ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

ROLLE Michel, français, 1652-1719

Provenant de son auvergne natale, né à Ambert, célèbre pour sa fourme..., Michel Rolle commence sa carrière à Paris comme simple copiste et clerc de notaire. Brillant calculateur, il se fit connaître (1682) en résolvant un problème d'Ozanam :

Trouver quatre nombres tels que la différence de deux quelconques soit un carré et que la somme de deux quelconques des trois premiers soit encore un carré.

Ainsi remarqué par Colbert, "qui avait des espions pour découvrir le mérite caché ou naissant", dixit Fontenelle lien ci-dessous), Rolle fut reçu à l'académie des sciences et s'adonna dès lors à l'algèbre. Il s'opposa curieusement à la géométrie analytique de Descartes ainsi qu'au calcul différentiel dont Varignon et  Saurin étaient, à Paris, les ardents défenseurs.

Joseph Saurin (1655-1737), pasteur protestant converti au catholicisme par Bossuet et aux mathématiques par L'Hospital et Varignon. On lui doit d'intéressants résultats en calcul différentiel et sur les points multiples des courbes algébriques.

  Éloge posthume (biographie complète) de Rolle par Fontenelle (1719)

Résolution des équations algébriques :

Dans son Traité d'algèbre (1690) sur la résolution des équations algébriques, Rolle aborde un sujet fondamental : le problème de la séparation des racines. Il s'agit d'isoler les solutions d'une équation, c'est à dire de déterminer des voisinages disjoints contenant une et une seule solution.

Si P(x) = 0 est une équation polynomiale, il ne peut exister plus d'une racine (réelle)
entre deux racines consécutives de sa dérivée
(la dérivée de P).

On peut ensuite, pour une résolution approchée, appliquer divers algorithmes reposant sur la continuité, la monotonie, la convexité, etc. Ce difficile problème, initié par Descartes, sera affiné par Budan de Boislaurent (1811) et complètement résolu par Sturm (1829). Pus généralement :

Théorème de Rolle (1691) :

Exprimé en termes actuels, ce théorème peut s'énoncer :

Si f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[ telle que f(a) = f(b), il existe alors c de ]a,b[ tel que f '(c) = 0.

L'interprétation géométrique de cet important résultat :

Sous les hypothèses décrites, il existe un point c de ]a,b[ où la tangente à la courbe est horizontale; f passe ainsi par un maximum ou un minimum.

La notion de fonction dérivée existe clairement depuis Leibniz. Elle n'est cependant pas encore définie en tant que limite du taux d'accroissement, ce sera le fait de d'Alembert. Dire que f' s'annule, c'est dire que la tangente à la courbe en un point situé entre a et b, est parallèle à l'axe des abscisses.

Principe de Lagrange & étude de fonctions :Calcul approché d'un nombre dérivé :
Théorème des  accroissements finis :

En corollaire du théorème de Rolle, on a celui des accroissements finis attribué à Lagrange :

Si f est une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe alors un réel c de ]a,b[ tel que :

En conséquence, on peut énoncer :

Théorème & inégalité des accroissements finis :                 Règle de L'Hospital :

La règle des signes :

En algèbre, Rolle tentera d'expliquer de façon rigoureuse la règle des signes et tout particulièrement le célèbre « - par - donne + », ce qui lui vaudra les critiques de Descartes. La formalisation de cette règle, sans l'apport axiomatique des structures algébriques (groupe, anneau) est loin d'être évidente.

Le grand (l'immense) mathématicien que fut Euler écrivit que (-1)(-1) = 1 au prétexte que (-1)(1) valant 1, il ne pouvait en être autrement...

D'autres célèbres mathématiciens se penchèrent ultérieurement sur la question sans vraiment convaincre : citons Bézout, Cauchy et Legendre.

Auparavant, les algébristes italiens (comme Bombelli) et le français Chuquet l'avaient aussi énoncée en tentant d'apporter des arguments convaincants. La célèbre règle remonte en fait à des temps très anciens : on la retrouve déjà chez Brahmagupta. Cependant le signe "-" garde un sens opérationnel, le concept de nombre négatif, n'est pas encore accepté.

Avec l'usage "moderne" des anneaux, la règle des signes devient un théorème : dans un anneau (A,+, .), notons a' le symétrique de a correspondant en notation additive élémentaire à : a' = -a.

(-a) . (-b) = a . b

En classe de 5ème, on peut, à titre de travaux dirigés, procéder à la mise en place de la règle comme prolongement de la propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition, en principe bien connue des élèves :

n x (a + b) = n x a + n x  b

Par exemple :

3 x (8 + 2) = 3 x 8 + 3 x 2 = 24 + 6 = 30 c'est aussi : 3 x 10 = 30.

Appliquons cette règle aux nombres négatifs :

[ 3 + (‑3) ] x 5 = 3 x 5 + (‑3) x 5 , par suite  : 0 = 15 + (‑3) x 5

On peut donc conclure :

(‑3) x (+5) = ‑ 15

Et on a bien sûr aussi (+5) x (‑3) = ‑ 15  car : (+5) x (-3) = 5 x (‑3) = (‑3) + (‑3) +... (‑3) = -15

Considérons maintenant le cas :   (‑3) x [(+5) + (‑5)] = (‑3) x (+5) x (‑3) x (‑5). C'est en fait : 

(‑3) x 0 = ‑15 + (‑3) x (‑5) , par suite : 0 = ‑15 + (‑3) x (‑5)

On peut donc conclure :

(‑3) x (‑5) = + 15

D'une façon générale, on retiendra la règle des signes pour la multiplication :

Le produit de deux nombres relatifs est :

  Règle des signes selon d'Alembert                    Descartes


Tschirnhausen  Bernoulli Jacques
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