ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Équations différentielles ordinaires (EDO), généralités
    
» Dérivées partielles & équations aux dérivées partielles (EDP)

Le concept de différentielle permit à Leibniz de résoudre des équations fonctionnelles (l'inconnue est une fonction) où apparaissent tant la variable x (réelle ou complexe) que la fonction recherchée y = f(x) et/ou au moins une de ses dérivées y' = f'(x), y" = f''(x), fonction dérivée de f', etc. : on parle d'équations différentielles. On précise du 1er ordre si y' seule intervient, du second ordre si y" intervient, etc.

   Lorsque l'ensemble de définition de la fonction f n'est pas précisé, la recherche se fait sur le plus grand sous-ensemble J de R (ou C)  eu égard à l'équation donnée et, quitte à étudier d'éventuels cas particuliers compliquant l'équation, les dérivées intervenant sont supposées continues : fonction de classe Cn (n fois continument dérivable) pour une EDO d'ordre n.

Résumons :    

Une équation différentielle est une équation d'inconnue y = f(x) pouvant s'exprimer sous la forme Φ(x, y, y', y", ...) = 0 et sera dite du 1er ordre si elle se résume à Φ(x, y, y') = 0, du second ordre si elle se résume à Φ(x, y, y', y") = 0, etc.

  Équation différentielle à variables séparables :    

Il s'agit du cas le plus élémentaire pouvant se ramener à la forme A(x) = y'B(y) par séparation des variables : au moyen des différentielles, y' peut s'écrire dy/dx et une telle équation prend la forme :

A(x)dx = B(y)dy

Ce qui justifie pleinement le nom d'équation différentielle. En intégrant les deux membres :

 

On obtient une expression de la forme F(x,y) = 0 caractérisant la relation entre x et y, équation d'une courbe plane prenant ici le nom de courbe intégrale : la variation de la constante C conduit à une famille de courbes solutions de l'équation.


Quelques courbes intégrales de l'équation xyy'=1 vues par Graphmatica


Exemple 2 : Résoudre les équations différentielles (e1) : y' = -x/y, y ≠ 0 et (e2) : xy" = 2y'. Rép. : x2 + y2 = C > 0 et y = c1x3 + c2.

  Équation différentielle linéaire :    

Une équation comme A(x)y' + B(x)y = 0 est un cas particulier élémentaire d'équation linéaire. Cette appellation se justifie par le fait que si y1 et y2 sont deux solutions, il en est de même de toute combinaison linéaire de ces solutions.

    Un cas fondamental se résume à y' =  ky où k est une constante non nulle. L'équation se résout très simplement en remarquant que g(x) = ekx est une solution évidente de l'équation. Cherchons les autres solutions éventuelles sous la forme y = Yg : loisible, car g(x) étant non nulle pour tout x, Y est définie pour tout x par y/g. L'équation devient alors Y'g(x) + Yg'(x) = kYg(x) avec g'(x) = kg(x), ce qui revient à Y'g(x) = 0 et comme g(x) est non nulle pour tout x, Y' = 0. donc Y est une constante C. C'est dire que la solution générale de notre équation est y = Cekx.

Plus généralement :    

Équ. diff. linéaires du 1er ordre : »                Équ. diff. linéaires du second ordre :  »

Lorsque le second membre s(x) est nul, on parle d'équation homogène mais le qualificatif est ambigu car il se confond alors avec la notion d'équation différentielle homogène où le changement de (x,y) en (kx,ky) laisse l'équation invariante.


Deux exemples de résolution d'équation différentielle homogène et courbes intégrales

Eu égard à ses applications dans le monde de la physique et des sciences en général (en particulier la modélisation, de nos jours), l'étude des équations différentielles et de leurs solutions soumises à des contraintes (conditions particulières vérifiées par les solutions cherchées, "problème de Cauchy") est une branche maîtresse des mathématiques modernes.

» Équations différentielles de : Bernoulli , Clairaut , Gauss , Bessel , Lagrange , Riccati , Riemann


Soit l'équation différentielle du premier ordre z' + x2z2 + zx + 1. En posant z = u/x2, puis u = y'/y, monter que cette équation
(dite de Riccati), se ramène à une équation différentielle linéaire du second ordre.
 

La complexité du calcul de la solution générale d'une équation différentielle a incité les mathématiciens et les astronomes (comme Newton) à rechercher des méthodes de résolution approchée. Elles consistent à discrétiser les courbes intégrales, représentative des solutions, en recherchant un nombre fini de ses points sur un intervalle donné en la "linéarisant" : on la remplace par des segments de tangentes, donc par un contour polygonal le plus fin possible.

Euler formalisera ces méthodes dans son Institutiones Calculi Integralis (1768). Runge et Kutta les amélioreront au début du 20è siècle avec l'aide de l'ordinateur.

Méthode d'Euler (différences finies) pour la résolution de l'équation y' = φ(x,y) :  »

 
Exemples concrets d'équation différentielle
, Équation différentielle à variables séparables
Transformation d'une équo. diff. non linéaire , Système d'équations différentielles 

Note sur les équations aux dérivées partielles :     

Les équations différentielles dont il est fait allusion ci-dessus sont souvent qualifiées d'ordinaires (EDO) ce qui ne signifie nullement qu'elles soient simples à résoudre... La fonction f recherchée peut être une fonction de plusieurs variables.

Les choses se compliquent alors car il s'agit de savoir par rapport à quelle(s) variable(s) le phénomène étudié est soumis et par rapport à quelle(s) variable(s) on dérive ! Si f est une fonction numérique de plusieurs variables, la fonction dérivée partielle de f par rapport à l'une d'elles s'obtient en dérivant l'expression de f par rapport à cette dernière et en considérant les autres comme des constantes.

On parle d'équations aux dérivées partielles (EDP) en omettant généralement l'épithète différentielles dont la résolution est généralement très complexe. Ce type d'équations est apparu en physique dans les années 1730, en particulier sous la main de Daniel Bernoulli, Fontaine, Clairaut et Euler parallèlement au calcul des variations.

En savoir plus les équ. différentielles (EDO) : »            Dérivées partielles et équ. aux dérivées partielles (EDP) : »


    Pour en savoir plus :

  1. Tout cours de 1ère année prépa scientifique ou licence de maths/physique.
  2. Mathématiques générales, algèbre-analyse, par Charles Pisot & Marc Zamansky
  3. Cours de mathématiques, Tome 2, par Jean Bass, Éd. Masson et Cie - Paris, 1964.
  4. Équations différentielles ordinaires et partielles, par Laurent Pujo-Menjouet, univ.Lyon1 : math.univ-lyon1.fr/~pujo/coursEDO.pdf
  5. Des MathÉmatiques pour les Sciences, Concepts, méthodes et techniques pour la modélisation, par Claude Aslangul.
    Chap. 12. Éditions De Boeck - Bruxelles, 2011.
  6. Un programme remarquable à télécharger pour tracer des courbes intégrales du 1er ordre parmi les logiciels de Denis Monasse :
    cliquer dans la rubrique Logiciels  » EquaDiff2.


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