ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

PEANO Giuseppe, italien, 1858-1932

Brillamment diplômé de l'université de Turin en 1880, Peano y enseigna toute sa vie, obtenant la chaire de calcul infinitésimal (calcul différentiel et calcul intégral) de son maître Angelo Genocchi (1817-1889) en 1890. Il professa parallèlement à l'Académie militaire de Turin de 1886 à 1901. 

Ce célèbre mathématicien fut également linguiste : entre 1903 et 1915, il tenta de faire ratifier une langue internationale proche du latin recouvrant l'italien, le français, l'allemand et l'anglais ! Dès 1925, Peano oriente son enseignement sur les fondements des mathématiques (les italiens parlent de matematiche complementari).

Ses travaux portèrent essentiellement sur la logique mathématique, la théorie des ensembles, l’axiomatisation de l'ensemble des entiers naturels. On lui doit la création d'un système de notations susceptibles d'énoncer et de démontrer les propositions mathématiques en utilisant un minimum de signes compatibles avec le raisonnement déductif reposant sur des notions premières acceptées (axiomes). 

C'est à  Peano que l'on doit aussi, dès 1888 dans son Calcolo geometrico, la notion d'espace vectoriel (réel) abstrait généralisant les travaux de Grassmann sur le calcul vectoriel (appelé à l'époque calcul géométrique : Calcolo geometrico).

 Ce sera Otto Töplitz (1881-1940), un élève de Hilbert à Göttingen qui donnera la définition axiomatique d'un espace vectoriel sur un corps abstrait. Angelo Genocchi (1817-1889), juriste, avocat, se tourne tardivement vers les mathématiques (1848) et obtiendra une chaire à Turin en 1858.

Symboles ensemblistes et notations en logique mathématique (1893) :

Un demi-siècle après les travaux novateurs de de Morgan en logique mathématique, Peano  apporte d'importantes avancées en calcul des propositions.

Parmi de nombreuses autres notations, on lui doit principalement les symboles actuels , , (signe d'appartenance) et (quantificateur existentiel)

Pour Peano, les signes et , adoptés par Frege, signifiaient le ET et le OU logiques et remplacent les x (ou ·) et + ambigus de Schröder.

Le signe , que Peirce notait simplement <, est dû à Schröder (1890), ainsi que.

Par contre, Peano utilisa -A et ~A pour signifier le A (négation) utilisé par Schröder : cette dernière notation l'emporta donc finalement avec celle de Heyting : ¬A.

Arend Heyting (1898-1980), mathématicien hollandais qui se consacra à la logique intuitionniste sur les traces de son professeur Luitzen E. J. Brouwer à l'université d'Amsterdam.

Le signede Peano (à rapprocher de > en arithmétique) signifiait aussi, et signifie encore pour certains logiciens d'outre atlantique, l'implication logique ( de Hilbert, de Bourbaki) : d'une certaine façon, P Q signifie que P l'emporte sur Q au même titre ensembliste que AB : A contient les éléments de B. Au contraire, AB exprime que tout élément de A est aussi un élément de B (à rapprocher de < en arithmétique); par exemple : ZQR.

  De Morgan , Russel            La logique d'Aristote :               Connecteurs NAND et NOR :

Dans son second Formulaire de mathématiques (1895), auquel contribua Burali-Forti, il usa le premier de la notation N pour désigner l'ensemble des nombres entiers naturels (naturale). L'ensemble des rationnels positifs est noté R (razionale) et les nombres réels positifs Q (quantita). De nos jours c'est l'inverse : R pour les nombres réels et Q pour les nombres rationnels (quotients).

Ces dernières notations seront utilisés systématiquement avec l'apparition des traités de Bourbaki. L'information répandue, selon laquelle Peano utilisait la notation Q pour les nombres rationnels semble fausse.

Les travaux de Peano sur le langage et les notations de la logique mathématique évoluèrent jusqu'en 1908, année du volume 5 de ses formulaires, où il étudie et compare ses notations à ceux de ses contemporains.

Dedekind                      Notations et symboles :

Quantification et prédicats :

Les logiques propositionnelles d'Aristote, complétées par de Morgan en Angleterre ou encore par Schröder en Allemagne, ne pouvaient suffire au raisonnement mathématique : il manquait les indispensables (et désormais célèbres) quantificateurs :

L'ensemble de ses symboles permit la construction d'un véritable langage symbolique, espéré par Leibniz, où la "pensée" mathématique intervient dans la conditionnalité (valeur de vérité) des propositions alors fonctions des variables qu'elles contiennent. On parle alors de fonctions propositionnelles ou de prédicats : acception distincte de la logique d'Aristote où le prédicat n'est que l'attribut B du sujet A (ce dont on parle) dans la proposition « A est B ».

La logique d'Aristote :            Frege et le calcul des prédicats :

Quantificateurs et négation :

La négation de la proposition « xA, P(x) » signifiant  « Quel que soit x dans A, P(x) est vérifiée » est « xA, P(x) » signifiant  « Il existe au moins un x dans A tel que P(x) est non vérifiée ». Une erreur classique est d'écrire : xA, P(x) !!!

On écrit souvent la négation « xA, P(x) » sous la forme « xA / P(x) » et on lit « il existe au moins un x dans A tel que P(x) soit faux ». Pourquoi pas. Généralement les spécialistes utilisent la forme :

« (xA) (P(x)) »  et  «( xA)( P(x)) »

Règle : bien séparer les assertions par des virgules : xA, P(x) est constitué de deux assertions «tout x est dans A » et P(x) sous entendant « P(x) est vérifiée par x ».

Exemple 3:  La négation de « xA, yB, P(x,y) » est « xA, yB, P(x,y) » ou bien « xA, yB / P(x,y) » ou bien « ( xA)(yB)(P(x,y)) »


Quelle est la négation de :  ε > 0,
pN,nN , n > p 1/n < ε  ? 

 Aristote , de Morgan , Frege , Cantor , Peirce , Russell , Tarski
 
Arithmétique de Peano, la construction axiomatique de N, axiome d'induction :

S'appuyant sur des travaux antérieurs de Dedekind (Was sind und was sollen die Zahlen), Peano construisit l'ensemble N des nombres entiers naturels au moyen de 5 axiomes, par une méthode proche de la récurrence pascalienne (Arithmetices principia, nova methodo exposita, 1889) :

  1. 0 désigne un nombre appelé Zéro, élément de N.

  2. Si n est un nombre, alors n admet un unique successeur qui lui est distinct et qui est aussi un nombre. Ce qui peut s'écrire : S : NN, nN, S(n)N, S(n) n.

  3. Zéro n'est le successeur d'aucun nombre : nN, S(n) 0.

  4. Deux nombres dont les successeurs sont les mêmes sont égaux : l'application S est injective, ce qui peut s'écrire : nN, mN, S(n) = S(m) n = m.

  5. Induction : Si un ensemble E de nombres contient 0 et le successeur de tout nombre de E, alors tout nombre est dans E : EN, 0E, S(E) E E = N.

L'axiome 5 n'est autre que le principe d'induction de Pascal : si on note 1 le successeur de 0 et n + 1 le successeur de n et si E contient 0 et n + 1 pour tout n de E, alors E = N.

On remarquera le paradoxe (apparent) consistant à définir les entiers à partir de 5 axiomes, donc à partir des entiers... Mais, bon, ou peut aussi utiliser a/, b/, ...

  Gödel            Construction de Von Neumann & nombres ordinaux :   

Courbes de Peano ou de Peano-Hilbert :

Il s'agit de « courbes » continues remplissant un carré, exhibées dans le cadre de la mise en place du concept de dimension par Peano (Sur une courbe qui remplit une aire plane, 1890).

Ces objets, dont l'approche a un aspect fractal, confirmaient le résultat de Cantor sur la théorie des cardinaux et remettait en question la définition d'un courbe déjà rénovée par Jordan : topologiquement, une courbe est de dimension 1 et une surface est de dimension 2. C'est ennuyeux... 

Approche concrète des courbes de Peano-Hilbert :

La dimension fractale de cette courbe est 2; logique puisqu'elle remplit le carré ! Mais ce n'est pas une fractale stricto sensu : sa dimension devrait être  strictement comprise entre 1 et 2.

                 Dimension fractale et dimension topologique :   

La courbe de Hilbert, dite de Peano-Hilbert (1891) est inspirée de celle de Peano et fut décrite afin de confirmer plus rigoureusement le résultat précédent : définie par une application continue surjective de l’intervalle J = [0,1] sur J J, elle remplit le carré J J mais possède des points multiples : ce n'est pas une courbe de Jordan !

 Il ne s'agit pas d'un bijection encore moins d'un homéomorphisme (bijection continue) qui nous amènerait à 1 = 2, mais la dimension fractale de cette courbe, remplissant un carré, est 2.

               Mandelbrot , Von Koch , Cantor , Julia , Sierpinski


  Pour en savoir plus :

Axiomatique, logique mathématique :

Le concept de dimension de 1907 à 1926 :

Courbes fractales :


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