ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LAURENT Pierre Alphonse, français, 1813-1854

Source portrait : geneanet.org avec l'aimable autorisation d'Alexandre Mihailovitch.
Compléments biographiques : réf. 1

Fils d'un officier de marine, cinquième d'une fratrie de huit enfants, Pierre Laurent fut un élève brillant. Polytechnicien à 19 ans, ingénieur du génie militaire à l'École d'application de Metz, il dut participer à la conquête de l'Algérie par Charles X avant de diriger pendant six années les opérations d'agrandissement du port du Havre.

Outre d'importantes recherches en physique (optique, thermodynamique, élasticité), ses recherches  principales en mathématiques concernent l'analycité des fonctions complexes où il obtient des résultats tout à fait nouveaux complétant des travaux de Cauchy sur le sujet : son nom est ainsi resté attaché au développement en série de fonctions complexes au voisinage de points singuliers.

Singularités d'une fonction complexe, points singuliers :   

  On parle de point singulier d'une fonction f pour exprimer que f est holomorphe (différentiable) sur un disque (c) de centre zo privé de zo (disque pointé) mais n'est pas prolongeable en une fonction holomorphe sur le disque tout entier.

  Un point singulier sera dit isolé pour signifier qu'en dehors d'un disque (c) de centre zo, de rayon aussi petit soit-il, f est holomorphe dans D - (c).

  Une fonction complexe zf(z) uniforme sur un domaine D (l'image par f de tout complexe z de D est unique) peut présenter des pôles pour signifier que :

au voisinage d'un tel point zo, f n'est pas bornée mais 1/f est cependant holomorphe.

Il s'agit de singularités isolées.

  Lorsque f et 1/f admettent un même point singulier isolé, on parle de singularité essentielle.

  Une fonction f peut posséder une singularité artificielle (on dit aussi effaçable) en un point zo : c'est le cas lorsqu'un simple changement de l'image de zo par f la rend holomorphe. Par exemple un prolongement par continuité.

  Il  se peut enfin qu'une fonction complexe uniforme dans un domaine D privé d'un point zo, soit multiforme en ce point : c'est le cas de la racine carrée complexe au point zéro :

Fonctions multiformes et surfaces de Riemann :

Fonction méromorphe :    

Depuis  Bouquet et Briot, on parle de fonction méromorphe sur un domaine D pour exprimer que sa restriction au domaine D* = D \ P (D privé de P) où P désigne l'ensemble des pôles de f, est une fonction holomorphe sur D*.

Si f peut s'écrire, sous la forme :

où g ne s'annule pas en zo, on dit que f possède un pôle d'ordre k en zo.

méromorphe : du grec mero = partie et morphê = forme s'opposant à holomorphe (holo = entier) : on va le voir ci-dessous, le développement de f n'est entier (série de puissances positives) qu'en partie.

Si f est méromorphe sur D et si z est un point de D*, alors sur tout voisinage V de z ne contenant aucun pôle, f peut s'écrire comme quotient de deux fonctions holomorphes.

Fuchs

Séries de Laurent (1843) :

Issu des travaux de Cauchy (exposés à Turin en 1831), le théorème ci-dessous prolonge aux fonctions complexes possédant des singularités, fonctions méromorphes en particulier, le développement en série de puissances positives des fonctions holomorphes. Le mémoire de Laurent fut présenté par Cauchy et Liouville à l'Académie des sciences en 1843.

Théorème (1843) :    

Soit f une fonction holomorphe sur une couronne K du plan complexe comprise entre deux disques Do et D1 de centre zo de rayon distincts non nuls, le point zo , voire d'autres points de Do , pouvant être singuliers.

Dans ces conditions, il existe une unique suite (an) de nombres complexes telle que pour tout z de K :

Les coefficients an sont donnés par :

γ désigne un cercle de centre zo strictement inclus dans D.

Dans une série de Laurent, la série des termes d'indices négatifs est appelée partie principale du développement.

Abel et les séries entières :                Série de Taylor pour les fonctions complexes :

 Quelques remarques :

  Supposons que f s'avère être holomorphe sur le disque Do , zo compris. L'expression des coefficients d'indice négatifs montrent qu'ils sont de la forme :

Or, zf(z) (z - zo)k est holomorphe dans le disque de circonférence γ, par suite son intégrale sur γ est nulle (théorème de Cauchy). C'est dire que tous les an, n négatif, sont nuls : on retrouve alors le développement de Taylor de f et les an ne sont autres que f (n)(zo)/n!

  On remarquera que dans le développement de Laurent, a-1 est le résidu de f au point zo, à savoir :

et toujours selon le théorème de Cauchy, a-1sera nul si f est holomorphe en zo.

Séries de Laurent et calcul des résidus :

   Lorsque zo est un pôle d'ordre k, unique point singulier de f dans  Do, il est plus simple de remarquer que la fonction g définie par g(z) = f(z) (z - zo)k est holomorphe et de la développer selon la série de Taylor puis de diviser par (z - zo)k, ce qui fournira un développement du type :

   Lorsque le développement de Laurent contient des ck comme ci-dessus en nombre infini, il ne s'agit plus d'un pôle mais d'un point singulier essentiel : problème plus délicat...


On trouvera quelques applications des séries de Laurent (singularités des fonctions holomorphes) sur le site BibMath
à l'adresse :
http://www.bibmath.net/exercices/index.php3?action=affiche&quoi=analyse

Pour en savoir plus :

  1. Pierre Alphonse Laurent sur le site Geneanet : http://gw.geneanet.org/mihailovitch?lang=fr;p=pierre+alphonse;n=laurent
  2. Rapport sur un Mémoire de M. Laurent, qui a pour titre : "Extension du théorème de M. Cauchy relatif à la convergence
    du développement d'une fonction suivant les puissances ascendantes de la variable x" p.115-120.
    Texte intégral PDF (Gallica) téléchargeable ici depuis ChronoMath.
  3. Calcul infinitésimal, Ch. 8 - Jean Dieudonné - Éd. Hermann, Paris 1968
  4. Cours de Mathématiques, tome 2, Jean Bass - Éd. Masson & Cie -Paris, 1964.
  5. Calcul différentiel complexe, par Daniel Leborgne - Que sais-je n°2560, Presses Universitaires de France.
  6. Fonctions holomorphes d'une variable : pages de Jean-Marie Lion, Univ. de Rennes :
    http://perso.univ-rennes1.fr/jean-marie.lion/coursholo.pdf


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