ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
BERNOULLI Jakob (Jacques), suisse, 1654-1705
loi binomiale |
Les Bernoulli
sont issus d'une famille protestante de commerçants d'Anvers qui se réfugia à
Francfort (Allemagne) en 1583 afin d'échapper aux persécutions catholiques de
l'époque. Menée par Nicolas dit l'ancien (1623-1708), les Bernoulli
émigrent ensuite à Bâle, en Suisse
et constitueront
une véritable dynastie de mathématiciens
dont le premier fut Jakob,
souvent traduit James
par les anglophones, Jacques par les francophones et surnommé Jacques 1er par ces derniers.
Son frère Johann (Jean), mathématicien et physicien sera Johann 1er et les fils de ce dernier Daniel 1er, Johann II, Nicolas III...
Pour en savoir
plus sur la dynastie scientifique des Bernoulli : Généalogie des Bernoulli et leurs travaux, une page très
intéressante de P. Radelet de Grave :
http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/docu/LesBernoulli.pdf
Les travaux de Jakob, qui enseigna à Bâle tout au long de sa vie, porteront principalement sur l'analyse fonctionnelle, le calcul différentiel, le calcul intégral : le terme est de lui, en 1690, mais revendiqué aussi par Johann, et sera retenu au détriment du calcul sommatoire de Leibniz, lequel peut être considéré cependant comme le fondateur dudit calcul.
Le
qualificatif
intégral
provient du latin médiéval integralis,
dérivant du latin integer = entier, (comme en
anglais) pour signifier entièrement, totalement
: intégralement : D'une somme d'infiniment petits, on obtient
le tout.
Jakob Bernoulli mit en place :
les fonctions exponentielles, introduites par Jean et Leibniz (1695) et que l'on peut ainsi définir : fonctions f numériques, non constantes, différentiables (dérivables) et vérifiant, pour tout couple (x,y) de réels, la relation :
f(x + y) = f(x).f(y)
dont la plus célèbre est celle dont la fonction dérivée coïncide avec elle même : f(x) = ex où e est le non moins célèbre nombre de Neper.
Euler et l'exponentielle :
Indépendamment de Leibniz, les premières méthodes de résolutions d'équations différentielles et le calcul des probabilités (Ars conjectandi, 1713, édité par son neveu Nicolas).
Équations différentielles dans
ChronoMath : 
Kolmogorov
Il sera aussi, avec son frère Johann (Jean), un des grands artisans du développement en série des fonctions entamé par Mercator, Gregory et Leibniz.
Précurseur de l'analyse fonctionnelle, il sera le premier, avec Leibniz, à parler de fonction et à utiliser la notation fx qu'utilisera Euler, proche du f(x) d'aujourd'hui qui est dû à Lagrange.
|
L'aube du calcul des variations :
notions de calcul des variations |
Avec
Jean (Johann), Jacques Bernoulli énonce et résout les célèbres problèmes mécaniques (relevant du mouvement, du grec mêkhanê qui a donné, en français, machine) posés à l'époque comme des défis, et demandant des outils sophistiqués : calcul différentiel et intégral, équations différentielles avec contrainte d'optimisation comme la recherche d'extrema sur une courbe ou surface, conduisant à des géodésiques, en terme de chemin le plus court (du grec gê = la Terre et daiein = diviser). On parle de calcul des variations (calculus variationum).| La chaînette (1691) : |
Aussi appelée courbe funiculaire.
(du latin funis = corde). Considérons un câble homogène (ou une
chaîne, un collier) flexible, retenu en ses extrémités. Dans sa position
d'équilibre, le câble (ou le collier comme ci-contre) pend dans un plan vertical
et semble prendre une forme parabolique. Il s'agit en fait d'une courbe proche
du cosinus
hyperbolique. Elle fut étudiée avec la
"collaboration" de
Leibniz
et Huygens
, mis au défi par Jakob de trouver son équation, à savoir : y
= a.ch (x/a) où a est un réel positif et
ch la fonction cosinus
hyperbolique, aussi notée cosh :
Le terme
chaînette
(en anglais catenary, du latin catena =
chaîne) est de Huygens
qui étudia concrètement cette courbe dans son aspect
mécanique. La courbure d'une voile soumise au vent fut aussi étudiée
par Bernoulli et correspond également à une chaînette.
Étude de la chaînette :
| Le brachistochrone et l'arc de cycloïde (1696) : |
Étant donné deux points A et B de hauteurs
différentes, non situés sur une même
verticale, quelle est est la trajectoire permettant la descente la plus
rapide de A à B d'un point M soumis à la seule pesanteur (sorte de toboggan).
Le point de rebroussement de l'arc est en A et, plus étonnant, le calcul montre que B n'est pas nécessairement au point "le plus bas" de la solution qui est un arc de cycloïde :
On parle de courbe brachistochrone (du grec brakhistos = le plus court et khronos = le temps) .
La cycloïde est aussi tautochrone : sur l'arc de cycloïde, M et N arriveront en un même temps au plus bas de la trajectoire. Cette forme s'avère donc optimale pour la construction, de nos jours, des rampes d'évacuation d'urgence (bâtiment, avion), de skateboard et de VTT acrobatiques !
Notons que ce problème fut aussi résolu par Leibniz, Newton et L'Hospital en réponse à un défi de Jean (avec lequel Jakob se brouilla à propos de ce problème qu'il chercha à généraliser dans le cadre de la théorie naissante du calcul des variations (recherche d'extrema sur une courbe ou surface, géodésique : en terme de chemin le plus court) que Euler, et tout particulièrement Lagrange grâce à sa Mécanique analytique, affineront.
Un demi-siècle auparavant, Galilée, dans l'étude des mobiles sur des plans inclinés, étudia les courbes brachistochrones et pensa que la solution était un arc de cercle. D'une façon générale, la difficulté dans ce type de problème est de savoir minimiser (ou maximiser) non pas une fonction mais une intégrale dont on ne connaît pas de primitive. Mais dans ce problème, la solution des Bernoulli fut basée sur le principe de Fermat par analogie avec les lois de la réfraction.
| Le problème des isopérimètres (1698) : |
De toutes les courbes fermées de périmètre
donné, quelle est celle renfermant l'aire maximale ? La solution est
un cercle. Ce problème est à rapprocher de
la solution du problème
de la reine Didon, fondatrice, selon la légende,
de la ville de Carthage.
Problème de Didon & sa résolution :
Pour
en savoir plus :
| Équation différentielle de Bernoulli : |
Il s'agit des équations différentielles du 1er ordre de la forme :
Si la solution cherchée ne s'annule pas sur l'intervalle d'étude, en posant yn = 1/z. on a z' = -ny'/yn+1 et l'équation se ramène alors à une équation linéaire du 1er ordre de la forme :
z' + nP(x).z + B(x) = 0
Une méthode efficace peut également être de poser y = uz, u et z fonctions de x et de forcer une valeur de u(x) afin de simplifier l'équation : on pourra voir l'usage de cette méthode dans la résolution de l'équation donnée en exemple ci-dessous ainsi qu'à la page Riccati.
Résolution générale de l'équation
différentielle linéaire du 1er ordre :
Équation de Riccati :
Résoudre l'équation différentielle du 1er ordre y' + y/x =
y2lnx, x > 0.
En posant y = uz, on obtient y' = u'z + uz'. En annulant le terme en z dans
l'équation, calculer u(x). Rép.
u(x) = 1/x.
On se ramène alors à z'/z2 = ln(x)/x que l'on sait intégrer.
Rép. finale : y = -1/[(lnx)2
+ C].
| Lemniscate de Bernoulli : |
Jakob Bernoulli fut amené à définir (dans les Acta Eruditorum, 1694), comme le fit indépendamment Newton, la notion de coordonnées polaires avec l'introduction de sa lemniscate (du grec lemniskos = ruban) où il parle de pôle et d'axe polaire :
En savoir plus sur cette courbe :
O désignant l'origine des coordonnées, elle est l'image dans l'inversion de pôle O, de l'hyperbole équilatère x2 - y2 = 2a2. On retrouve également cette courbe en tant que podaire de cette même hyperbole par rapport à l'origine :
La lemniscate en tant que podaire de
l'hyperbole :
| Spirale de Bernoulli ou spirale logarithmique : |
Cette belle spirale a pour équation polaire r = at (a > 0, a
1).
Ci-dessous a = 1,1
:
Étude
:
Spirale d'Archimède :
Spirale
hyperbolique :
Cochléoïde :
| Calcul des probabilités (Ars conjectandi, 1713) : |
Bernoulli définit
la variable aléatoire
(comme
son nom l'indique : elle dépend du hasard, du latin alea = jeu de dés,
et aussi chance) qui porte son
nom : l'épreuve
de Bernoulli est une expérience aléatoire conduisant
à deux éventualités : l'une appelée
succès de probabilité p, à laquelle nous
associons la valeur 1; l'autre appelée échec de
probabilité q = 1 - p, à laquelle nous associons la
valeur 0.
Rappelons au
passage que le hasard vient de l'arabe ez zahr signifiant
étymologiquement le dé (à jouer) et, également, en arabe moderne, la chance.
On peut alors définir une variable aléatoire X à valeurs dans {0,1}, dite de Bernoulli.
Cas plus général dans un espace
probabilisé, fonction de répartition :
Si X est une variable de Bernoulli, sa loi de probabilité se réduit à Prob{X = 1) = p et Prob{X = 0} = q. Répétons n fois une épreuve de Bernoulli; les épreuves successives étant indépendantes. Notons Xi la variable aléatoire associée à la i-ème expérience.
Les lois des Xi sont identiques. En posant B = X1 + X2 + ... + Xn, Bernoulli invente (découvre ?) la loi binomiale, souvent notée B(n,p), et vu l'indépendance des éventualités :
En savoir plus sur cette loi :
Loi faible des grands nombres
de Bernoulli :
Poisson :
Gauss :| Nombres de Bernoulli & polynômes de Bernoulli : |
C'est encore dans l'Ars Conjectandi (cf. supra), dans une étude combinatoire semblable à la formule du binôme de Newton que Jakob Bernoulli fait intervenir des coefficients, appelés aujourd'hui nombres de Bernoulli (notation et appellation dues à de Morgan, suivi par Binet et Ohm).
Ces nombres sont liés aux polynômes de Bernoulli, aussi attribués à Daniel Bernoulli, notés Bn(x), que l'on peut définir par récurrence :
Les nombres de Bernoulli sont alors les nombres bn = Bn(0). On les écrit assez souvent Bn lorsque le contexte n'offre pas d'ambiguïté avec les Bn(x).
En savoir plus
sur ces nombres :
Varignon
