ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Équations différentielles ordinaires (EDO), généralités      » Systèmes différentiels | Cas linéaires | Dérivées partielles & équations aux dérivées partielles (EDP)

Les équations différentielles prennent leur source dans le monde des sciences physiques, dont l'astronomie; leur "dénominateur commun", si l'on peut dire, est le mouvement : la cinématique, étude du mouvement, du grec kinêma = mouvement (de cette même racine provient le cinématographe, abrégé en cinéma) et la mécanique, du grec mêkhanikê = machine, étude des lois régissant le mouvement. La vitesse s'interprète comme une fonction dérivée première, l'accélération comme une fonction dérivée seconde.

à la source des fonctions dérivées est le concept de différentielle apparu au 17è siècle par Leibniz en Allemagne et Barrow en Angleterre, afin de résoudre des équations fonctionnelles où l'inconnue est une fonction  x → y = f(x) de la variable x dans lesquelles apparaissent au moins une de ses dérivées y' = f'(x), y" = f''(x) : on parle d'équations différentielles. On précise du premier ordre si y' sans présence de dérivées d'ordre supérieur, du second ordre si y" intervient sans présence de dérivées d'ordre supérieur, etc.

• y² - xy' +1 = 0 exprime une équation différentielle du 1er ordre; y^'y''- 2y'²  = 0 est une équation différentielle d'ordre 2.

Lorsque l'ensemble de définition de la fonction f recherchée n'est pas précisé, l'étude se fait sur le plus grand sous-ensemble J de R (ou C) eu égard à l'équation donnée et, quitte à étudier d'éventuels cas particuliers compliquant l'équation, les dérivées intervenant sont supposées continues : fonction de classe Cⁿ (n fois continument dérivable) pour une EDO d'ordre n.

Les fonctions cherchées peuvent soumises à des conditions imposant leurs valeurs ou leurs limites en un point de J. Si J est de la forme [a,b] ou [a,b[, b fini ou non, f(a) ou des nombres dérivés en a peuvent être donnés; on parle alors de conditions initiales, ce qui est souvent le cas pour des équations décrivant un phénomène physique; si J est un ouvert, il peut s'agir de conditions aux limites, généralement plus difficile à résoudre.

Définitions :    

• Une équation différentielle sur un intervalle J de R est une équation d'inconnue f : x → y = f(x) pouvant s'exprimer sous la forme d'une relation fonctionnelle Φ(x, y, y', y", ...) = 0 pour tout x de J entre la variable x et un nombre fini des fonctions dérivées y', y", ... de f. L'équation différentielle est dite du 1er ordre si elle se résume à Φ(x, y, y') = 0, du second ordre si elle se résume à Φ(x, y, y', y") = 0, etc.

• Les solutions d'une EDO sur un intervalle J ne sont généralement pas uniques. Soit φ l'une d'entre elles (coïncidant avec f sur J). La représentation graphique de φ dans un repère du plan est qualifiée de courbe intégrale.

• Une équation différentielle d'ordre n, Φ(x, y, y', y", ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 sur J, sera dite explicite s'il est possible de l'exprimer sous la forme y⁽ⁿ⁾) = Ψ(x, y, y', y", ..., y^(n-1)) pour tout x de J.

 !  Dans la littérature mathématique, au lieu de explicite, on rencontre l'épithète résolue; un usage fâcheux car entaché d'ambiguïté, utilisé par Bourbaki ! Écrire y' = (y² + 1)/x au lieu de y² - xy' +1 = 0 n'a en rien résolu l'équation différentielle. En fait, par résolu, il faut entendre qu'on a su (résoudre le problème d'-) exprimer y en fonction des autres intervenants que sont x et y = f(x).

• Φ(x, y, y'), définie sur R par y² - xy' +1 = 0 exprime une équation différentielle du 1er ordre; ni x, ni y' ne peuvent prendre la valeur 0. Sous ces conditions, on peut écrire cette EDO sous la forme explicite y' = (y² + 1)/x sur tout intervalle J de R ne contenant pas 0.

• Φ(x, y, y") définie sur R par y^'y''- 2y'²  = 0 avec les conditions initiales y(0) = y'(0) = 1 exprime une équation différentielle du 2nd ordre; elle équivaut à y' = 0 ou y'' = 2y'. Le cas y' = 0 fournit y = k et la condition y(0) = 1 montre que k = 1. Le cas y'' = 2 y' peut se résoudre en posant Y = y'. On a alors successivement Y'/Y = 2; ln|Y| = 2x + c1, d'où Y = y ' = e^2x car Y(0) = 1. Finalement y = ½×e^2x + c2 =  ½×(e^2x + 1) car y(0) = 1.

 !  Il est recommandé de vérifier les solutions trouvées car on ne procède pas toujours par équivalences logiques entre chaque étape des calculs.

 ➔  En dehors des cas historiques (équation de Clairaut, équation de Lagrange, ...) et pratiques (équations à variables séparables, équation différentielles linéaires, ...), la littérature mathématique ne traite pratiquement que des équations différentielles (ou systèmes différentiels) explicites du 1er ordre. Pourquoi cela ? Réponse :

1. Toute équation différentielle explicite d'ordre n, n ≥ 2, se ramène à un système de n équations différentielles explicites d'ordre 1 (et inversement).  » système différentiel

2. Depuis 400 ans, mis à part des équations différentielles inventées inutilement pour le plaisir, par exemple xe^√y' + yy"ln(|y'|) = x³..., les équations différentielles utiles aux sciences, autres que les équations explicites et les équations aux dérivées partielles, ont été résolues par des mathématiciens et physiciens auxquels leur nom est associé.

Remarque :   

Dans les cas les plus difficiles, depuis Newton et l'avènement des séries de Taylor, une méthode de recherche d'une solution sous forme de développement en série entière peut s'avérer fructueuse, à condition de s'assurer que les dérivations terme à terme sont loisibles : ce problème de la convergence uniforme des suites et des séries de fonctions fut traité par Cauchy. Le célèbre problème des 3 corps relève de cette méthode.

• Exemple : y' = y avec y(0) = 0. On pose y = Σ_n=o,...∞ a_nxⁿ, y' = Σ_n=1,...∞ na_nx^n-1. On pose p = n-1; y' = Σ_p=o,...∞ (p+1)a_p+1x^p. Par identification des puissances de x, on obtient a_n = (n+1)a_n+1; par récurrence : a_o = 1 et a_n = 1/n!; d'où y = Σ_n=0,...∞ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2 + x³/6 + ... + xⁿ/n! + ... On reconnaît là le développement en série de la fonction exponentielle y = e^x.  » approche e^x #2

Il s'agit du cas le plus élémentaire pouvant se ramener à la forme A(x) = y'B(y) par séparation des variables : au moyen des différentielles, y' peut s'écrire dy/dx et une telle équation prend la forme :

A(x)dx = B(y)dy

Ce qui justifie pleinement le nom d'équation différentielle. En intégrant les deux membres, on obtient l'égalité des primitives de A et B à une constante additive près :

  + k

On obtient une expression de la forme F(x,y,k) = 0, équation des courbes intégrales caractérisant la relation entre x et y. En faisant varier la constante k on obtient une famille de courbes, représentative des solutions de l'équation.

• Ex1 : l'équation xyy' = 1 se résout simplement en l'écrivant sous la forme yy' = 1/x, car x est non nul. On a ainsi séparé les variables.
  Par suite xyy' = 1 ⇔ 2yy' = 2 × 1/x et il suit que y² = 2ln |x| + k =  ln x² + k, ln désignant le logarithme népérien et k, une constante quelconque.

Quelques courbes intégrales de l'équation xyy'=1 vues par Graphmatica

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Ex2 : Résoudre les équations différentielles (e1) : y' = -x/y, y ≠ 0 et (e2) : xy" = 2y'. Rép. : x² + y² = C > 0 et y = c₁x³ + c₂. ☼

Une équation comme A(x)y' + B(x)y = 0 est un cas particulier élémentaire d'équation linéaire du 1er ordre. Cette appellation se justifie par le fait que si y₁ et y₂ sont deux solutions, il en est de même de toute combinaison linéaire de ces solutions.

 ➔  Un cas fondamental se résume à y' =  ky où k est une constante non nulle. L'équation se résout très simplement en remarquant que g(x) = e^kx est une solution évidente de l'équation. Cherchons les autres solutions éventuelles sous la forme y = Yg : loisible, car g(x) étant non nulle pour tout x, Y est définie pour tout x par y/g. L'équation devient alors Y'g(x) + Yg'(x) = kYg(x) avec g'(x) = kg(x), ce qui revient à Y'g(x) = 0 et comme g(x) est non nulle pour tout x, Y' = 0. donc Y est une constante C. C'est dire que la solution générale de notre équation est y = Ce^kx.

Plus généralement :    

• l'équation a(x).y' + b(x).y = s(x) est linéaire du 1er ordre

• l'équation a(x).y" + b(x).y' + c(x).y = s(x) est linéaire du second ordre.

Étude des équations diff. linéaires du : 1er ordre : »  |  2nd ordre : »

Lorsque le second membre s(x) est nul, on parle d'équation homogène mais le qualificatif est ambigu car il se confond alors avec la notion d'équation différentielle homogène où le changement de (x,y) en (kx,ky) laisse l'équation invariante.

• y' - xy = 0 est une équation différentielle linéaire homogène du 1er ordre. Si y ne s'annule pas, on peut écrire y'/y = x, d'où ln|y| = x²/2 + C, |y| = e^{x²/2 + C} = ke^x²/2 en posant k = e^C > 0. D'où y = ± ke^x²/2, k > 0. y est une fonction de x. La continuité de y impose un choix entre les deux déterminations trouvées, l'une strictement positive, l'autre strictement négative. Une condition initiale, par exemple y(0) = 1 lève l'ambiguïté sur le signe de y : 1 = ± k, k >0; donc k = 1et la solution est y = e^x²/2.

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Deux exemples de résolution d'équation différentielle homogène et courbes intégrales

Eu égard à ses applications dans le monde de la physique et des sciences en général (en particulier la modélisation, de nos jours), l'étude des équations différentielles et de leurs solutions soumises à des contraintes (conditions particulières vérifiées par les solutions cherchées, "problème de Cauchy") est une branche maîtresse des mathématiques modernes.

» Équations différentielles de :
Bernoulli , Euler , Clairaut , Gauss , Bessel , Lagrange, Legendre , Riccati , Riemann , Mathieu

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Soit l'équation différentielle du premier ordre z' + x²z² + zx + 1. En posant z = u/x², puis u = y'/y, monter que cette équation
(dite de Riccati), se ramène à une équation différentielle linéaire du second ordre.

Résolution approchée des équations y' = φ(x,y) et y" = φ(x,y,y') : »

Dans les sciences, on rencontre de difficiles problèmes conduisant à la recherche des solutions de plusieurs équations différentielles simultanées : on parle de système d'équations différentielles ou, simplement, de systèmes différentiels.

• Les inconnues sont des fonctions y₁, y₂, ... d'une même variable, apparaissant, au moins pour l'une d'entre elles, au moyen de leurs dérivées première, seconde, ...

• La dimension du système est son nombre d'équations différentielles; son ordre est celui le plus élevé parmi les équations différentielles présentes.

 i  Dans le cas fonctions y_i de plusieurs variables, on serait en présence d'un système d'équations aux dérivées partielles. Sujet autrement plus complexe...

Proposition 1 :    

Quitte à augmenter le nombre d'inconnues et donc le nombre d'équations du système, on peut se ramener au cas où seules les dérivées premières interviennent dans le système.

• Considérons le système du second ordre, de dimension 2, ci-dessous supposé décrire la trajectoire d'un point M(x(t),y(t)) du plan :

(x',y') et (x",y") sont les couples de coordonnées (fonctions du temps t) du vecteur vitesse (resp. accélération). Les y_i sont ici x(t) et y(t). Posons u = x' et v = y'. Le système devient :

Par cet artifice, on est en présence d'un système différentiel (linéaire) du premier ordre, de dimension 4, que l'on a ramené à sa forme explicite par rapport à chaque fonction.

On vient de voir que :

Proposition 1bis :    

Tout système différentiel d'ordre n peut se ramener à un système du 1er ordre en remplaçant par des variables supplémentaires les dérivées d'ordre 1 à n-1 intervenant dans ce système.

 ➔  Comme pour les équations différentielles, les spécialistes se sont attachés à rechercher des algorithmes de résolution pour des systèmes du 1er ordre donnés sous forme explicite. Un système différentiel de dimension n prend ainsi la forme :

pouvant se résumer à :

y'_i = f_i(x, y₁, y₂, ..., y_n) , i = 1, 2, ..., n

Proposition 2 :    

Toute équation différentielle d'ordre n (n > 1) du type y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', y", ..., y^(n-1)) se ramène à un système différentiel du premier ordre de dimension n.

Preuve : Il suffit de poser y = y₁, puis : y' = y₂ , y" = y₃, ... , y^(n-1) = y_n. Ce qui nous ramène au système différentiel :

y'₁ = y' = y₂
y'₂ = y" = y₃
...
y'_n = [y^(n-1)]' = y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', y", ..., y^(n-1)) = f(x, y₁, y₂, ..., y_n)

• Considérons l'équation différentielle d'ordre 3 : y''' - y' + y = 0. Elle équivaut au système y'₁ = y₂ , y'₂ = y₃ , y'₃ = y₂ - y₁. On note que l'équation donnée est linéaire (et homogène). Dans un tel cas on utilise l'algèbre linéaire en introduisant la matrice du système permettant de résoudre le système par diagonalisation ou triangulation de la matrice :

Systèmes différentiels linéaires :   

Un système différentiel est dit linéaire lorsque chacune des expressions dérivées y'₁, y'₂, , ..., y'_n  sont des combinaisons linéaires des fonctions x, y, z, ... On peut alors donner une expression matricielle de ce système du type X' = AX + B où X' est le vecteur dérivé de X, A une matrice carrée des coefficients de x, y, z, ... et B une matrice colonne ne dépendant pas des inconnues (elle peut contenir des constantes ou des fonctions de la variable t).

• L'exemple proposé ci-dessus conduirait à l'écriture :

♦ Comme pour les équations différentielles linéaires, on parle de système linéaire homogène pour exprimer que B = 0 et on démontre que la solution d'un système X' = AX + B est donnée par la somme d'une solution particulière et de la solution générale du système homogène X' = AX.

♦ Concernant un système X' = AX + B d'ordre n, on démontre que si l'on connaît n solutions particulières continues sur un intervalle J, la solution générale sur J est combinaison linéaire de ces solutions, les coefficients étant des constantes (indépendantes de t).

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En application de ces quelques généralités, voyez cet exercice (système différentiel linéaire d'ordre 1, de dimension 2) montrant l'efficacité de l'algèbre linéaire et de la notion de valeur propre par diagonalisation de la matrice du système.
Deux systèmes différentiels du 1er ordre, de dimension 3 sont également étudiés (cliquer sur ce lien) en procédant l'un à la diagonalisation de la matrice associée, l'autre à la triangulation.

La complexité du calcul de la solution générale d'une équation différentielle a incité les mathématiciens et les astronomes (comme Newton) à rechercher des méthodes de résolution approchée. Elles consistent à discrétiser les courbes intégrales, représentative des solutions, en recherchant un nombre fini de ses points, "nuage" (x_i,y_i), sur un intervalle donné en la "linéarisant" : on la remplace par un contour polygonal le plus fin possible. Des logiciels informatiques sont susceptibles de reconnaître, à partir du nuage donné, la courbe la mieux adaptée à ce dernier.

Euler formalisera ces méthodes dans son Institutiones Calculi Integralis (1768). Runge et Kutta, en particulier, les amélioreront en les généralisant aux équations aux dérivées partielles dès la fin du 19è siècle. L'apparition des ordinateurs, dès les années 1930, sera un apport fondamental dans ce type de problème.

Pour l'équation de la forme y' = φ(x,y), la méthode d'Euler est particulièrement efficace :

Méthode d'Euler (différences finies) pour la résolution des équations y' = φ(x,y) : »

Les équations différentielles du type y'' = φ(x,y,y') peuvent être résolues avec cette même méthode en se ramenant à un système de deux équations différentielles du 1er ordre en application de la proposition 2.

Remarque :    

Cette équation y'' = φ(x,y,y') possède de nombreux cas particuliers pouvant se ramener au 1er ordre :

• Cas y" = φ(x) : y et y' n'apparaissent pas dans φ, par exemple y" = 1/x, J ⊂ R+; la solution y est obtenue par deux quadratures successives. Les solutions sont ici f(x) = xln(α + x) - x + β, les données initiales permettent de calculer les deux constantes α et β apparaissant dans la solution par ces intégrations.

• Cas y" = φ(x,y') : y n'apparait pas dans φ, par exemple  y" = xy' + 1, on pose u = y' et on est ainsi ramené au 1er ordre par rapport à u; y sera une primitive de u.

• Cas y" = φ(x,y) : y' n'apparait pas dans φ, par exemple  y" = xy + 1, on pose u = y' afin de se ramener au 1er ordre.

• Cas y" = φ(y) :  x et y' n'apparaissent pas dans φ, par exemple y" - 4y = 0, on pose, comme précédemment, u = y' = dy/dx; il vient du/dx = φ(y), pouvant s'écrire du/dy×dy/dx = φ(y), soit u×du/dy = φ(y). Si Φ est une primitive de φ (de la variable y), alors u² = Φ(y) + C₁, ce qui nous ramène au 1er ordre.

• Cas y" = φ(y,y') : x n'apparait pas dans φ, par exemple y" = y + 1, on pose u = y' = dy/dx; il vient y" = du/dx = du/dy×u. En notant u' la dérivée de u par rapport à y, on est ramené au 1er ordre par rapport à u.

Méthode d'Euler (différences finies) pour la résolution des équations y'' = φ(x,y,y') : »

2. Une autre façon de résoudre de façon approchée une équation différentielle est d'utiliser la méthode des approximations successives due à Émile Picard, laquelle fournit (théoriquement...) non plus un nuage de points de la courbe intégrale mais la solution exacte sous forme d'une série convergente.

Méthode des approximations successives de Picard : »

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Exemples concrets d'équation différentielle , Équation différentielle à variables séparables
Transformation d'une équo. diff. non linéaire , Système d'équations différentielles 

Les équations différentielles dont il est fait allusion ci-dessus sont souvent qualifiées d'ordinaires (EDO) ce qui ne signifie nullement qu'elles soient simples à résoudre. Afin de résoudre les problèmes rencontrés dans les sciences, principalement au 18è siècle, de grands mathématiciens et physiciens se sont penchés sur des équations différentielles qui portent aujourd'hui leur nom :

» Bernoulli , Riccati , Clairaut , Lagrange , Bessel , Gauss , Riemann

La fonction f recherchée peut être une fonction de plusieurs variables. Les choses se compliquent alors car il s'agit de savoir par rapport à quelle(s) variable(s) le phénomène étudié est soumis et par rapport à quelle(s) variable(s) on dérive ! Si f est une fonction numérique de plusieurs variables, la fonction dérivée partielle de f par rapport à l'une d'elles s'obtient en dérivant l'expression de f par rapport à cette dernière et en considérant les autres comme des constantes.

On parle d'équations aux dérivées partielles (EDP) en omettant généralement l'épithète différentielles dont la résolution est généralement très complexe. Ce type d'équations est apparu en physique dans les années 1730, en particulier sous la main de Daniel Bernoulli, Fontaine, Clairaut et Euler parallèlement au calcul des variations.

En savoir un peu plus les dérivées partielles et les équations aux dérivées partielles (EDP) : »

 ➔   Pour en savoir plus :

1. Tout cours de 1ère année prépa scientifique ou licence de maths/physique.
2. Mathématiques générales, algèbre-analyse, par Charles Pisot & Marc Zamansky
3. Cours de mathématiques, Tome 2, par Jean Bass, Éd. Masson et Cie - Paris, 1964.
4. CALCUL INFINITÉSIMAL, par Jean Dieudonné, Éditions Hermann, Paris - 1968.
5. Éléments de Mathématique, fonctions d'une variable réelle, livre IV, ch. 4, par N. Bourbaki, Éd. Hermann, Paris - 1961
6. Équations différentielles ordinaires (préparation à l'agrég. externe) par Franck Boyer (univ. Marseille)
   https://www.math.univ-toulouse.fr/~fboyer/_media/enseignements/agreg/cours_edo_agreg_fboyer.pdf
7. Équations différentielles ordinaires et partielles, par Laurent Pujo-Menjouet, univ.Lyon1 : http://math.univ-lyon1.fr/~pujo/coursEDO.pdf
8. Des MathÉmatiques pour les Sciences, Concepts, méthodes et techniques pour la modélisation, par Claude Aslangul.
   Chap. 12. Éditions De Boeck - Bruxelles, 2011.
9. Systèmes différentiels, par Pierre Pansu (univ. Paris XI), 2004 :
   https://www.math.u-psud.fr/~pansu/websm/systemes_differentiels.pdf
10. Méthodes numériques de résolution d'équations différentielles par Brian Stout, Institut Fresnel, Marseille (2007)
    http://math.univ-tln.fr/~gandolfo/  (niveau licence L3).
11. Un programme remarquable à télécharger pour tracer des courbes intégrales du 1er ordre parmi les logiciels de Denis Monasse :
    cliquer dans la rubrique Logiciels  » EquaDiff2.