ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 BONNET Pierre
Ossian,
français, 1819-1892 |
Ancien
élève de l'École polytechnique (1838-1841), ingénieur des Ponts et Chaussées,
Bonnet préféra l'enseignement et la recherche. Répétiteur puis examinateur
d'admission à
l'École Polytechnique, il y sera directeur des études (1872) et succèdera
à
Le Verrier en tant que professeur
d'astronomie à la Sorbonne (université de
Paris) en 1878.
Bonnet fut également membre du Bureau des longitudes, société savante rattachée à l'observatoire de Paris pour la recherche en astronomie et en mathématiques. Il succéda à Biot à l'Académie des sciences (1862).
En mathématiques, ses travaux portèrent principalement sur la géométrie différentielle (à l'époque, on parlait plutôt de géométrie infinitésimale), les séries numériques, et l'application du calcul différentiel et intégral à la géométrie du plan et de l'espace, qu'il applique tout particulièrement à l'étude des surfaces en liaison avec ses recherches en sciences physiques : courbure, torsion, géodésiques, surfaces applicables sur une autre (Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée, 1865-1867, » réf.1). Il complète ainsi des résultats de Codazzi et de Meusnier sur les surfaces minimales et les surfaces élastiques. 25 ans plus tard, Darboux parachèvera ces travaux dans ses Leçons sur la théorie générale des surfaces (1887).
» Meusnier , Serret , Frenet , Lamé
| Surface applicable sur une autre : |
Étant données deux surfaces S et S', une surface S est dite applicable sur S' si, pour tout arc de courbe (c) de S, il existe un difféomorphisme (bijection différentiable ainsi que sa réciproque) φ appliquant (c) sur un arc (c') de S' conservant les distances. φ est qualifiée d'isométrie locale. Il s'agit en quelque sorte d'une carte locale de S conservant les distances (en anglais : isometric mapping).
» Au 19è siècle, par analogie avec la théorie de la chaleur, on parlait de surfaces isothermes plutôt que de surfaces isométriques. Bonnet fut le premier à utiliser ce dernier qualificatif.
Cette conservation des distances revient à celle des premières formes quadratiques fondamentales des deux surfaces en chacun des points se correspondant. C'est donc dire aussi que la courbure totale d'une surface (dite courbure de Gauss) se conserve par isométrie locale : c'est un résultat de Gauss, qu'il baptisa du nom latin theorema egregium (= théorème remarquable).
Theorema egregium : » Variétés & notions fondamentales de la géométrie différentielle : »
Théorème :
Dans le cas de l'espace euclidien usuel de dimension 3, les surfaces développables sont applicables sur un plan.
! La réciproque est fausse : une feuille de papier chiffonnée puis jetée à la corbeille est "récupérable" au sens où elle est applicable sur le plan par une suite finie de déformations continues (homéomorphismes) consistant à l'appliquer au mieux sur votre bureau (on peut même utiliser un fer à repasser). Mais cette feuille n'est pas développable car elle n'est pas réglée : aucune droite ne peut y être tracée tant qu'elle est chiffonnée.
Surfaces développables et et surfaces réglées : » » Gauss , Codazzi , Meusnier , Darboux , Ribaucour
| Première formule de Bonnet : |
En conséquence du célèbre théorème des valeurs intermédiaires de Cauchy, cette formule peut ainsi s'énoncer :
Si, sur un intervalle [a,b], f est une fonction continue et g une fonction positive, intégrable et bornée, d'intégrale non nulle, alors il existe c∈[a,b] tel que :
Preuve : soit m et M les minimum et maximum de f sur [a,b]. Pour tout x de cet intervalle, on a m × g(x) ≤ f(x)g(x) ≤ M × g(x). L'intégrale conserve l'ordre, m et M sont des constantes; on peut alors écrire :
En divisant par l'intégrale de g supposée non nulle, on constate que le quotient de l'intégrale de fg par l'intégrale de g est compris entre m et M. Par continuité de et application du théorème des valeurs intermédiaires de Cauchy, il existe un élément c de [a,b] qui égale ce quotient, ce qui établit la formule.
Remarque :
Si on applique la formule de Bonnet au cas g(x) = 1 pour tout x de [a,b], l'intégrale de g est égale à b - a et on retrouve le théorème de la moyenne :
Formule des accroissements finis et (premier) théorème de la moyenne : »
| Seconde formule de Bonnet : |
Cette formule, plus subtile, est également appelée seconde formule de la moyenne :
Si, sur [a,b], f est une fonction positive et décroissante et g une fonction intégrable et bornée, alors il existe un réel c de ]a,b[ tel que :
➔ Pour en savoir plus :
Mémoire sur la théorie des surfaces applicables
sur une surface donnée, deuxième partie, par Ossian Bonnet, 1867 :
https://books.google.fr/books?id=8-lL1eMbobMC&printsec=frontcover&hl=fr
Nombreux articles et mémoires d'Ossian Bonnet numérisés
sur Numdam :
http://www.numdam.org/search/Bonnet Ossian-q/
Livres numérisés sur Google livres :
https://www.google.fr/search?hl=fr&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:"Ossian+Bonnet"
Mémoire sur les surfaces dont les lignes de courbure
sont planes ou sphériques, Ossian Bonnet, 1853 :
https://books.google.fr/books?id=VA1iUwJuJ7AC&printsec=frontcover&hl=fr
Premières notions de géométrie sphérique infinitésimale,
par O. Bonnet :
https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.chmm/1428684849
Bouquet