ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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FRÉCHET Maurice, français, 1878-1973

Maurice Fréchet fit ses études secondaires à Paris, au lycée Buffon où Jacques Hadamard, alors jeune professeur agrégé, lui sa passion pour les mathématiques. Maurice le suivit au lycée Saint-Louis. Il entre à l'École Normale Supérieure (1900) et en ressort agrégé de mathématiques en 1903. Sous la houlette d'Hadamard, Fréchet travaille à la mise en place d'ensembles "abstraits" dont les éléments sont des fonctions : les espaces fonctionnels), qui sera son sujet de thèse : Sur quelques points du calcul fonctionnel, soutenue en 1906.

Fréchet débute sa carrière d'enseignant chercheur en province avant d'obtenir un premier poste en mécanique rationnelle à l'université de Poitiers (1910-1919), puis d'analyse à Strasbourg (où il enseignera également la statistique à la Chambre de commerce) et Paris (dès 1928) à l'invite de Borel où il occupera les chaires de calcul différentiel et intégral puis de calcul des probabilités (1940-49), en remplacement de Borel.

Avec l'italien Volterra en Italie, Hilbert en Allemagne, il est à la source d'importants travaux en analyse fonctionnelle (appellation due à Levy, 1922), ainsi qu'en topologie (espaces métrisables), en statistique et en calcul des probabilités (qu'il enseigna également à Paris). On lui doit à ce propos, l'appellation loi de Laplace-Gauss pour arrêter de se déchirer la paternité de la loi normale (préférée par Pearson) entre France (Laplace) et Gauss (Allemagne).

La loi de probabilité, dite normale ou de Laplace-Gauss :

à 58 ans (1956), il est élu à l'Académie des Sciences et sa carrière, loin d'être achevée, sera prolongée par une longue retraite jusqu'en 1973, dans sa 95è année.

Fréchet est ainsi à l'origine du concept de distance (Fréchet parlait d'écart) et d'espace métrique.

 

Dans un espace abstrait (réf. 4-6), on s'attache non pas à la nature des éléments mais aux relations et propriétés liant ces éléments : Fréchet annonce le concept d'espace topologique qui sera développé axiomatiquement par l'allemand Hausdorff (1913) et les premières notions de ce qu'on appellera les filtres, mais en se restreignant à des limites au sens dénombrable (suites, séries).

On lui doit aussi :



Pages choisies d'analyse générale, monographies réunies par Mme Destouches-Février - Éd. Gauthier-Villars - 1953

A noter que dans son traité sur Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l'analyse générale (1928, Réf. 2 & 6) Fréchet donne la définition topologique de la continuité d'une fonction :

La notion nouvelle d'espace métrique :

On doit à Fréchet, dans sa thèse de 1906, la définition d'un espace métrique (appellation due à Hausdorff) qu'il appela à l'époque espace distancié (ensemble E muni d'une application d de E x E dans E, appelée distance).

Tout espace métrique est séparé tant au sens d'Hausdorff que de Fréchet. Avec Schmidt, Fréchet proposera la notation || x || pour la norme d'un élément x d'un espace vectoriel normé. Banach développera le concept plus général d'espace vectoriel normé.

Espace métrique complet :     

Dans sa thèse de 1906, Fréchet définit le très important concept d'espace métrique complet (on disait à l'époque complet en soi) : dans un tel espace E, une suite (xn) de points vérifiant la condition de Cauchy, d(xn,xm) 0 pour n et m , est convergente vers un point de E.

Suites de  Cauchy :                        En savoir un peu plus sur les espaces métriques :

C'est Fréchet qui définira (dans sa thèse de 1906) le concept de compacité, pris ci-dessous dans le cadre d'un ensemble de fonctions (Annales de l'ENS : Sur les fonctionnelles continues, Fréchet, 1910) et qui l'amènera à la convergence uniforme des séries de fonctions et la continuité de la somme généralisant des résultats de Weirstrass. La notion d'espaces compacts s'est avérée nécessaire eu égard aux problèmes soulevés par les limites et la continuité dans les espaces topologiques. L'importance de tels espaces sera renforcée une quinzaine d'années plus tard avec l'émergence de l'École russe de topologie menée par Uryson et Alexandrov.

Notions de topologie générale, compacité :                 Volterra , Fredholm , Lévy  

Espace de Fréchet, espace séparé :

Dans un espace abstrait, en l'absence d'axiome de séparation des points, une suite pourrait avoir deux limites distinctes ! pour cette raison, la notion d'espacé séparé est fondamentale.

Fréchet énonça un axiome de séparation , dit aujourd'hui T1, dans un espace topologique E :

Quels que soient x et y dans E, il existe (au moins) un voisinage V de x et un voisinage W de y tels que x W et y V.

Un tel espace fut baptisé espace de Fréchet mais de nos jours on qualifie généralement d'espace de Fréchet tout espace localement convexe, métrisable et complet.

Hausdorff a introduit (1914) un axiome de séparation plus fort, dit T2, correspondant à la notion d'espace topologique séparé au sens actuel :

Quels que soient x et y dans E, il existe (au moins) un voisinage V de x et un voisinage W de y tels que VW = Ø.


Soit E un espace topologique séparé. On dit qu'une suite (xn) de points tend vers x de E ssi  :
pour tout voisinage V de x, il existe un entier NV tel que si n Nv alors xnV.
Supposer alors que (xn) possède deux limites distinctes x et x'. et montrer que si E est séparé, alors x = x'.

  On doit aussi un axiome de séparation à Kolmogorov, dit T0, plus faible que celui de Fréchet : dans un espace "abstrait" , muni d'une distance d, un voisinage V d'un élément x est l'ensemble des points y de tels que d(x,y) h, h > 0.

Un espace topologique muni de T0 est parfois appelé espace de Kolmogorov. On parlait à l'époque de sphéroïdes pour signifier que cela ressemble à une sphère (du grec eidos = forme). On parle aujourd'hui plus volontiers de boule de centre x, de rayon h.

Rappelons ici qu'un espace métrique est dit séparable lorsqu'il contient une partie dense et dénombrable. Un espace topologique E est dit métrisable s'il existe une distance dans E compatible avec sa topologie T : c'est à dire que la topologie définie par cette distance n'est autre que T.

En savoir un peu plus sur les espaces métriques et ce vocabulaire :

Filtre de Fréchet :

On nomme ainsi le filtre des complémentaires des parties finies de N, que Fréchet introduisit implicitement dans sa thèse de 1906 (Sur quelques points du calcul fonctionnel) :

Henri Cartan et la notion de filtre :

Pour en savoir plus :

  1. PAGES CHOISIES D'ANALYSE GÉNÉRALE, Maurice Fréchet, Éd. Gauthier-Villars, Paris & E. Nauwelaerts, Louvain - 1953

  2. Les Espaces Abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l'analyse générale
    par
    Maurice Fréchet, Éd. Gauthier-Villars, Paris - 1928  aussi réf.5 et 6
  3. Introduction à la topologie combinatoire, Maurice Fréchet et Ky Fan, Paris -1946 (surfaces closes et leur classification).
  4. Sur les espaces abstraits, M. Fréchet, Annales scientifiques de l'ENS, 1921 :
    http://archive.numdam.org/article/ASENS_1921_3_38__341_0.pdf
  5. Les dimensions d'un ensemble abstrait, Maurice Fréchet :
    http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002263041
  6. L'analyse générale et les espaces abstraits, conférence de M. Fréchet au CIM de 1928 :
    http://www.mathunion.org/ICM/ICM1928.1/Main/icm1928.1.0267.0274.ocr.pdf
  7. Correspondances de Fréchet (entre 1907 et 1926) et son apport à la théorie de la dimension,
    par Hélène Gispert (Orsay - Université Paris-Sud), Cahier du séminaire d'histoire des mathématiques 1980) :
    http://archive.numdam.org/article/CSHM_1980__1__69_0.pdf
  8. Quelques publications de Maurice Fréchet numérisés sur Numdam, dont Sur les espaces abstraits (1921) :
    http://www.numdam.org/search/Fréchet Maurice-a
  9. Maurice Fréchet statisticien, enquêteur et agitateur public par Michel Armatte (université Paris-Dauphine) :
    http://smf4.emath.fr/Publications/RevueHistoireMath/7/pdf/smf_rhm_7_7-65.pdf
  10. History of the separation axioms : http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_separation_axioms (Wikipédia).
  11. La notion de fermeture et les axiomes de séparation, par Antonio Monteiro (1941) : http://purl.pt/2102/1/P2.html


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