ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

PICARD Charles Émile, français, 1856-1941

 !  Couramment dénommé Émile Picard (plutôt que Charles), on ne le confondra pas avec l'astronome Jean Picard, astronome français (1620-1682), spécialiste en géodésie.

Mathématicien et physicien, gendre de Charles Hermite, ancien élève du lycée Henri IV et de l'ENS où il entre en 1874, agrégé de mathématiques (1877), Picard fut docteur ès sciences la même année (à 21 ans !) sur un sujet de géométrie algébrique sous la direction de Darboux.

Il professa en particulier à la faculté des sciences Toulouse puis de Paris (Sorbonne) dès 1878. Nommé professeur titulaire en 1886 sur une chaire de calcul différentiel et intégral, succédant à Bouquet, Picard reçoit cette année là le prix Poncelet. De 1897 à sa retraite (1931), il occupera la chaire d'analyse et d'algèbre supérieures.

Membre de l'Académie des sciences à 33 ans (1889) et de l'Académie française, au fauteuil d'Henri Poincaré (1924), membre de la Royal Society de Londres à titre étranger (élu en 1909), Picard fut aussi un historien des sciences.

Outre ses travaux en analyse complexe, les fonctions elliptiques, il se fit brillamment connaître pour ses recherches sur les courbes algébriques, les fonctions algébriques de deux variables complexes (2 volumes, 1897 et 1906, » réf.3), l'étude et la classification des surfaces algébriques (géométrie projective complexe) ainsi que sur les fonctions automorphes de plusieurs variables. Ses travaux sur les fonctions algébriques et leur intégration conduiront à l'étude approfondie des intégrales dites abéliennes. Ses travaux, très ardus, sur les singularités des fonctions méromorphes, seront complétés par Borel et Julia.

»  Cauchy , Laurent , Briot , Bouquet , Puiseux , Riemann

Deux théorèmes de Picard :

Les seules surfaces algébriques dont les sections planes sont unicursales sont les surfaces réglées et la surface de Steiner

Courbes unicursales : »            Surfaces réglées : »         Surface de Steiner : »

Une courbe algébrique de genre supérieur à 1 ne possédant que des points essentiels isolés n'admet pas
de représentation par une fonction analytique uniforme

En physique mathématique, poursuivant des travaux de Fuchs sur les équations fonctionnelles, il établit un théorème d'approximations successives basé sur le principe des théorèmes de point fixe qu'il applique à la résolution approchée d'équations différentielles et d'équations aux dérivées partielles (» réf.5). Sa méthode est très révélatrice du grand courant de l'analyse fonctionnelle où les fonctions ne sont plus qu'un point dans un espace adéquat.

»  Du Bois-Reymond , Volterra , Fredholm

Avec Ernest Vessiot, un  de ses étudiants, on lui doit une application de la théorie de Galois aux équations différentielles linéaires, dite théorie de Galois différentielle. Une approche toute nouvelle qui sera prolongée par Malgrange au cas non linéaire.

 i  Ernest Vessiot : (1865-1952), mathématicien français. Normalien (diplômé de l'École normale supérieure), reçu 1er à l'agrégation de mathématiques (1887), il enseigna à Lyon et soutint (1892) sa thèse de doctorat dirigée par Picard, intitulée Sur l'intégration des équations différentielles linéaires, où il introduit les groupes de Lie dans l'ensemble des solutions. Après divers postes en Province, Vessiot fut nommé à la Sorbonne et dirigea l'École normale supérieure.

Théorème d'existence de Picard pour l'équation différentielle du 1er ordre y' = f(x,y)

Le théorème de Cauchy-Lipschitz  affirme que si (x,y) → f(x,y) une fonction numérique continue sur un domaine D de R2 et que f est lipschitzienne par rapport à y dans un voisinage U × V d'un point (xo,yo) de D, alors l'équation différentielle y' = f(x,y) admet une unique solution x → y = φ(x) vérifiant yo = φ(xo). La solution vérifie :

En 1890, dans un mémoire intitulé Mémoire sur la théorie des équations aux dérivées partielles et la méthode des approximations successives, Picard donne une jolie preuve de ce résultat en construisant une série convergeant vers y = φ(x) fournissant une approche récurrente de la solution sous forme d'approximations successives y1(x), y2(x), ..., yn(x) de φ(x) définie par :

- Le texte d'Émile Picard -





Intéressé(e) ? La suite est en réf.5b in fine..


   En réponse à ce mémoire, le jeune mathématicien finlandais Ernst Lindelöf publia trois ans plus tard Sur l’application des méthodes d’approximations successives à l’étude des intégrales réelles équations différentielles ordinaires, reprenant et complétant les résultats de Picard (» réf.6).

 i   Ernst Leonhard Lindelöf : mathématicien finlandais (1870-1946), fils d'un mathématicien et astronome, il étudia à Helsinki (sa ville natale), puis à Paris et Göttingen. Il enseigna à l'université d'Helsinki de 1895 à 1938. Ses travaux portèrent sur le calcul différentiel et intégral réel et complexe. Il étudia en particulier l'équation de Gauss-Kummer dont les solutions hypergéométriques relèvent de la fonction Γ.  » Gauss , Kummer

Solution approchée à ε près :    

Avec les notations ci-dessus et en y = φ(x) la solution de l'équation y' = f(x,y), on a φ(x) = yo + Σk=1,...∞ zk(x). Pour kδ < 1, la série de terme général (zn) est uniformément convergente sur  [xo - δ, xo + δ] car sur cet intervalle, |zn(x)| est majoré par Mδ(kδ)n-1, terme général d'une série convergente à termes positifs (progression géométrique de raison kδ < 1).

Cette convergence uniforme de la série vers φ(x) s'écrit plus formellement par :

∀ε > 0, ∃Nε / ∀x ]xo - δ, xo + δ[ : n > Nε|φ(x) - yn(x)| < ε

C'est dire que aussi petit que soit ε > 0, à partir d'un certain rang Nε, la somme partielle yn(x) de la solution approchée ne diffère de φ(x) que d'au plus ± ε : c'est une solution approchée à ε près de l'équation y' = f(x,y).


Il faut principalement considérer ce résultat en tant que théorème d'existence d'une solution, moins en tant que méthode pratique pour obtenir une expression approchée de la solution
y = φ(x) car, très généralement, chaque intégrale rencontrée n'admet pas de primitive simple à calculer, voire pas de primitive du tout !

Un exemple presque trivial :    

Considérons le cas y' = y. On a f(x,y) = y, fonction manifestement lipschitzienne. Posons xo = 0, yo = 1. Nous avons :

y1 =  1+∫[o,x] yo.dt  = 1+∫[o,x] 1.dt = 1 + x; z1 = y1 - yo = x.
y2 = 1+∫
[o,x] y1.dt  = 1+∫[o,x] (1 + t).dt = 1+ x + x2/2; z2 = y2 - y1 = x2/2.
y3 = 1+∫
[o,x] y2.dt = 1+∫[o,x] (1 + t + t2/2).dt = 1 + x + x2/2 + x3/6; z3 = y3 - y2 = x3/6.
y4 = 1+∫
[o,x] y3.dt = 1+∫[o,x] (1 + t + t2/2 + t3/6).dt = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24; z4 = y4 - y3 = x4/24.

On voit se créer la série entière de somme partielle yn = 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ..., de terme général zn = xn/n!, uniformément convergente vers la fonction exponentielle x → ex : unique solution de l'équation différentielle y' = y, y(0) =1.


On considère la suite (fn) de fonctions numériques continues définies pour tout réel x par fo(x) = 1, fn(x) = [o,x] [fn-1(t)]2dt
a) Déterminer les fonctions f1 et f2.     b) Montrer que la suite (fn) est un polynôme de degré 2n - 1
c) Montrer que les coefficients du polynôme fn sont tous éléments de [0,1].
d) On suppose x appartenir à ]-1,1[, montrer que (fn) converge et que sa limite est la solution de l'équation différentielle y' = y2.

La fondation Picard :

Créée par son épouse (1943), la fondation Émile Picard décernant tous les 6 ans un prix (médaille d'agent) à un mathématicien désigné par l'Académie des sciences.

» Les lauréats furent :

Fréchet (1946), Lévy (1953), Henri Cartan (1959), Szolem Mandelbrot (1965), Serre (1971), Grothendieck (1977), André Néron (1983), Bruhat (1989), Kahane (1995), Dixmier (2001), Louis Boutet de Monvel (2007).


   Pour en savoir plus :

  1. Vie et œuvre de Émile Picard :
    a) par Louis de Broglie le 21 décembre 1942 : http://www.academie-sciences.fr/pdf/dossiers/Picard/Picard_pdf/Broglie_Picard.pdf
    b) par Jacques Hadamard (annales de la Royal Society) :  https://www.jstor.org/stable/769154?

  2. Publications de Émile Picard numérisées sur Numdam : http://www.numdam.org/search/Picard Emile-a

  3. Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes sur Gallica (sujet difficile d'autant que mal numérisé) :
    volume 1 (1897) : https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k92737k?rk=42918;4
    volume 2 (1900-1906) : https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k92738x?rk=21459;2

  4. Analyse complexe, par Ernst Hairer, univ. Genève
    http://www.unige.ch/~hairer/poly_complexe/chap1
    http://www.unige.ch/~hairer/poly_complexe/chap2 (calcul intégral et théorie de Cauchy)
    http://www.unige.ch/~hairer/poly_complexe/chap3 (singularités et fonctions méromorphes, sphère de Riemann)

  5. a) Sur le théorème général relatif à l'existence des intégrales des équations différentiels ordinaires , par E. Picard (1891) :
    http://www.numdam.org/article/NAM_1891_3_10__197_0.pdf
    b) Mémoire sur la théorie des équations aux dérivées partielles et la méthode des approximations successives
    par E. Picard (1890); » les EDO sont traitées au ch. 5 (page197 = page 54 de la pagination pdf ) :
    http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1890_4_6_A3_0.pdf
    b) Sur l’application des méthodes d’approximations successives à l’étude de certaines équations différentielles ordinaires
    par E. Picard (1893) : http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1893_4_9_A4_0.pdf

    c) Sur les méthodes d'approximations successives, (pour les équations aux dérivées partielles) par E. Picard (1898) :
    https://www.jstor.org/stable/2369869?seq=1#metadata_info_tab_contents
    d) Sur un exemple d'approximations successives divergentes, par É. Picard (1900) :
    http://www.numdam.org/article/BSMF_1900__28__137_0.pdf
  6. Sur l’application des méthodes d’approximations successives à l’étude des intégrales réelles équations différentielles ordinaires
    par Ernest Lindelöf (1894) :
    http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1894_4_10_A3_0.pdf
  7. Méthodes numériques de résolution d'équations différentielles par Brian Stout, Institut Fresnel, Marseille (2007)
    dont méthode itérative de Picard : http://math.univ-tln.fr/~gandolfo/  (niveau licence L3)


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