ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 LANDAU Edmund,
allemand, 1877-1938 |
!
On ne le confondra pas avec le physicien russe
Lev Landau
(1908-1968), lauréat du prix Nobel de physique 1962 pour ses travaux sur les
états de la matière (physique de la matière condensée).
Ce mathématicien allemand fit ses études secondaires et supérieures à Berlin, sa ville natale et obtint son doctorat (1899) sous la houlette de Frobenius.
Il enseignera à l'université de Berlin jusqu'en 1909 avant d'obtenir une chaire à Göttingen (dès 1909) auprès de Hilbert et Klein. En cette célèbre université qui rayonnait sur toute l'Europe, Landau fut l'un des premiers universitaires et savants à devoir abandonner ses recherches car victime des nazis (national-socialisme d'Adolphe Hitler, arrivé au pouvoir en 1933). Ses travaux portèrent en théorie analytique des nombres, fonction ζ de Riemann en particulier, et sur les fonctions de variables complexes.
| Notations de Landau O(f), o(f), fonctions équivalentes (» réf.1) : |
Ces notations ont été mises en place pour faciliter la comparaison asymptotique de fonctions numériques au voisinage d'un point fini ou non; O et o désignent ci-dessous les lettres majuscule et minuscule usuelles de l'alphabet :
f = o(g)
:
on dit que f est négligeable devant g ou que
f est un petit o de g au voisinage d'un
réel xo (fini ou non) si le quotient f/g admet la limite 0
en ce point et on écrira f(x) = o(g(x)) ou f
∈ o(g).
Concrètement, f est négligeable devant g. Une notation comme
f = o(1) signifiera une
quantité tendant vers 0.
f = O(g) :
on dit que f est dominée par g ou que
f est un grand O de g dans un voisinage V de xo,
pour exprimer qu'il
existe un réel M > 0 tel que |f(x)|
≤ M. |g(x)| pour tout x de V.
On écrit f(x) = O(g(x)) ou f
∈ O(g).
Une notation comme
f = O(1) signifiera une
quantité restant bornée.
➔ Hardy et Vinogradov utilisaient la notation f << g pour signifier |f(x)| ≤ M. |g(x)|, M > 0 c'est à dire f ∈ O(g). Cette notation f << g est très souvent utilisée pour signifier "f très petit devant g" ou "f très petit par rapport à g".
f ~ g : on dit que deux fonctions f et g définies dans un voisinage de xo (fini ou non) sont équivalentes au voisinage de xo s'il existe une fonction h telle que f(x) = g(x) × [1 + h(x)] avec h tendant vers 0 lorsque x tend vers xo. On peut également dire que le rapport f(x)/g(x) tend vers 1 lorsque x tend vers xo. La notation f ~ g nous vient de Paul du Bois-Reymond, généralisée par Landau, Hardy et Littlewood.
∗∗∗
Vérifier que f ~ g peut s'écrire f(x) = g(x)
x [1 + o(1)]
Propriétés calculatoires :
On peut facilement vérifier que :
Si f1 = o(g) et f2 = o(g) alors f1 + f2= o(g); de même, si f1 = O(g) et f2 = O(g) alors f1 + f2= O(g).
Si f = O(g), alors, ∀k ≠ 0, k × f = O(g); de même, si f = o(g), alors, ∀k ≠ 0, k × f = o(g).
Si f1 = o(g1) et f2 = o(g2) alors f1f2= o(g1g2).
Si f1 = o(g1) et f2 = O(g2) alors f1f2= o(g1g2).
Si f = O(g), alors, ∀k > 0, | f
k
|= O(gk); de même, si f = o(g), alors | fk
| = o(gk).
(la valeur absolue (ou le module dans le cas
complexe) s'impose si k n'est pas un entier)
i Pour des quotients, on doit être prudent... Si f et g sont positives non nulles, alors f = o(g) alors 1/g = o(1/f).
Si f1 ~ g et f2 ~ g alors f1 + f2 ~ g; de même, si f1 = O(g) et f2 = O(g) alors f1 + f2= O(g).
...
i Des comportement asymptotiques ne se composent généralement pas par la loi de composition des applications. Chaque cas rencontré est à étudier prudemment...
Par exemple, x = o(x2);
en passant aux logarithmes, lnx
n'est pas un o(lnx2)
= o(lnx)
!
Développement limité : » Développement asymptotique : » Suites équivalentes : »
| Théorème des nombres premiers : |
En 1908, Landau apporte une nouvelle preuve du théorème des nombres premiers dans un mémoire intitulé Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (» réf.2, et réf.3 pages 58 et suivantes, précédées d'un important historique) :
Lorsque π(x) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à l'entier x et
Li, la fonction logarithme intégral, valeur principale
de Cauchy
de l'intégrale de
t → 1/lnt sur [0,x[, x > 0,
alors :
où c est une constante indépendante de x.
» Hadamard , La Vallée-Poussin , Erdös , Selberg
| Problèmes de Landau (1912) : |
C'est à l'occasion du Congrès International des Mathématiciens (CIM) qui se tenait à Cambridge (Angleterre) que Landau, après avoir résumé les avancées relatives à la distribution des nombres premiers et le lien avec les zéros des fonctions zêta de Riemann, a rappelé quatre conjectures arithmétiques dont l'énoncé est fort simple mais restant encore aujourd'hui (janvier 2018) des problèmes ouverts (non résolus) :
La conjecture de Goldbach selon laquelle tout entier pair autre que 2 est somme de deux nombres premiers;
Une
conjecture de Legendre selon laquelle pour tout
entier naturel n non nul, il existe au moins un nombre
premier entre n2 et
(n + 1)2;
La
conjecture des nombres premiers jumeaux selon laquelle
il existe une infinité de nombres premiers n
tels que n + 2
soit premier ou semi-premier
(produit de deux nombres premiers).
Une conjecture d'Euler selon laquelle il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n2 + 1
Autres conjectures évoquées dans ChronoMath : »
➔ Pour en savoir plus :
Bernstein
Felix