ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Variable aléatoire continue, densité  exposé élémentaire          Première notion de variable aléatoire

Rappelons tout d'abord brièvement le cas discret : si une variable aléatoire X prend un nombre de valeurs fini ou dénombrable (son ensemble de définition est inclus dans N), on parle de variable discrète ou discontinue.

  Les valeurs xi étant prises avec les probabilités pi, l'espérance mathématique de X, notée E(X), est sa valeur moyenne pondérée par les probabilités.

E(X) = Σpixi

Cela correspond statistiquement (en termes de fréquence) à la valeur moyenne d'une série de nombres aléatoires {x1, x2, x3, ...}  : m = (Σnixi)/Σni , ni désignant l'effectif de la i-ème valeur observée xi.

  La variance exprime la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne des valeurs d'une série aléatoire; on la note V(X), il s'agit donc de :

V(X) = Σpi [xi - E(X)]2

En développant, on constate facilement que V(X) = E(X2) - [E(X)]2 : c'est la formule de König. L'écart-type de X en est la racine carrée.

    Exemples fondamentaux : loi binomiale , loi hypergéométrique , loi de Poisson

Formalisées par le physicien et astronome Christiaan Huygens, ces notions de moyenne, variance et écart-type se rencontrent en statistique. Les probabilités pi sont alors les fréquences d'apparition des xi.

  La fonction de répartition d'une variable discrète exprime les valeurs F(xi) = Prob{X < xi} : rappels  
 

Cas continu, densité de probabilité, loi uniforme sur un intervalle de R :

Lorsqu'une variable aléatoire X pouvant prendre toute valeur réelle (son ensemble de définition contient un intervalle de R), on parle de variable continue. Dans ce cas, il ne s'agira plus de calculer une probabilité d'apparition d'une valeur donnée mais d'un intervalle. Daniel Bernoulli fut un pionnier en la matière.

Considérons par exemple, un segment [a,b] dans lequel on choisit un point d'abscisse x au hasard, sans autre condition que a x b. Il s'agit de la loi uniforme sur [a,b] :

Si x' et x" sont deux valeurs choisies dans [a,b], dire que la distribution de probabilités est uniforme signifie que la probabilité de réalisation de l'événement {x' x x"} est proportionnelle à x" - x'.

Plus précisément :

il existe un réel k ne dépendant pas de x' et x" tel que Prob{x' X x"} = k(x" - x')

Si x' = a et x" = b, on a 1 = k(b - a), ce qui fournit k = 1/(b - a). Soit maintenant deux valeurs de x infiniment proches. La probabilité Prob{x X x + dx} = kdx est infinitésimale. Notons dF(x) cette probabilité. On a donc dF = dx/(b - a). Le nombre

f(x) = dF(x)/dx

est la densité de probabilité de x au point x. la fonction f est la dérivée de la fonction F. Cette dernière est la fonction de répartition de X définie ici par :

  On parle plus généralement de variable absolument continue lorsqu'on travaille dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue des fonctions mesurables des espaces L1 où f absolument continue signifie continue et telle que |f| est intégrable. Ce cas n'est pas étudié ici.

La densité de la loi uniforme sur [a,b], définie ci-dessus au moyen de k, est alors :

C'est la fonction caractéristique de l'intervalle [a,b], souvent notée 1[a,b].

On définirait de même la loi uniforme sur une aire ou dans un volume homogène. Le paragraphe suivant justifiera l'appellation loi rectangulaire pour la loi uniforme sur un intervalle :

Plus généralement :

X désignant une variable aléatoire numérique continue, la fonction de répartition de X, exprimant la probabilité de  l'événement X x ou bien, indifféremment par continuité, l'événement X < x, est une fonction de la forme :

où f désigne une fonction numérique positive continue, intégrable sur R et telle que (condition fondamentale) :

La probabilité d'un intervalle s'interprète comme une aire. En effet, pour deux valeurs de X infiniment proches x et x + dx, on est en droit d'estimer que sur l'intervalle infiniment petit de longueur dx, la distribution de probabilité est uniforme :

Prob(x < X < x + dx) = kxdx

où kx, fonction du phénomène étudié, dépend de x. Posons alors kx = f(x), on a : Prob(x < X < x + dx) = f(x)dx. Par sommation, en notant dF(x) = f(x)dx, l'intégrale :

s'interprète comme la probabilité de réalisation de X sur l'intervalle ]-,x[ : Prob(X < x)

Dans ce cas "continu", on remarquera que tous les signes < peuvent être remplacés par .

L'intégrale sur R tout entier de f correspond à Prob(XR), c'est dire que :


1.

2. Exercice où l'on établit la distribution de Cauchy : calcul d'une densité

3. La loi de probabilité exponentielle (durée de vie sans vieillissement)

4. Étude d'une loi continue définie par sa fonction de répartition, densité espérance mathématique, variance

Espérance mathématique et moments d'une variable aléatoire continue :

Il s'agit, s'il existe, du nombre :

Lorsque la densité est nulle en dehors d'un intervalle J, l'intégrale ci-dessus se réduit à une intégration sur J. Un exemple est donné par la loi exponentielle.

Remarquer l'analogie avec le cas discret où le rôle des pi est tenu par f(t)dt. On voit aussi que cette espérance peut s'écrire comme intégrale sur R de t.dF(t). Lorsqu'on se place dans un espace probabilisé abstrait (Ω,,P), l'espérance de X s'écrira :

Plus généralement, on appelle moment d'ordre k, l'espérance mathématique de la variable Xk :

On voit là une généralisation de la notion de moment d'inertie correspondant à k = 2.

Variance :

La variance d'une variable aléatoire continue est, là encore, l'espérance de la moyenne des carrés de ses écarts par rapport à sa moyenne :

et par linéarité de l'intégrale, on retrouve la formule de König : V(X) = E(X2) - [E(X)]2.


Montrer que la loi ci-dessus (loi de Cauchy) n'admet ni valeur moyenne, ni variance.

 

Quelques lois continues étudiées dans ChronoMath :


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