ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Quelques calculs d'intégrales       Réponses : cliquez-moi...
    
 aussi : Exemples d'intégration par parties , primitives de 1/sin x et 1/cos x , primitives de e1/x

 La souris renvoie à des exercices de calcul intégral proposés dans diverses pages du site

1 -  

2 -     (procéder par décomposition en éléments simples)                  

3 -  

      

4 - 
Indications : x/a est compris entre 0 et 1 : on posera x = a.sin t avec t croissant de 0 à π/2; cos t est alors positif.

5a -  
Indications : on posera (t2 - 1) = u. Élever au carré et différentier...

5b -  

6 -  
Indications : Dans un premier temps, poser t = tan(x/2) afin de se ramener à l'intégrale d'une fraction rationnelle. Poser ensuite u = t/3. On remarquera utilement que 3u2 + 1 peut s'écrire u2 + 1 + 2u2 et on pourra calculer la dérivée de  u/(u2 + 1).

                            intégrale généralisée

7 -                      

8 -                  

9 -

10 -

11 -

12 -

13 -

14 -

15 - On pose f(x) = e-xln(1 + ex). Calculer f(x) + f '(x). En déduire les primitives de f.

16 -

17 -

18 -    

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Réponses :

1 - La division de x4 + 1 par -x3 + x fournit d'abord -x + (x2 + 1)/(x - x3). Or x - x3 = x(1 - x)(1 + x). On en déduit :

On obtient facilement par identification à l'écriture initiale de f(x) : a = 1, b = 1 et c = -1. Finalement :

2 -  La décomposition en éléments simples fournit ici 1 - 2/(1+ t) + 2/(1+ t)2. D'où, très simplement :

3 -  On obtient sans difficulté :

Une primitive de f sera donc :

Et l'intégrale sur l'intervalle  [0,1] sera 2 - ln(3) - π3/9  car ln(1) = 0, Atn3 = π/3 et Atn(1/3) = π/6.

4 -  En posant x = a.sin t, on a dx = a.cos t.dt et l'intégrale devient :

Si l'on avait voulu calculer les primitives de l'intégrande, on aurait remarqué que t = Asn(x/a), sin 2t = 2sin t.cos t et cos2 t = 1 - x2/a2. D'où :


5a -  Soit J l'intégrale cherchée. En  posant (t2 - 1) = t - u et en élevant au carré, on obtient 1 - 2ut + u2 = 0. On différentie : (u - t).du = u.dt, ce qui fournit dt en fonction de u que l'on remplace dans l'intégrale en notant que les bornes en u = t - (t2 - 1) deviennent 1 en t = 1 et x - (x2 - 1) en t = x :

En remarquant que x - (x2 - 1) n'est autre que x + (x2 - 1), il s'avère finalement que  :

Cette intégrale n'est autre que Argcoshx. On se reportera aussi à la page de Vincenzo Riccati.


5b - Notons I l'intégrale cherchée. En posant u = (t2 - 1) et v' = 1, on obtient :

Par conséquent :

Finalement :


6 - Cherchons tout d'abord une primitive, encore notée I, de l'intégrande. Avec t = tan(x/2), on a dt = ½(1 + t2)dx et cos x = (1 - t2)/(1 + t2). En remplaçant, on obtient après simplification :

Le changement de variable t = u3 conduit alors à :

Les indications données fournissent finalement :

Cette primitive doit être calculée pour x variant de 0 à π/2 : t varie donc entre 0 et 1 u varie entre 0 et 1/3

lorsque l'intervalle d'intégration devient [0,π], on a un problème dû à u= t3 = 3tan(x/2) : la tangente devient infinie positive et l'intégrale devient généralisée. Or lorsque u tend vers +, Atan tend vers π/2. Par conséquent :


7 - Calculons tout d'abord une primitive de la fonction sin(ln x); à une constante additive près, nous avons : 

sin(ln x)dx = x.sin(ln x) -x.cos(ln x)dx + k = x.sin(ln x) - [ x.cos(ln x) + sin(ln x)dx ].

D'où sin(ln x)dx = ½ (x.sin(ln x) -  x.cos(ln x))

On en déduit F(t) = [½ x(sin(ln x) -  cos(ln x))] = ½ t(sin(ln t) -  cos(ln t)) + 1


9 - Appelons J cette intégrale. On intègre par parties sachant que la dérivée de Atanx est 1/(1 + x2) :

          Arc tangente :

Mais, par division, on a x3/(1 + x2) = x - x/(1 + x2) et cette dernière fraction rationnelle s'intègre immédiatement :


10 - On a t2 = x + 1 et dx = 2t.dt. D'où :


11 - On a t 0 et t2 = ex - 1 0 et 2t.dt = ex.dx. D'où :

Par conséquent :


12 - On a dx = 2(1 + tan2z)dz. On remplace et, en remarquant que 1 + tan2z = 1/cos2z, on obtient :


13 - En ajoutant la partie imaginaire proposée, il s'agit d'intégrer  ex(i-1). On trouvera sans difficultés :

dont la partie réelle est l'intégrale I cherchée, soit : ½(1 - 1/e).


14 - Le changement de variable indiqué ramène facilement à l'intégration d'une fraction rationnelle :

Si le radicande est ax2 + bx + c avec a > 0, la division par a ramène au résultat plus général :

Le cas a < 0 conduit immédiatement à un arc sinus.

15 - On vérifie sans difficultés que  f(x) + f '(x) = 1/(1 + ex). On peut écrire :


© Serge Mehl - www.chronomath.com