ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LANDAU Edmund, allemand, 1877-1938

 !    On ne le confondra pas avec le physicien russe Lev Landau (1908-1968), lauréat du prix Nobel de physique 1962 pour ses travaux sur les états de la matière (physique de la matière condensée).

Ce mathématicien allemand fit ses études secondaires et supérieures à Berlin, sa ville natale et obtint son doctorat (1899) sous la houlette de Frobenius.

Il enseignera à l'université de Berlin jusqu'en 1909 avant d'obtenir une chaire à Göttingen (dès 1909) auprès de Hilbert et Klein. En cette célèbre université qui rayonnait sur toute l'Europe, Landau fut l'un des premiers universitaires et savants à devoir abandonner ses recherches car victime des nazis (national-socialisme d'Adolphe Hitler, arrivé au pouvoir en 1933). Ses travaux portèrent en théorie analytique des nombres, fonction ζ de Riemann en particulier, et sur les fonctions de variables complexes.

Notations de Landau O(f), o(f), fonctions équivalentes (» réf.1) :

Ces notations ont été mises en place pour faciliter la comparaison asymptotique de fonctions numériques au voisinage d'un point fini ou non :

     Hardy et Vinogradov utilisaient la notation f << g pour signifier |f(x)| ≤ M. |g(x)|, M > 0 c'est à dire f ∈ O(g). Cette notation f << g est très souvent utilisée pour signifier "f très petit devant g" ou "f très petit par rapport à g".

Propriétés calculatoires :

On peut facilement vérifier que :

 i  Pour des quotients, on doit être prudent... Si f et g sont positives non nulles, alors f = o(g) alors 1/g = o(1/f).

 i  Des comportement asymptotiques ne se composent généralement pas par la loi de composition des applications. Chaque cas rencontré est à étudier prudemment...

Développement limité : »           Développement asymptotique : »           Suites équivalentes : »

Théorème des nombres premiers :

En 1908, Landau apporte une nouvelle preuve du théorème des nombres premiers dans un mémoire intitulé Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (» réf.2, et réf.3 pages 58 et suivantes, précédées d'un important historique) :

Lorsque π(x) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à l'entier x et Li, la fonction logarithme intégral, valeur principale de Cauchy de l'intégrale de t → 1/lnt sur [0,x[, x > 0, alors :

où c est une constante indépendante de x.

» Hadamard , La Vallée-Poussin , Erdös , Selberg

Problèmes de Landau (1912) :

C'est à l'occasion du Congrès International des Mathématiciens (CIM) qui se tenait à Cambridge (Angleterre) que Landau, après avoir résumé les avancées relatives à la distribution des nombres premiers et le lien avec les zéros des fonctions zêta de Riemann, a rappelé quatre conjectures arithmétiques dont l'énoncé est fort simple mais restant encore aujourd'hui (janvier 2018) des problèmes ouverts (non résolus) :

  1. La conjecture de Goldbach selon laquelle tout entier pair autre que 2 est somme de deux nombres premiers;

  2. Une conjecture de Legendre selon laquelle pour tout entier naturel n non nul, il existe au moins un nombre
    premier entre n
    2 et (n + 1)2;

  3. La conjecture des nombres premiers jumeaux selon laquelle il existe une infinité de nombres premiers n
    tels que n + 2 soit premier
    ou semi-premier (produit de deux nombres premiers).

  4. Une conjecture d'Euler selon laquelle il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n2 + 1

Autres conjectures évoquées dans ChronoMath : »


   Pour en savoir plus :

  1. Notations de Landau (en allemand), en préambule de son mémoire sur le théorème des nombres premiers : https://archive.org/details/handbuchderlehre01landuoft/page/58/mode/2up
  2. Nouvelle démonstration pour la formule de Riemann sur le nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée et démonstration d’une formule plus générale pour le cas des nombres premiers d’une progression arithmétique, par Edmund Landau (1908)
    http://www.numdam.org/article/ASENS_1908_3_25__399_0.pdf
  3. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen (livre de leçons sur la distribution des nombres premiers), 1909
    https://archive.org/details/handbuchderlehre01landuoft/page/n5/mode/2up
  4. CIM de Cambridge (1912), intervention de Landau, pages 93-108 :
    https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1912.1/ICM1912.1.ocr.pdf

Hardy  Bernstein Felix
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