ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Quelques calculs d'intégrales       niveau Sup     Réponses : cliquez-moi...      » voir aussi : Exemples d'intégration par parties | primitives de 1/sin x et 1/cos x | primitives de e1/x

1 -  

2 -     (procéder par décomposition en éléments simples)  ☼

3 -  

4 - 
Indications : x/a est compris entre 0 et 1 : on posera x = a.sin t avec t croissant de 0 à π/2; cos t est alors positif.

5a -  
Indications : on posera √(t² - 1) = u. Élever au carré et différentier...

5b -  

6 -  
Indications : Dans un premier temps, poser t = tan(x/2) afin de se ramener à l'intégrale d'une fraction rationnelle. Poser ensuite u = t/√3. On remarquera utilement que 3u² + 1 peut s'écrire u² + 1 + 2u² et on pourra calculer la dérivée de  u/(u² + 1).

                          »  intégrale généralisée

7 -                      

8 - : ☼

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15 - On pose f(x) = e^-xln(1 + e^x). Calculer f(x) + f '(x). En déduire les primitives de f.

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18 - : ☼

19 - :   ☼

1 - La division de x⁴ + 1 par -x³ + x fournit d'abord -x + (x² + 1)/(x - x³). Or x - x³ = x(1 - x)(1 + x). On en déduit :

On obtient facilement par identification à l'écriture initiale de f(x) : a = 1, b = 1 et c = -1. Finalement :

2 -  La décomposition en éléments simples fournit ici 1 - 2/(1+ t) + 2/(1+ t)². D'où, très simplement :

3 -  On obtient sans difficulté :

Une primitive de f sera donc :

Et l'intégrale sur l'intervalle  [0,1] sera 2 - ln(3) - π√3/9  car ln(1) = 0, Atn√3 = π/3 et Atn(1/√3) = π/6.

4 -  En posant x = a.sin t, on a dx = a.cos t.dt et l'intégrale devient :

 ➔  Si l'on avait voulu calculer les primitives de l'intégrande, on aurait remarqué que t = Asn(x/a), sin 2t = 2sin t.cos t et cos² t = 1 - x²/a². D'où :

5a -  Soit J l'intégrale cherchée. En  posant √(t² - 1) = t - u et en élevant au carré, on obtient 1 - 2ut + u² = 0. On différentie : (u - t).du = u.dt, ce qui fournit dt en fonction de u que l'on remplace dans l'intégrale en notant que les bornes en u = t - √(t² - 1) deviennent 1 en t = 1 et x - √(x² - 1) en t = x :

En remarquant que x - √(x² - 1) n'est autre que x + √(x² - 1), il s'avère finalement que  :

 ➔   Cette intégrale n'est autre que Argcoshx. On se reportera aussi à la page de Vincenzo Riccati.

5b - Notons I l'intégrale cherchée. En posant u = √(t² - 1) et v' = 1, on obtient :

Par conséquent :

Finalement :

6 - Cherchons tout d'abord une primitive, encore notée I, de l'intégrande. Avec t = tan(x/2), on a dt = ½(1 + t²)dx et cos x = (1 - t²)/(1 + t²). En remplaçant, on obtient après simplification :

Le changement de variable t = u√3 conduit alors à :

Les indications données fournissent finalement :

Cette primitive doit être calculée pour x variant de 0 à π/2 : t varie donc entre 0 et 1 u varie entre 0 et 1/√3

» lorsque l'intervalle d'intégration devient [0,π], on a un problème dû à u= t√3 = √3tan(x/2) : la tangente devient infinie positive et l'intégrale devient généralisée. Or lorsque u tend vers +∞, Atan tend vers π/2. Par conséquent :

7 - Calculons tout d'abord une primitive de la fonction sin(ln x); à une constante additive près, nous avons : 

∫sin(ln x)dx = x.sin(ln x) - ∫x.cos(ln x)dx + k = x.sin(ln x) - [ x.cos(ln x) + ∫sin(ln x)dx ].

D'où ∫sin(ln x)dx = ½ (x.sin(ln x) -  x.cos(ln x))

On en déduit F(t) = [½ x(sin(ln x) -  cos(ln x))] = ½ t(sin(ln t) -  cos(ln t)) + 1

9 - Appelons J cette intégrale. On intègre par parties sachant que la dérivée de Atanx est 1/(1 + x²) :

        » Arc tangente :