ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Variable aléatoire continue  exposé élémentaire          Première notion de variable aléatoire

Rappelons tout d'abord brièvement le cas discret : si une variable aléatoire X prend un nombre de valeurs fini ou dénombrable (son ensemble de définition est inclus dans N), on parle de variable discrète.

  Les valeurs x_i étant prises avec les probabilités p_i, l'espérance mathématique de X, notée E(X), est sa valeur moyenne pondérée par les probabilités.

E(X) = Sp_ix_i

Cela correspond statistiquement (en termes de fréquence) à la valeur moyenne d'une série de nombres aléatoires {x₁, x₂, x₃, ...}  : m = (Sn_ix_i)/Sn_i , n_i désignant l'effectif de la i-ème valeur observée x_i.

  La variance exprime la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne des valeurs d'une série aléatoire; on la note V(X), il s'agit donc de :

V(X) = Sp_i [x_i - E(X)]²

En développant, on constate facilement que V(X) = E(X²) - [E(X)]² : c'est la formule de König. L'écart-type de X en est la racine carrée.

  exemple                loi binomiale , loi hypergéométrique, loi de Poisson

  La fonction de répartition d'une variable discrète exprime les valeurs F(x_i) = Prob{X < x_i} :     loi binomiale

Lorsqu'une variable aléatoire X pouvant prendre toute valeur réelle (son ensemble de définition contient un intervalle de R), on parle de variable continue. Dans ce cas, il ne s'agira plus de calculer une probabilité d'apparition d'une valeur donnée mais d'un intervalle. Daniel Bernoulli fut un pionnier en la matière.

Considérons par exemple, un segment [a,b] dans lequel on choisit un point d'abscisse x au hasard, sans autre condition que a x b. Il s'agit de la loi uniforme sur [a,b] :

Si x' et x" sont deux valeurs choisies dans [a,b], dire que la distribution de probabilités est uniforme signifie que la probabilité de réalisation de l'événement {x' x x"} est proportionnelle à x" - x'.

Plus précisément : Prob{x' X x"} = k(x" - x'), k ne dépendant pas de x' et x". Si x' = a et x" = b, on a 1 = k(b - a), ce qui fournit k = 1/(b - a).

Soit maintenant deux valeurs de x infiniment proches. La probabilité Prob{x X x + dx} = kdx est infinitésimale. Notons-la dF(x). On a dF = dx/(b - a).

Le nombre f(x) = dF(x)/dx est la densité de probabilité de x au point x. la fonction f est la dérivée de la fonction F, appelée fonction de répartition de X définie ici par :

La densité de la loi uniforme sur [a,b], définie ci-dessus au moyen de k, est donc :

C'est la fonction caractéristique de l'intervalle [a,b], souvent notée 1_[a,b].

On définirait de même la loi uniforme sur une aire ou dans un volume homogène. Le paragraphe suivant justifiera l'appellation loi rectangulaire pour la loi uniforme sur un intervalle :

X désignant une variable aléatoire numérique continue, la fonction de répartition de X, exprimant la probabilité de  l'événement X x ou bien, indifféremment par continuité X < x, est une fonction de la forme :

où f désigne une fonction numérique positive continue, intégrable sur R et telle que :

Sur le schéma ci-dessus, on comprend que la probabilité d'un intervalle s'interprète comme une aire. Pourquoi cela ?

Explication : X désignant une variable aléatoire continue sur R, lorsque a et b désignent deux valeurs de X infiniment proches x et x + dx, on est en droit d'estimer que sur cet intervalle infiniment petit dx, la distribution de probabilité est uniforme :

Prob(x < X < x + dx) = k_xdx

où k_x, fonction du phénomène étudié, dépend de x.

Posons alors k_x = f(x), on a : Prob(x < X < x + dx) = f(x)dx.

Par sommation, en notant alors dF(x) = f(x)dx, l'intégrale :

s'interprète comme la probabilité de réalisation de X sur l'intervalle ]-,x[ : Prob(X < x)

Dans ce cas "continu", noter que tous les signes < peuvent être remplacés par .

• Pour une valeur a de x donnée, Prob(X < a) = F(a) s'interprète comme l'aire (en vert) sous la courbe représentative de f, dite densité de X.

• Pour deux valeurs a et b de x, a < b,  F(b) - F(a) s'interprète comme l'aire (en jaune) :

L'intégrale sur R tout entier de f correspond à Prob(XR), c'est dire que :

1.

2. Exercice où l'on établit la distribution de Cauchy : calcul d'une densité

3. La loi de probabilité exponentielle (durée de vie sans vieillissement)

4. Étude d'une loi continue définie par sa fonction de répartition, densité espérance mathématique, variance

Il s'agit, s'il existe, du nombre :

Lorsque la densité est nulle en dehors d'un intervalle J, l'intégrale ci-dessus se réduit à une intégration sur J. Un exemple est donné par la loi exponentielle.

Remarquer l'analogie avec le cas discret où le rôle des p_i est tenu par f(t)dt. On voit aussi que cette espérance peut s'écrire comme intégrale sur R de t.dF(t). Lorsqu'on se place dans un espace probabilisé abstrait (W,,P), l'espérance de X s'écrira :

Plus généralement, on appelle moment d'ordre k, l'espérance mathématique de la variable X^k :

On voit là une généralisation de la notion de moment d'inertie correspondant à k = 2.

La variance d'une variable aléatoire continue est, là encore, l'espérance de la moyenne des carrés de ses écarts par rapport à sa moyenne :

et par linéarité de l'intégrale, on retrouve la formule de König : V(X) = E(X²) - [E(X)]².

Montrer que la loi ci-dessus (loi de Cauchy) n'admet ni valeur moyenne, ni variance.

Quelques lois continues étudiées dans ChronoMath :

• La loi exponentielle (dite de durée de vie sans vieillissement);

• La loi de Laplace-Gauss, dite normale;

• La loi de Pearson dite du  c²;

• La loi de Student, dite loi t;                                     Autres lois

• La loi de Fisher, dite loi F;

• La loi de Cauchy.