ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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PONCELET Jean Victor, français, 1788-1867

Officier du génie et ingénieur issu de l'École d'application militaire de Metz et l'École polytechnique, élève de Monge, il fut fait prisonnier lors de la campagne de Russie (il était alors lieutenant de la Grande Armée de Napoléon Ier).

C'est pendant sa détention en Russie (1812-1814) qu'il s'adonna à ses recherches en développant tout particulièrement la géométrie projective basée sur la projection centrale (perspective) amorcée par Desargues un siècle auparavant et que Monge cherchait à réhabiliter.

L'étude rigoureuse de la perspective se retrouve chez le célèbre architecte français Emmanuel Viollet-le-Duc, contemporain de Poncelet.

A son retour en France, il se fit brillamment connaître en publiant ses travaux géométriques novateurs dans le journal de Gergonne (Annales de mathématiques pures et appliquées).

En tant qu'officier du génie et professeur de mécanique rationnelle à Metz, Poncelet présenta plusieurs projets d'appareillage militaire, ce qui lui vaudra son élection à l'Académie des sciences (1834) et la création, à son intention, du cours de Mécanique appliquée à la Sorbonne dont les leçons, Cours de mécanique, seront publiées après sa mort. Nommé colonel, puis général (1848), il dirigea l'École polytechnique.

La géométrie projective :

Après la publication, dans les Annales de Gergonne, de nombreux articles de géométrie qui firent sa notoriété  (approche projective des coniques, transformations par polaires réciproques), Poncelet publie (1822) son premier Traité des propriétés projectives des figures où il développe les idées nouvelles d'homologie. En 1832, Quelques principes généraux de la transformation des relations métriques des figures complète ce premier traité.

En géométrie projective, on adjoint au plan affine euclidien une droite, dite droite de l'infini , constituée de points à l'infini s'interprétant comme l'ensemble des directions de droites du plan affine; on obtient ainsi le plan projectif, complété du plan affine où deux droites sont alors toujours sécantes.

Principe de continuité : initié par Monge, il permet de gérer certains cas limites de la théorie : ce principe exprime que la déformation continue d'une configuration n'altère pas ses propriétés descriptives (voire métriques, en terme de birapport) quitte à interpréter correctement les modifications survenues (comme une sécante devenant tangente, deux droites sécantes devenant parallèles : point d'intersection rejeté à l'infini).

Ce principe, contesté par Cauchy, plus proche de la philosophie de Leibniz (la Nature ne procède pas par sauts) que des mathématiques peut apparaître peu rigoureux et son usage assez risqué... Poncelet s'en servit plus pour conjecturer que pour démontrer et c'est heureux.

Lorsque, par principe de continuité, un point existant est rejeté à l'infini, il pourra coïncider avec un point imaginaire (de coordonnées complexes) qui, dans la géométrie affine correspondrait à des solutions imaginaires dans la recherche analytique d'intersections. On tente de poursuivre le raisonnement afin de découvrir des propriétés de la figure.

En géométrie projective réelle ou complexe, deux droites sont toujours sécantes, le point d'intersection étant rejeté à l'infini dans le cas de deux droites parallèles au sens euclidien. Poncelet fut ainsi le premier à travailler dans ce que l'on appelle aujourd'hui le plan et l'espace projectifs complexes P2(C) et P3(C).

En faisant usage des nombres complexes (introduction de l'espace projectif complexe), Poncelet applique en géométrie ce que Bombelli pratiqua en algèbre afin de résoudre l'équation du 3ème degré, lorsqu'à titre transitoire il utilisa des racines carrées de nombres négatifs, nombres donc imaginaires, pour finalement retrouver des solutions réelles.

En savoir plus sur la géométrie projective, le plan projectif complexe :  »
Des théorèmes de Poncelet relatifs aux coniques à centre :

Théorème 1 :   

Pour une ellipse ou une hyperbole, le produit des distances F'H' × FH des foyers à une tangente
est constant et égal au carré du demi petit axe.

La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :


Si votre navigateur accepte les applets Java  (» extension CheerpJ) :
Pour déplacer M, déplacez le point  •  du cercle

Théorème 2 :   

Si M est un point d'une ellipse (e) de foyers F et F', alors les bissectrices de l'angle ^F'MF
sont les tangente et normale à (e) en ce point.

Théorème 3 :   

Si d'un point P extérieur à une ellipse (e) de foyers F et F', on mène les tangentes touchant (e) en M et M', alors :

i/  (PF) et (PF') sont respectivement les bissectrices des angles ^MFM' et ^MF'M'.
ii/  Les angles ^FPF' et ^MPM' ont même bissectrice : (PF) et (PF') sont isogonales par rapport à (PM) et (PM').

 ➔  Ces théorèmes sont également valables pour l'hyperbole.

Tangente et cercle directeur (ellipse, hyperbole) :  »

Formule de Poncelet :

Elle précise un encadrement de l'intégrale d'une fonction numérique continue et convexe sur un intervalle [a,b] :

Méthode d'intégration approchée de Poncelet :  »

Le prix Poncelet de l'Académie des sciences :

Après le décès de son mari, sa veuve demanda la mise en place d'un prix encourageant la recherche en mathématiques appliquées. L'Académie des sciences accéda à ce vœu en 1868. Le prix est annuel. On compte parmi les récipiendaires un grand nombre de mathématiciens français mais aussi étrangers comme le physicien William Thomson (1873), Georges umbert, David Hilbert (1903), Erik Fredholm (1907).

 ➔  Pour en savoir plus :

Fresnel  Cauchy
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