ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LAURENT Pierre Alphonse, français, 1813-1854

Source portrait : geneanet.org avec l'aimable autorisation d'Alexandre Mihailovitch.
Compléments biographiques : réf. 1

Fils d'un officier de marine, cinquième d'une fratrie de huit enfants, Pierre Laurent fut un élève brillant. Polytechnicien à 19 ans, ingénieur du génie militaire à l'École d'application de Metz, il dut participer à la conquête de l'Algérie par Charles X avant de diriger pendant six années les opérations d'agrandissement du port du Havre.

Outre d'importantes recherches en physique (optique, thermodynamique, élasticité), ses recherches  principales en mathématiques concernent l'analycité des fonctions complexes où il obtient des résultats tout à fait nouveaux complétant des travaux de Cauchy sur le sujet : son nom est ainsi resté attaché au développement en série de fonctions complexes au voisinage de points singuliers.

Singularités d'une fonction complexe, pôles :   

Un point singulier, comme son nom l'indique est un point qui pose problème dans l'étude d'une fonction. Dans le cas d'une fonction complexe multiforme, un point critique (également dit point de point de branchement ou de ramification) est un point singulier. C'est le cas de la racine carrée complexe au point zéro.

Fonctions multiformes et surfaces de Riemann :

f désignant désormais une fonction uniforme sur un domaine D (l'image par f de tout complexe z de D est unique) :

  Point singulier : est ainsi qualifié un complexe zo pour exprimer que f est holomorphe (différentiable) sur un disque (c) de centre zo privé de zo (disque pointé) mais n'est pas prolongeable en une fonction holomorphe sur le disque tout entier.

  Point singulier isolé : ainsi dénommé pour signifier qu'en dehors d'un disque (c) de centre zo, de rayon aussi petit soit-il, f est holomorphe dans D - (c).

  Pôle : on appelle ainsi un point singulier isolé zo d'une fonction complexe lorsqu'au voisinage de ce point, f n'est pas bornée alors que 1/f est cependant holomorphe. Plus précisément, on dit que :

zo est un pôle d'ordre ou de multiplicité k pour la fonction f lorsque (z - zo)kf(z) admet une limite finie et non nulle en zo.

Lorsque k = 1, 2, 3, ..., on pourra parler simplement de pôle simple, double, triple, ...

Pôles et fonction méromorphe :    

P désignant l'ensemble des pôles de f, , on dit que f est méromorphe sur un domaine D pour exprimer que sa restriction au domaine D* = D - P, D privé de P, est une fonction holomorphe sur D*.

méromorphe : du grec mero = partie et morphê = forme s'opposant à holomorphe (holo = entier) : on va le voir ci-dessous, le développement de f n'est entier (série de puissances positives) qu'en partie. Ce qualificatif est dû à Bouquet et Briot qui ont travaillé conjointement sur le sujet au 19è siècle.

On peut démontrer cet intéressant résultat :

Si f est méromorphe sur D et si zo est un point de D*, alors f peut s'écrire comme quotient de deux fonctions holomorphes
sur tout voisinage V de z
o ne contenant aucun pôle.

  Singularité artificielle  (on dit aussi effaçable ou apparente) : une fonction f peut posséder une singularité en un point zo qui, par un  simple changement de l'image de zo par f la rend holomorphe. Par exemple un prolongement par continuité lorsque f admet une limite finie en zo.

     - C'est le cas de la fonction f : z sin(z)/z : f et 1/f posent problème. Mais en posant f(0) = 1 tout s'arrange...  étude de sin(x)/x

  Singularité essentiellec'est un point singulier isolé autre que les précédents.

     - C'est le cas de la fonction z e1/z manifestement pathologique en z = 0. Ce n'est pas un pôle : (1/f)(z) = 1/e1/z = e-1/z = f(-z) pose le même problème. Ce n'est pas une singularité artificielle car en posant z = (r,θ), en remplaçant 1/z par (cosθ -i.sinθ)/r, on obtient |f(z)| = ecosθ/r : pas de limite en 0 car dans tout disque de rayon r aussi petit soit-il, cosθ peut prendre des valeurs positives ou négatives selon le bon vouloir de θ.

  Dans le cas réel, il n'y a que deux façons, pour une variable z de tendre vers 0 : positivement ou négativement. Dans le cas complexe, il y en a une infinité : l'argument est indéfini : la seule contrainte est que le module tende vers 0.


Singularité artificielle dans le cas du calcul de l'intégrale de sin(x)/x sur R+ en passant dans le champ complexe

A contrario, on qualifiera de point ordinaire d'une fonction complexe f, un complexe zo pour lequel il existe un disque (c) de centre zo dans lequel f n'admet aucun point singulier.

  Fuchs

Séries de Laurent :

Issu des travaux de Cauchy (exposés à Turin en 1831), le théorème ci-dessous prolonge aux fonctions complexes possédant des singularités, fonctions méromorphes en particulier, le développement en série de puissances positives des fonctions holomorphes. Le mémoire de Laurent fut présenté par Cauchy et Liouville à l'Académie des sciences en 1843.

Théorème (1843) :    

Soit f une fonction holomorphe sur une couronne K du plan complexe comprise entre deux disques Do et D1 de centre zo de rayon distincts non nuls, le point zo , voire d'autres points de Do , pouvant être singuliers.

Dans ces conditions, il existe une unique suite (an) de nombres complexes telle que pour tout z de K :

Les coefficients an sont donnés par :

où γ désigne un cercle de centre zo strictement inclus dans D.

 Quelques remarques :    

r1/ On a donc, en se ramenant à un index n positif :

La série des termes d'indices négatifs est appelée partie principale du développement.

Abel et les séries entières :                Série de Taylor pour les fonctions complexes :

r2/ Supposons que f s'avère être holomorphe sur le disque Do , zo compris. L'expression des coefficients d'indice négatifs montrent qu'ils sont de la forme :

Or, zf(z)(z - zo)k est holomorphe dans le disque de circonférence γ, par suite son intégrale sur γ est nulle (théorème de Cauchy). C'est dire que tous les an, n négatif, sont nuls : on retrouve alors le développement de Taylor de f et les an ne sont autres que f (n)(zo)/n!

r3/ On remarquera que dans le développement de Laurent, a-1 est le résidu de f au point zo, à savoir :

et toujours selon le théorème de Cauchy, a-1sera nul si f est holomorphe en zo.

Séries de Laurent et calcul des résidus :

r4/ Lorsque zo est un pôle d'ordre k, unique point singulier de f dans  Do, il est plus simple de remarquer que la fonction g définie par g(z) = f(z)(z - zo)k est holomorphe et de la développer selon la série de Taylor puis de diviser par (z - zo)k, ce qui fournira un développement du type :

Lorsque le développement de Laurent contient des ck comme ci-dessus en nombre infini, il ne s'agit plus d'un pôle mais d'un point singulier essentiel : problème plus délicat.


Pour en savoir plus :

  1. Pierre Alphonse Laurent sur le site Geneanet : http://gw.geneanet.org/mihailovitch?lang=fr;p=pierre+alphonse;n=laurent
  2. Rapport sur un Mémoire de M. Laurent, qui a pour titre : "Extension du théorème de M. Cauchy relatif à la convergence
    du développement d'une fonction suivant les puissances ascendantes de la variable x" p.115-120.
    Texte intégral PDF (Gallica) téléchargeable ici depuis ChronoMath.
  3. Calcul infinitésimal, Ch. 8 - Jean Dieudonné - Éd. Hermann, Paris 1968
  4. Cours de Mathématiques, tome 2, Jean Bass - Éd. Masson & Cie -Paris, 1964.
  5. Calcul différentiel complexe, par Daniel Leborgne - Que sais-je n°2560, Presses Universitaires de France.
  6. Fonctions holomorphes d'une variable : pages de Jean-Marie Lion, Univ. de Rennes :
    http://perso.univ-rennes1.fr/jean-marie.lion/coursholo.pdf
  7. Fonctions d'une variables complexe, cours de Pierre Pansu, univ. Paris Sud (Orsay), 2011 :
    https://www.math.u-psud.fr/~pansu/web_ifips/varcomp.pdf
  8. Exercices (singularités des fonctions holomorphes) sur le site BibMath
    http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse.html


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