ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BANACH Stephan, polonais, 1892-1945

Source éléments biographiques : CDSB & Encyclopædia Britannica. Portrait : PTM (Polskie Towarzystwo Matematyczne)

Confié par son père à une famille d'accueil de Cracovie, proche de la maison familiale, le jeune Stephan porte le nom de sa mère qu'il ne connut pas. Après des études secondaires en cette ville, Banach étudia à l'École Polytechnique de Lvov (on disait Lviv à l'époque), ville de l'actuelle Ukraine, jusqu'en 1914. C'est alors qu'éclate la première guerre mondiale. Réformé pour défaut de vision, Banach revient à Cracovie où, embauché comme ingénieur dans la construction des routes, il poursuit des recherches mathématiques tout en donnant des cours particuliers.

En 1919, à l'issue de la guerre, il regagne Lvov et soutient une thèse de doctorat Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (1920) dirigée par Steinhaus qui deviendra son ami (ce dernier est son aîné de seulement 5 ans).

La thèse de Banach contenait déjà, indépendamment de l'américain Wiener à la même époque, la définition formelle des espace vectoriels normés. Il obtint une chaire à l'université de Lvov en 1922 et y enseigna durant toute sa carrière (il en fut le doyen en 1940-41), décédant prématurément d'un cancer du poumon en 1945 alors qu'il devait obtenir un poste à l'université Jagellonne de Cracovie.     

Quelques lignes in fine sur l'histoire de Cracovie et de Lvov

Banach créa, avec son compatriote et ami d'études H. Steinhaus, la revue Studia Mathematica (1929)qui fit la renommée de l'université de Lvov et permit le rayonnement de la mathématique polonaise en Europe. En 1932, Banach publia son plus remarquable ouvrage : Théorie des opérations linéaires, amenant rigueur et résultats novateurs en analyse fonctionnelle, qui sera 40 années durant la référence en la matière.

Norme, semi-norme, espaces vectoriels normés, espaces de Banach :

Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif K = R ou C, une norme est une application de E dans K qui à tout vecteur u associe le nombre généralement noté || u || vérifiant :

La propriété 2 est appelée inégalité triangulaire par analogie avec le cas concret des vecteurs du plan. La norme est à l'espace vectoriel ce que la distance est à l'espace métrique, notion introduite par Fréchet (1906)  que Hausdorff développera magistralement dans un contexte topologique (Mengenlehre, 1913).

On parle d'espace de Banach E pour désigner un espace vectoriel E normé et complet (c'est à dire dans lequel toute suite de Cauchy converge dans E).

Fréchet et l'introduction des espaces métriques :

On parle de semi-norme si l'axiome 2 n'est pas valide. On notera toutefois que l'axiome 3 implique || 0E || = 0 et on vérifiera sans peine que si E est de dimension 1, toute semi-norme est une norme.


a) Vérifier que dans C2 = CC, l'application qui à tout couple (z,z') associe | z | est une semi-norme.
Que peut-on dire de (z,z')   | z | +  | z' | ?

Deux cas importants où interviennent les semi-normes dans les espaces fonctionnels :

Topologie engendrée par une famille de demi-normes :                        Espaces p :


1°) Soit  ||  || une semi-norme sur E. Montrer que l'ensemble N des vecteurs u de E tels que || u || = 0
est un sous-espace vectoriel de E et que la relation définie dans E par u v ssi u - v N est une relation d'équivalence.
2°) On note E/N l'ensemble des classes d'équivalence et u la classe de u.
Montrer qu'en écrivant || u || = || u ||, on définit une norme dans E/N.

Application  : Espaces Lp

Des exemples usuels d'espaces normés :

  Dans le plan euclidien, la norme d'un vecteur AB n'est autre que la distance séparant A de B. Une norme permet de définir le concept de "proximité" (voisinage) et d'étudier les espaces vectoriels dans leurs propriétés topologiques.

  Dans l'espace vectoriel euclidien rapporté à un repère orthonormé (ou identifié à l'espace vectoriel R3) muni du produit scalaire usuel dit euclidien, noté , on peut définir la norme d'un vecteur u (en quelque sorte sa longueur) par :

  Si l'on considère l'espace vectoriel E des fonctions numériques définies et continues sur un intervalle [a,b] de R, on peut définir une norme sur E par :

Un espace vectoriel peut être muni de plusieurs normes : on peut définir sur E une autre norme en associant à toute fonction f, le nombre :

                        Hilbert

Si f n'est pas continue mais seulement intégrable sur [a,b], on n'a plus une norme mais une semi-norme !

  Soit E un ensemble (non vide) et F est un espace vectoriel normé dont la norme est notée ||  ||F. On peut munir l'ensemble (E,F) des fonctions bornées de E vers F de la norme :

appelée norme de la convergence uniforme. Elle se rencontre en effet dans la définition d'une suite de fonctions uniformément convergente :

Weierstrass et la convergence uniforme :

Normes et distances équivalentes :

Une norme ||  ||2 sur un espace vectoriel réel E est dite équivalente à une norme ||  ||1 définie sur ce même espace, s'il existe des réels a et b tels que pour tout x de E, on ait :

a|| x ||1  || x ||2  b|| x ||1

On a une définition semblable pour des distances équivalentes dans un espace métrique. Pour un tel espace de distance d :

ad1(x,y) d2(x,y) bd1(x,y)

On définit ainsi une relation d'équivalence entre normes définies sur E. Dans un espace vectoriel réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Si une convergence a lieu relativement à une norme, elle aura lieu dans les mêmes conditions (uniforme, par exemple) pour toute autre norme équivalente. L'intérêt de cette notion est de pouvoir simplifier des calculs en utilisant une norme plus "opérationnelle".

Des exemples classiques :

Dans l'espace R3 ou par généralisation évidente, dans Rn, les normes suivantes sont équivalentes :

 

Dans l'espace n(R) des matrices carrées à termes réels :



   (norme spectrale : les λ sont les valeurs propres de la matrice (symétrique) produit de la transposée de M par M.

Espace de Banach, Algèbre de Banach :

On appelle espace de Banach un espace vectoriel normé et complet : dans un tel espace E, toute suite de Cauchy est convergente dans E. Rappelons ici que :

Tout espace vectoriel sur R normé et de dimension finie est complet.

L'inégalité triangulaire porte sur la norme de la somme de deux vecteurs. Dans le cas d'une algèbre normée, on peut aussi imposer une contrainte sur le produit :

Une algèbre de Banach est une algèbre sur C dont l'espace vectoriel associé est un espace de Banach et vérifiant en outre pour tout couple (x,y) d'éléments l'inégalité :

|| uv || || u ||.|| v ||

 où "" désigne la multiplication dans et "." la multiplication usuelle de C (de R+ dans le cas présent).


Vérifier que si E désigne un ensemble non vide, l'ensemble F des fonctions bornées de E dans C muni
de la norme || f ||
de la convergence uniforme, est une algèbre de Banach. 

Riesz et les espaces Lp | Espaces de Hilbert | Fréchet et les espace métriques  | Algèbre de Wiener

Un théorème de Banach :

Lorsque E et F sont deux espaces de Banach et f une application linéaire bijective (isomorphisme) et continue de E dans F, alors f-1 est un isomorphisme continu de f dans E.

Théorème de Hahn-Banach :

Ce théorème, valable en dimension infinie grâce à l'axiome de Zorn, peut ainsi s'exprimer :

Dans un espace de Banach, toute forme linéaire continue sur un sous-espace est prolongeable à l'espace tout entier.

Les conséquences de ce théorème sont très importantes en analyse fonctionnelle et en topologie (espaces convexes, théorèmes de séparation).

  Hahn                       Continuité et applications linéaires :

Théorème de Banach-Steinhaus :

Il s'agit d'un important théorème sur la convergence d'applications linéaires continues :

  Steinhaus

Théorème du point fixe de Banach pour les fonctions contractantes :

E désigne un espace de Banach et f est une application de E dans E telle qu'il existe un réel k de l'intervalle ]0,1[ pour lequel :

(x,y)E2,  ||f(x) - f(y)|| k.||x - y||               Lipschitz , Steinhaus

(on dit que f est contractante). Dans ces conditions f admet un unique point invariant u : f(u) = u, obtenu comme limite de la suite xn+1 = f(xn), xo quelconque dans E.

Ce théorème s'applique également à tout espace métrique et complet comme le plan euclidien muni de sa distance usuelle.

Preuve du théorème :  

Si xn+1 = f(xn), par hypothèse sur f, on a ||xn+1 - xn || kn.||x1 - xo||. Montrons que la suite (xn) est une suite de Cauchy dans E. Soit m > n; on peut écrire ||xm - xn || = ||xm - xm-1 + xm-1 - xm-2 + ... + xn+1 - xn ||. Par inégalité triangulaire, on a :

||xm - xn || (km-1 + km-2 + ... kn) ||x1 - xo || kn(1 + k +  ... km-n-1) ||x1 - xo ||

Soit  finalement :

||xm - xn || pourra donc être rendu aussi petit que voulu pour n suffisamment grand car kn et km-n (m > n) tendent vers 0 pour n infini : la suite (xn) est donc une suite de Cauchy dans E qui est complet (espace de Banach), elle converge donc dans E vers une limite L et on aura f(L) = L. L'unicité est évidente car f étant contractante, si L et L' sont deux telles limites, on aura ||f(L) - f(L')|| k||L - L'||, donc : 0 ||L - L'|| k||L - L'||, ce qui ne se peut sauf si L = L'.

Brouwer et point fixe :       Lipschitz et fonction contractante :

Paradoxe de Banach-Tarski :

On peut l'énoncer ainsi :

Si l'on admet l'axiome du choix, il est possible de découper une sphère en cinq éléments et à l'aide d'isométries de reconstruire deux sphères de même rayon que la première.

Tarski

Quelques précisions historiques :         

 Pour en savoir plus :

  1. Produit scalaire et norme : Produit scalaire dans ChronoMath.
  2. Mathématiques Analyse L3 : Cours complet avec 600 tests et exercices corrigés
    ouvrage collectif sous la direction de J.-P. Marco -Éd. Pearson Education
  3. Éléments de mathématiques, Livre V - Nicolas Bourbaki - Espace vectoriels topologiques, Livre V
    Ch. 1 : Espace vectoriels topologiques sur un corps valué - Ed. Hermann / Ed. Masson (réédition)
  4. Éléments de mathématique, Livre XV, Espaces vectoriels topologiques Ch. 1 & 2, N. Bourbaki.
  5. Cours de calcul différentiel, Ch1, Calcul différentiel dans les espaces de Banach, par Henri Cartan
    Éd. Hermann, Paris, 1967 (réédité en 1990).
  6. Algèbre de Banach par Isabelle Chalendar (univ. Lyon 1) : http://math.univ-lyon1.fr/~chalenda/chap-alg-banach.pdf
  7. Le théorème de Hahn-Banach et ses conséquences, page de Daniel Li, université d'Artois :
    http://ddata.over-blog.com/xxxyyy/2/18/55/05/Cours-Theoreme-de-Hahn-Banach-MSIBNI.pdf
  8. Travaux de Banach (en français) sur la librairie virtuelle des sciences (Pologne) :
    http://matwbn.icm.edu.pl/index.php?jez=en
  9. Paradoxe de Banach-Tarski vu par Cédric Villani... : http://histoires-courtes.fr/#page=Villani


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