante et tendant vers 0 pour t infini.
la fonction sinus est intégrable et bornée sur tout intervalle fini et ses intégrales sont bornées en valeur absolue (inférieures à 2).

Ce bel exemple de calcul d'une intégrale généralisée par dérivation sous le signe somme grâce à la convergence uniforme, est empruntée à Jean Bass dans son cours de mathématiques, Éd. Masson, Tome 1, pages 277-79. Il conduit à calculer l'intégrale de Dirichlet : sin(t)/t sur [o,+[, égale à p/2.

Considérons :

On a, formellement, en dérivant sous le signe somme : I'(x) = -J(x). En majorant |J(x)| par une intégrale convergente, montrer que J(x) converge uniformément sur tout intervalle [a,b] avec a > 0, b > a. En déduire, en utilisant ce théorème, que l'écriture I'(x) = -J(x) est valide pour tout x a.

Calculer J(x) en calculant l'intégrale K(x) :

En remarquant que J(x) est la partie imaginaire de K(x), justifier que :

I(x) = -Atan(x) + C où C est une constante arbitraire

Reste à calculer C. Justifier brièvement |sin(t)/t| 1 pour tout t. En déduire | J(x) | 1/x puis C = p/2. Donc :

I(x) = p/2 - Atan(x)

Intégrale de Dirichlet :

Si x tend vers 0, le membre de droite tend vers p/2. Si nous montrons que I(x) est continue en x = 0, on aura :

I(x) se présente comme l'intégrale d'un produit de fonctions. Posons f(x) = exp(-xt)/t et g(x) = sin(t). Sur tout intervalle [a,b] de R+, on peut affirmer que f est positive et manifestement décroissante et que g est intégrable et bornée. il existe alors un réel positif c de ]a,b[ tel que :

C'est à dire :

On en déduit que pour tout b > 0 :

et, par convergence de l'intégrale, on peut passer à la limite lorsque b tend vers l'infini :

Ce qui montre que l'intégrale est uniformément convergente. En appliquant ce théorème, on peut affirmer la continuité de I(x), sa limite en 0 sera sa valeur en 0 :

En conséquence, on calculera facilement l'intégrale ci-après :

Intégrer par parties sur un intervalle [a,b] et faire tendre a vers 0 et b vers +. Il devrait vous rester à calculer l'intégrale de sin(2x)/x qui se ramène pilepoil à celle de sin(x)/x... Sa valeur est donc p/2.