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Équations différentielles, généralités

Le concept de différentielle permet à Leibniz de résoudre des équations fonctionnelles (l'inconnue est une fonction) où apparaissent tant la variable x que la fonction y = f(x) et/ou au moins une de ses dérivées y' = (x), y" = '(x), fonction dérivée de , etc. : on parle d'équations différentielles. On précise du 1er ordre si y' seule intervient, du second ordre si y" intervient, etc.

Le cas le plus élémentaire est de la forme A(x) = y'B(y) par séparation des variables : au moyen des différentielles, y' peut s'écrire dy/dx et une telle équation prend la forme :

A(x)dx = B(y)dy

En intégrant les deux membres :

On obtient une expression de la forme F(x,y) = 0 caractérisant la relation entre x et y, équation d'une courbe plane prenant ici le nom de courbe intégrale.

Une équation comme A(x)y' + B(x)y = 0 est un cas particulier élémentaire d'équation linéaire. Cette appellation se justifie par le fait que si y1 et y2 sont deux solutions, il en est de même de toute combinaison linéaire de ces solutions.

Applications linéaires, formes linéaires :

Un cas fondamental :      

Le cas y' =  ky où k est une constante non nulle se résout très simplement en remarquant que g(x) = ekx est une solution évidente de l'équation. Cherchons les autres solutions éventuelles sous la forme y = Yg : loisible, car g(x) étant non nulle pour tout x, Y est définie pour tout x par y/g. L'équation devient alors :

Y'g(x) + Yg'(x) = kYg(x) avec g'(x) = kg(x), ce qui revient à Y'g(x) = 0

et comme g(x) est non nulle pour tout x, Y' = 0. donc Y est une constante C. C'est dire que la solution générale de notre équation est y = Cekx.

Plus généralement, a(x).y' + b(x).y = c(x) est linéaire du 1er ordre, a(x).y" + b(x).y' + c(x).y = d(x) est linéaire du second ordre. Lorsque le second membre est nul, on parle d'équation homogène mais le qualificatif est ambigu car il se confond alors avec la notion d'équation différentielle homogène où le changement de (x,y) en (kx,ky) laisse l'équation invariante.


1. Deux exemples de résolution d'équation différentielle homogène
2. Méthode de la variation de la constante :
Équations différentielles linéaire du 1er ordre , Équation différentielle linéaire du second ordre

Eu égard à ses applications dans le monde de la physique et des sciences en général (en particulier la modélisation, de nos jours), l'étude des équations différentielles et de leurs solutions soumises à des contraintes (conditions particulières vérifiées par les solutions cherchées, "problème de Cauchy") est une branche maîtresse des mathématiques modernes.

D'une façon générale, on appelle équation différentielle une équation d'inconnue y = f(x) où intervient une, au moins, fonction dérivée de f (dérivée première : , dérivée seconde : , ...). Usuellement, on note y' = (x), y" = (x), etc. Une équation différentielle est alors exprimée par la forme :

Φ(x, y, y', y", ...) = 0

L'équation différentielle est dite du 1er ordre si elle se résume à la forme Φ(x, y, y') = 0, du second ordre si elle se résume à la forme Φ(x, y, y', y") = 0, etc.

La complexité du calcul de la solution générale d'une équation différentielle a incité les mathématiciens et les astronomes (comme Newton) à rechercher des méthodes de résolution approchée. Elles consistent à discrétiser les courbes intégrales, représentative des solutions, en recherchant un nombre fini de ses points sur un intervalle donné en la "linéarisant" : on la remplace par des segments de tangentes, donc par un contour polygonal le plus fin possible.

Euler formalisera ces méthodes dans son Institutiones Calculi Integralis (1768). Runge et Kutta les amélioreront au début du 20è siècle avec l'aide de l'ordinateur.

Méthode d'Euler (différences finies) pour la résolution de l'équation y' = φ(x,y) :

 
Exemples concrets d'équation différentielle
, Équation différentielle à variables séparables
Système d'équations différentielles

Un programme remarquable à télécharger pour tracer des courbes intégrales du 1er ordre parmi les logiciels de
Denis Monasse : cliquer dans la rubrique Logiciels    EquaDiff2 

Note sur les équations (différentielles) aux dérivées partielles :     

Les équations différentielles dont il est fait allusion ci-dessus (d'une seule variable) sont parfois qualifiées d'ordinaires, ce qui ne signifie nullement qu'elles soient simples à résoudre... La fonction f recherchée peut être une fonction de plusieurs variables.

Les choses se compliquent car il s'agit de savoir par rapport à quelle(s) variable(s) le phénomène étudié est soumis et par rapport à quelle(s) variable(s) on dérive ! On parle d'équations aux dérivées partielles (on omet généralement l'épithète différentielles) dont la résolution est généralement très complexe.

Ce type d'équations est apparu en physique dans les années 1730, en particulier sous la main de Daniel Bernoulli, Fontaine, Clairaut et Euler parallèlement au calcul des variations.

Les notions de dérivée partielle et d'équation aux dérivées partielles (EDP) :


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