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STIELTJES Thomas Jan, hollandais, 1856-1894

D'origine hollandaise, professeur à l'université de Groningue (Hollande) mais insatisfait de son poste, Stieltjes émigre à Paris et, suite à sa thèse de doctorat (Études de quelques séries semi-convergentes, 1886), obtenu sous la direction de Darboux et Hermite, il obtient un poste à l'université de Toulouse (chaire de calcul différentiel et intégral).

Ses travaux portèrent sur les fonctions elliptiques, les équations différentielles, la théorie des nombres et l'étude de fonctions définies par des fractions continues algébriques (Recherches sur les fractions continues, 1894) le conduisant à celle de séries dites semi-convergentes, au sens précisé ci-dessous, ainsi qu'à la mise en place d'une théorie de la mesure et d'une nouvelle théorie de l'intégration.

L'intégrale de Stieltjes pour les fonctions à variation bornée, introduite ci-après, est une généralisation de l'intégrale de Riemann.

Borel et la théorie de la mesure :                  Intégrale selon Lebesgue :

Séries semi-convergentes au sens de Stieltjes et au sens actuel :

Dans sa thèse de 1886, Stieltjes développe l'étude de séries divergentes du type anx-n = Σan/xn, susceptibles cependant d'approcher des fonctions au voisinage de l'infini :

C'est en fait un sujet plus ancien traité implicitement par exemple par Laplace pour le calcul approché d'intégrales, Stirling pour son approximation de n! et plus rigoureusement par Cauchy dans son mémoire de 1843 : Sur l'emploi légitime des séries divergentes ( fin de page) dans le cas de séries alternées permettant d'évaluer l'erreur commise en se limitant à un rang donné. Plus proche de nous, Poincaré traita le sujet en parlant de développements asymptotiques :

Développement asymptotique selon Poincaré :

De nos jours, on dit qu'une série Σun est semi-convergente pour exprimer qu'elle est convergente mais non absolument convergente : Σ|un| diverge.

La thèse de Stieltjes (Numdam) :            Séries de fonctions :           La série semi-harmonique :    

Variation d'une fonction numérique :

Soit f une fonction numérique définie en tout point d'un segment [a,b] et S = (xi) i=1,...n une subdivision quelconque de cet intervalle : a < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b. Considérons le nombre :

S'il existe un réel M indépendant de S tel que V(f,xi) < M, on dit que f est à variation bornée sur [a,b] et la borne supérieure de l'ensemble des V(f,xi) est la variation ou l'oscillation de V[a,b] de f sur [a,b]. C'est Jordan qui définit pour la 1ère fois cette notion.

est à variation bornée et :

Intégrale de Stieltjes (1894) :

  Introduction :   

Il s'agit d'une généralisation de l'intégrale de Riemann voyant son origine (et ses applications) dans des problèmes concrets de distribution de masses (sciences physiques) ou de probabilités. Voici un exemple introductif inspiré de celui donné par I. Zeldovitch dans ses Éléments de mathématiques appliquées (Ch. VI, §4, Ed. Mir, Moscou - 1974) :

On considère sur un axe [Ox) une masse m répartie sur le segment [AB] et une masse mc placée en C entre O et A. Il s'agit de calculer l'attraction exercée sur mc par m.

On applique à m et mc la loi de Newton (potentiel newtonien) : la force d'attraction d'une particule dm de [AB] attire mc selon une force dF = k x mcdm/(x - c)2. k désigne la constante d'attraction universelle, c est l'abscisse de mc et x l'abscisse de m sur [AB]. Il suit que :

Or dm dépend de x et la distribution de masse peut être répartie de façon très diverse (points isolés par exemple, en nombre fini ou non) et l'existence d'une fonction de densité n'est pas assurée. Si une densité (x) existe, alors dm = (x)dx et le calcul de F se ramène à une intégrale de Riemann "ordinaire".

Sinon, il faut envisager une intégrale selon la distribution de masse , considérée comme une mesure sur l'intervalle [AB]. Cette mesure devra être additive : chaque portion Δxi = xi+1 - xi de [AB] sera mesurable et on sera en droit d'écrire (Δxi) = (xi+1) - (xi). Dans ces conditions F apparaît comme la limite, pour n infini et xi+1 - xi tendant vers 0, des sommes du type :

  Définition :   

Soit une fonction numérique à variation bornée sur tout intervalle borné (c'est, concrètement, eu égard à l'introduction ci-dessus, la fonction de distribution des masses) et f une fonction numérique continue à support compact (concrètement, l'attraction est nulle en dehors de l'intervalle fermé borné [AB]). On appelle sommes de Stieltjes relativement à le nombre :

où les ci vérifient xo < co < x1 < c1 < x2 < ... < cn < xn.

Notons δn la plus grande des différences xi+1 - xi (pas de la subdivision en x). Si, lorsque xo -  et xn de sorte que δn 0, les sommes ci-dessus admettent une limite finie, on dira que la fonction f est intégrable (ou mesurable) au sens de Stieltjes (ou encore -mesurable). Cette limite est l'intégrale, au sens de Stieltjes, de la fonction f. On la notef d.

Remarques :   

La notion mathématique de mesure d'un ensemble en analyse fonctionnelle est une généralisation de la longueur d'un segment ou de l'aire d'un domaine plan à des ensembles constitués de parties disjointes (dont le nombre de points peut être fini ou non, dénombrable ou non) et correspondant aux points de discontinuité d'une fonction (que l'on cherche à intégrer). Les premiers à étudier ces problèmes furent Jordan dans l'étude des courbes algébriques et de leur rectification (mesure de la longueur d'un arc), et Peano. Le couronnement de ces travaux sera le fait de Lebesgue et de Denjoy.

Borel et la théorie de la mesure :

 Pour en savoir plus :


Runge  Lyapunov
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