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Théorème des résidus

La théorie des résidus et des fonctions de variable complexe, dont la paternité revient à Cauchy, est complexe... On aborde ici une application au calcul des intégrales en se plaçant dans un cas simple d'énoncé du théorème des résidus.

Dans le plan complexe K, soit f une fonction holomorphe (dérivable au sens complexe) sauf en un nombre fini de points z1, z2, ... de K qui sont des pôles pour la fonction f : fonction méromorphe. On note (C) un contour inclus dans K (courbe fermée sans point double et continument différentiable) entourant un domaine D contenant ces pôles (ci-dessous deux pôles).

Dans ces conditions, f est développable en série de Laurent au voisinage de chaque pôle zk : il existe pour chacun des zk un voisinage Vk de celui-ci et une suite (an,k) telle que, pour tout z de Vk :

Notons que les an,k pour n négatifs, ne peuvent pas être tous nuls du fait que zk est un pôle de f.

En particulier :

Le coefficient  rk = a-1,k de 1/(z - zk) est non nul. On l'appelle résidu de f au point zk.

Théorème 1, dit "des résidus" :   

Avec les hypothèses et notations ci-dessus, le théorème des résidus s'énonce alors :

        Intégrale complexe

Théorème 2 :    

Toujours avec les mêmes hypothèses, on suppose que z1 est un pôle simple de f. Alors :

le résidu r1 = a-1,1 n'est autre que la limite en z1 de (z - z1)f(z)

Preuve : en effet, le développement de f en série de Laurent au voisinage de chaque pôle z1 est du type : f(z) = ... 0 + ... + a-1,1(z - z1)-1 + ao,1 + a1,1(z - z1) + a2,1(z - z1)2 + ... Donc en multipliant par (z - z1) et en faisant tendre z vers z1, on a le résultat annoncé.

Théorème 3 :    

Dans les conditions et notations du théorème 2, on note de plus (γ) l'arc de cercle de centre z1 de rayon R, d'ouverture θ, alors :

  

Théorème 4 (également appelé lemme de Jordan) :   

Si f est continue sur un cercle de centre zo, de rayon R et si la limite de |(z - zo) f(z)| est nulle lorsque
R tend vers l'infini, alors l'intégrale sur tout arc de ce cercle est nulle.

Pour une preuve de ces résultats fondamentaux, on pourra consulter les manuels, traités et liens donnés en référence.

Exemple d'application :    

Le bel exemple suivant est emprunté au Cours de mathématiques de Jean Bass, montre tout l'intérêt du théorème des résidus dans le calcul d'une intégrale pour laquelle on ne sait pas facilement (ou pas du tout) trouver de primitive. Soit à calculer :

Le calcul de cette intégrale exige une décomposition pénible en éléments simples ou l'usage des fonctions eulériennes. Le théorème des résidus va considérablement simplifier son calcul :

Notons J l'intégrale de f(z) = 1/(z4 + 1) sur le contour constitué du demi-cercle (c) supérieur centré en 0 de rayon R > 1 et du segment réel [-R,+R]. Ce contour contient deux pôles de f : les racines 4èmes de -1 d'ordonnées positives, que nous notons ici z1 et z2 qui sont solutions de l'équation z4 = -1 :

z1 = 2(1 + i)/2 et z2 = 2(-1 + i)/2

Par linéarité et en faisant tendre R vers l'infini, selon le théorème des résidus, on a : J = 2iπ(r1 + r2) = 2I + K où K désigne l'intégrale de f sur le demi-cercle (c) de rayon "infini" R, 2I s'expliquant par parité : l'intégrale de f sur R tout entier est le double de I.

D'après le théorème 4 énoncé ci-dessus, l'intégrale K est nulle (les conditions sont clairement remplies) et par suite I = iπ(r1 + r2). Reste à calculer les résidus r1 et r2 .

Dans notre cas, f(z) = 1/(z4 + 1), on peut calculer r1 en appliquant la règle de l'Hospital puisque z - z1 et z4 + 1 s'annulent en z1. D'où r1 = 1/4z13 = -z1/4 puisque z14 = - 1. Un calcul analogue fournit r2 = -z2/4. Par suite r1 + r2 = -2ri/4 = -ri/2, ce qui fournit I = iπ(r1 + r2) = -iπ(z1 + z2)/4. Finalement :


 

Pour en savoir plus  :

  1. Cours de mathématiques, tome II, par Jean Bass, Éd. Masson et Cie - Paris, 1964.
  2. Calcul différentiel et complexe, par Daniel Leborgne - Que sais-je ?, n° 2560, P.U.F. , 2è édition corrigée - 1996
  3. Lemmes de Jordan et applications des résidus au calcul intégral et à la sommation des séries : cours de Claude Aslangul
    (professeur à l'UPMC) sur librecours.org   : http://www.librecours.org/documents/5/501.pdf
  4. Des MathÉmatiques pour les Sciences, Claude Aslangul, concepts, méthodes et techniques pour la modélisation.
    Éd. De Boeck - Bruxelles, 2011
  5. Fonctions d'une variables complexe, cours de Pierre Pansu, univ. Paris Sud (Orsay), 2011 :
    https://www.math.u-psud.fr/~pansu/web_ifips/varcomp.pdf
  6. Théorème des résidus et applications par Karim Bekka, univ. Rennes 1 :
    https://perso.univ-rennes1.fr/karim.bekka/CDHO/Week by week/CDHO12.pdf


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