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ROLLE Michel, français, 1652-1719       Théorème de Rolle | Règle des signes

Provenant de son auvergne natale, né à Ambert, célèbre pour sa fourme..., Michel Rolle commence sa carrière à Paris comme simple copiste et clerc de notaire. Brillant calculateur, il se fit connaître (1682) en résolvant un problème d'Ozanam :

Trouver quatre nombres tels que la différence de deux quelconques soit un carré et que la somme de deux quelconques des trois premiers soit encore un carré.

Ainsi remarqué par Colbert, "qui avait des espions pour découvrir le mérite caché ou naissant", dixit Fontenelle lien ci-dessous), Rolle fut reçu à l'académie des sciences et s'adonna dès lors à l'algèbre. Il s'opposa curieusement à la géométrie analytique de Descartes ainsi qu'au calcul différentiel dont Varignon et  Saurin étaient, à Paris, les ardents défenseurs.

 i  Joseph Saurin (1655-1737), pasteur protestant converti au catholicisme par Bossuet et aux mathématiques par L'Hospital et Varignon. On lui doit d'intéressants résultats en calcul différentiel et sur les points multiples des courbes algébriques.

»  Éloge posthume (biographie complète) de Rolle par Fontenelle (1719)

Dans son Traité d'algèbre (1690) sur la résolution des équations algébriques, Rolle aborde un sujet fondamental : le problème de la séparation des racines. Il s'agit d'isoler les solutions d'une équation, c'est à dire de déterminer des voisinages disjoints contenant une et une seule solution.

Si P(x) = 0 est une équation polynomiale, il ne peut exister plus d'une racine (réelle)
entre deux racines consécutives de sa dérivée (la dérivée de P).

On peut ensuite, pour une résolution approchée, appliquer divers algorithmes reposant sur la continuité, la monotonie, la convexité, etc. Ce difficile problème, initié par Descartes, sera affiné par Budan de Boislaurent (1811) et complètement résolu par Sturm (1829). Pus généralement :

Exprimé en termes actuels, ce théorème fondamental peut s'énoncer :

Si f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[ telle que f(a) = f(b),
 alors il existe c dans ]a,b[ tel que f '(c) = 0.

L'interprétation géométrique de cet important résultat :

Sous les hypothèses décrites, il existe un point c de ]a,b[ où la tangente à la courbe est horizontale; f passe ainsi par un maximum ou un minimum.

La notion de fonction dérivée existe clairement depuis Leibniz. Elle n'est cependant pas encore définie en tant que limite du taux d'accroissement, ce sera le fait de d'Alembert. Dire que f' s'annule, c'est dire que la tangente à la courbe en un point situé entre a et b, est parallèle à l'axe des abscisses.

Théorème des  accroissements finis :   

En corollaire du théorème de Rolle, on a celui des accroissements finis attribué à Lagrange :

Si f est une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe alors un réel c de ]a,b[ tel que :

Auparavant, les algébristes italiens (comme Bombelli) et le français Chuquet l'avaient aussi énoncée en tentant d'apporter des arguments convaincants. La célèbre règle remonte en fait à des temps très anciens : on la retrouve déjà chez Brahmagupta. Cependant le signe "-" garde un sens opérationnel, le concept de nombre négatif, n'est pas encore accepté.

 ➔  Avec l'usage "moderne" des anneaux, la règle des signes devient un théorème : dans un anneau (A,+, .), notons a' le symétrique de a correspondant en notation additive élémentaire à : a' = -a.

• (a + a') . b = 0 . b = 0, donc : a . b + a' . b = 0. C'est dire que (a' . b)' = a . b
• a' . (b + b') = 0 = a' . b + a' . b', donc a' . b' = (a' . b)' = a . b, soit en notation additive élémentaire :

n x (a + b) = n x a + n x  b

On peut donc conclure :

(‑3) × (‑5) = + 15

» Règle des signes selon d'Alembert           » Descartes

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Tschirnhausen  Bernoulli Jacques

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