ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BERNOULLI Jakob (Jacques), suisse, 1654-1705      Calcul des variations | loi binomiale | Spirale
       7 juin 1654, sacre de Louis XIV à Reims, à l'âge de 16 ans.

Les Bernoulli sont issus d'une famille protestante de commerçants d'Anvers qui se réfugia à Francfort (Allemagne) en 1583 afin d'échapper aux persécutions catholiques de l'époque. Menée par Nicolas dit l'ancien (1623-1708), les Bernoulli émigrent ensuite à  Bâle, en Suisse et constitueront une véritable dynastie de mathématiciens dont le premier fut Jakob, souvent traduit James par les anglophones, Jacques par les francophones et surnommé Jacques 1er par ces derniers.

Son frère Johann (Jean), mathématicien et physicien sera Johann 1er et les fils de ce dernier Daniel 1er, Johann II, Nicolas III...

 Pour en savoir plus sur la dynastie scientifique des Bernoulli : Généalogie des Bernoulli et leurs travaux, une page très intéressante de P. Radelet de Grave : http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/docu/LesBernoulli.pdf

Les travaux de Jakob, qui enseigna à Bâle tout au long de sa vie, porteront principalement sur l'analyse fonctionnelle, le calcul différentiel, le calcul intégral : le terme est de lui, en 1690, mais revendiqué aussi par Johann, et sera retenu au détriment du calcul sommatoire de Leibniz, lequel peut être considéré cependant comme le fondateur dudit calcul.

 Le qualificatif intégral provient du latin médiéval integralis, dérivant du latin integer = entier, (comme en anglais) pour signifier entièrement, totalement : intégralement : D'une somme d'infiniment petits, on obtient le tout.

Jakob Bernoulli mit en place :

f(x + y) = f(x).f(y)

dont la plus célèbre est celle dont la fonction dérivée coïncide avec elle même : f(x) = ex où e est le non moins célèbre nombre de Neper.

Première notion de fonction :         Euler et l'exponentielle :

 Équations différentielles dans ChronoMath :                        Kolmogorov

Il sera aussi, avec son frère Johann (Jean), un des grands artisans du développement en série des fonctions entamé par Mercator, Gregory et Leibniz.

Précurseur de l'analyse fonctionnelle, il sera le premier, avec Leibniz, à parler de fonction et à utiliser la notation fx qu'utilisera Euler, proche du f(x) d'aujourd'hui qui est dû à Lagrange.

L'aube du calcul des variations :

Avec Jean (Johann), son frère cadet, Jacques Bernoulli énonce et résout les célèbres problèmes mécaniques (relevant du mouvement, du grec mêkhanê qui a donné, en français, machine) posés à l'époque comme des défis, et demandant des outils sophistiqués : calcul différentiel et intégral, équations différentielles avec contrainte d'optimisation comme la recherche d'extrema sur une courbe ou surface, conduisant à des géodésiques, en terme de chemin le plus court (du grec = la Terre et daiein = diviser). On parle de calcul des variations (calculus variationum).

Euler et le calcul des variations :

La chaînette (1691) :    

Aussi appelée courbe funiculaire. (du latin funis = corde). Considérons un câble homogène (ou une chaîne, un collier) flexible, retenu en ses extrémités. Dans sa position d'équilibre, le câble (ou le collier comme ci-contre) pend dans un plan vertical et semble prendre une forme parabolique. Il s'agit en fait d'une courbe proche du cosinus hyperbolique.

Elle fut étudiée avec la "collaboration" de Leibniz et Huygens , mis au défi par Jakob de trouver son équation, à savoir : y = a.ch (x/a) où a est un réel positif et ch la fonction cosinus hyperbolique, aussi notée cosh :

                 Galilée , Vincenzo Riccati , Lambert

Le terme chaînette (en anglais catenary, du latin catena = chaîne) est de Huygens qui étudia concrètement cette courbe dans son aspect mécanique. La courbure d'une voile soumise au vent fut aussi étudiée par Bernoulli et correspond également à une chaînette.

Étude de la chaînette :

Le brachistochrone et l'arc de cycloïde (1696) :    

Étant donné deux points A et B de hauteurs différentes, non situés sur une même verticale, quelle est est la trajectoire permettant la descente la plus rapide de A à B d'un point M soumis à la seule pesanteur (sorte de toboggan) :

Le point de rebroussement de l'arc est en A et, plus étonnant, le calcul montre que B n'est pas nécessairement au point "le plus bas" de la solution qui est un arc de cycloïde :

On parle de courbe brachistochrone (du grec brakhistos = le plus court et khronos = le temps).

La cycloïde est aussi tautochrone : sur l'arc de cycloïde, M et N arriveront en un même temps au plus bas de la trajectoire.

Cette forme s'avère donc optimale pour la construction, de nos jours, des rampes d'évacuation d'urgence (bâtiment, avion), de skateboard et de VTT acrobatiques !

Notons que ce problème fut aussi résolu par Leibniz, l'anglais Newton et le français Guillaume de l'Hospital en réponse à un défi de Jean Bernoulli qui cherchait à généraliser le sujet des courbes tautochrones . Le calcul des variations fut développé par Euler et tout particulièrement par Lagrange dans sa Mécanique analytique.

  Fontaine

Un demi-siècle auparavant, Galilée, dans l'étude des mobiles sur des plans inclinés, étudia les courbes brachistochrones  et pensa que la solution était un arc de cercle. D'une façon générale, la difficulté dans ce type de problème est de savoir minimiser (ou maximiser) non pas une fonction mais une intégrale dont on ne connaît pas de primitive. Mais dans ce problème, la solution des Bernoulli fut basée sur le principe de Fermat par analogie avec les lois de la réfraction.

Formule d'Euler-Lagrange et résolution du problème brachistochrone :

Le problème des isopérimètres (1698) :    

De toutes les courbes fermées de périmètre donné, quelle est celle renfermant l'aire maximale ?

La solution est un cercle. Ce problème est à rapprocher de la solution du problème de la reine Didon, fondatrice, selon la légende, de la ville de Carthage.

Problème de Didon & sa résolution :

Équation différentielle de Bernoulli :

Il s'agit des équations différentielles du 1er ordre de la forme :

y' = A(x)y + B(x)yn+1               (e)

Si la solution cherchée ne s'annule pas sur l'intervalle d'étude, en posant yn = 1/z. on a z' = -ny'/yn+1 et l'équation se ramène alors à une équation linéaire du 1er ordre de la forme :

z' + nP(x).z + B(x) = 0

Une méthode efficace peut également être de poser y = uz, u et z fonctions de x et de forcer une valeur de u(x) afin de simplifier l'équation : on pourra voir l'usage de cette méthode dans la résolution de l'équation donnée en exemple ci-dessous ainsi qu'à la page Riccati.

Résolution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre :                Équation de Riccati :


Résoudre l'équation différentielle du 1er ordre y' + y/x = y2lnx, x > 0.
En posant y = uz, on obtient y' = u'z + uz'. En annulant le terme en z dans l'équation, calculer u(x).
Rép. u(x) = 1/x.
On se ramène alors à z'/z2 = ln(x)/x que l'on sait intégrer.
Rép. finale : y = -1/[(lnx)2 + C].

Lemniscate de Bernoulli :

Jakob Bernoulli fut amené à définir (dans les Acta Eruditorum, 1694), comme le fit indépendamment Newton, la notion de coordonnées polaires avec l'introduction de sa lemniscate (du grec lemniskos = ruban) où il parle de pôle et d'axe polaire :

En savoir plus sur cette courbe :

O désignant l'origine des coordonnées, elle est l'image dans l'inversion de pôle O, de l'hyperbole équilatère x2 - y2 = 2a2. On retrouve également cette courbe en tant que podaire de cette même hyperbole par rapport à l'origine :

La lemniscate en tant que podaire de l'hyperbole :

Spirale de Bernoulli ou spirale logarithmique :

Cette belle spirale a pour équation polaire r = at (a > 0, a1). Ci-dessous a = 1,1 :

         Étude :

 Spirale d'Archimède :           Spirale de Cotes :            Cochléoïde :

Calcul des probabilités (Ars conjectandi, 1713) :

Bernoulli définit la variable aléatoire (comme son nom l'indique : elle dépend du hasard, du latin alea = jeu de dés, et aussi chance) qui porte son nom : l'épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire conduisant à deux éventualités : l'une appelée succès de probabilité p, à laquelle nous associons la valeur 1; l'autre appelée échec de probabilité q = 1 - p, à laquelle nous associons la valeur 0.

Rappelons au passage que le hasard vient de l'arabe ez zahr signifiant étymologiquement le dé (à jouer) et, également, en arabe moderne, la chance.

On peut alors définir une variable aléatoire X à valeurs dans {0,1}, dite de Bernoulli.

Si X est une variable de Bernoulli, sa loi de probabilité se réduit à Prob{X = 1) = p et Prob{X = 0} = q. Répétons n fois une épreuve de Bernoulli; les épreuves successives étant indépendantes. Notons Xi la variable aléatoire associée à la i-ème expérience.

Les lois des Xi sont identiques. En posant B = X1 + X2 + ... + Xn, Bernoulli invente (découvre ?) la loi binomiale, souvent notée B(n,p), et vu l'indépendance des éventualités :

Prob{B = k} = Cnk x pkqn-k

En savoir plus sur cette loi :      Loi faible des grands nombres de Bernoulli :


                    

De Moivre :       Poisson :    Gauss :
Nombres de Bernoulli & polynômes de Bernoulli :

C'est encore dans l'Ars Conjectandi (cf. supra), dans une étude combinatoire semblable à la formule du binôme de Newton que Jakob Bernoulli fait intervenir des coefficients, appelés aujourd'hui nombres de Bernoulli (notation et appellation dues à de Morgan, suivi par Binet et Ohm).

Ces nombres sont liés aux polynômes de Bernoulli, aussi attribués à Daniel Bernoulli, notés Bn(x), que l'on peut définir par récurrence :

Les nombres de Bernoulli sont alors les nombres Bn = Bn(0).

En savoir plus sur ces nombres :


Rolle    Varignon
© Serge Mehl - www.chronomath.com