ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Contre-exemple d'Abel       Abel , Cauchy , Fourier

En 1821, Cauchy énonçait un résultat faux, à savoir que toute série convergente de fonctions continues possède une limite continue. Abel fournit, grâce aux séries de Fourier, le contre-exemple suivant.

Considérons la série de terme général :

Les fonctions fn sont continues sur R et nulles en 0. Au numérateur, les sommes partielles de la série de terme général sin(2n + 1)x peuvent s'écrire pour tout x réel non multiple de π :

Elles sont donc bornées.

Au dénominateur, la suite de terme général 1/(2n+1) est positive et décroissante vers 0 : elle répond ainsi aux conditions du critère d'Abel. On en déduit que la série (S) de terme général fn(x) est convergente pour tout réel x. Soit xf(x) cette limite.

En x = 0, les sommes partielles de la série sont nulles pour tout n. La série converge donc vers 0. On pourrait penser, comme l'affirma Cauchy pour les séries de fonctions continues, qu'au point zéro, la fonction f, somme de la série pour tout x distinct de kπ, est continue avec f(0) = 0. Il n'en est rien.

  Étudions, en effet, le développement en série de Fourier de la fonction 2π-périodique définie par :

  Son développement en série de Fourier est de la forme :

 

avec :

Mais g est impaire, par conséquent, sans calculs, an = 0. Quant à bn , on a :

Ainsi :

On peut alors écrire :

Ce qui permet d'affirmer que la série (S) converge vers π/4 pour tout réel x de l'intervalle ]o,π[ et vers -π/4 pour tout x de ]-π,o[ (ce qui est prévisible par imparité), et d'établir la non continuité de la fonction somme au point 0.

On remarquera que pour x = π/2, on retrouve, avec g(π/2) = 1, la célèbre série de Grégory calculant π/4 :


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