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RICCATI Jacopo Francesco, italien, 1676-1754

On ne le confondra pas avec son fils Riccati Vincenzo.

Natif de Venise, issu de la noblesse vénitienne, le comte Jacopo Riccati fut un physicien, ingénieur en hydraulique, spécialité qu'il met au service de la régulation des eaux des canaux de la célèbre cité. Ses recherches en acoustique le conduisent à résoudre des équations différentielles du second ordre en les réduisant au 1er ordre et plus généralement à rechercher des méthodes de séparation des variables afin d'obtenir les solutions par simples quadratures.

Ses travaux furent publiés après sa mort par ses fils à partir de 1764 sous le titre Opere del conte Jacopo Riccati (4 volumes édités à Lucca, Lucques en français). On y rencontre l'équation différentielle du second ordre qui porte son nom et qu'il soumit aux Bernoulli et à Goldbach face à la difficulté de sa résolution dans le cas général.

Équation de Riccati :

Il s'agit de l'équation différentielle du premier ordre de la forme :

y' = A(x)y2 + B(x)y + C(x) , xJ          (e1)

où A, B et C désignent des fonctions numériques continues sur l'intervalle J de recherche des solutions et A(x) ≠ 0 xJ. Cette difficile équation, introduite en 1722 sous la forme restreinte :

y' = ay2 + bxm           (e2)

ne fut résolue que partiellement par son auteur et par les Bernoulli, Nicolas 1er et Daniel, tout particulièrement en collaboration avec Goldbach (1724).

Liouville prouva (1841) qu'en dehors du cas m = (- 4 h)/(2 h ± 1) dont il est fait état ci-après par d'Alembert, l'équation (e2) n'est pas résoluble par quadratures (simple intégration).

Toutefois :   

  Si une solution particulière yo de l'équation initiales (1) est connue, en posant y = z + yo, on est conduit à :

z' = A(x)z2 + D(x)z   avec D(x) = 2A(x)yo + B(x)

L'équation de Riccati se ramène ainsi à la résolution d'un cas simple d'équation de Bernoulli que l'on intègre généralement facilement par le nouveau changement de variable u = 1/z : en effet, on a z2 = 1/u2 et z' = -u'/u2, ce qui ramène à la résolution d'une équation différentielle linéaire en u que l'on résout par la méthode de la variation de la constante :

u' + D(x)u + A(x) = 0

  Si deux solutions particulières yo et y1 de l'équation initiale (1) sont connues, on obtient la solution générale sans aucune quadrature car la méthode de la variation de la constante, fournissant y1 dans le cas précédent, n'est plus de mise.

  Le cas particulier de l'équation de Riccati où C(x) est identiquement nul, à savoir :

y' = A(x)y2 + B(x)y

se résout de la manière suivante : on pose y = uz où u et z sont des fonctions de x, u devant être convenablement choisi avec u(x) distinct de 0 pour tout x. On doit avoir  y' = u'z + uz'. On reporte et on obtient  :

uz' = A(x)u2z2 + [B(x)u - u')]z

Forçons u' = B(x)u, équation linéaire homogène du 1er ordre que l'on sait résoudre par quadrature dont une solution est (constante d'intégration égale à 1 ) :

L'équation se réduit alors à z' = A(x)u(x)z2 que l'on sait résoudre par quadrature. Voici un exemple :


1.  Résoudre par la méthode indiquée y' = λy + y2 ,  y(0) = λ. On trouve facilement que l'on peut choisir u = eλx.
Il reste à résoudre z'/z2 = eλx et fournissant 1/z = -e-λx/λ + k . La condition posée conduit à
λk = 2 et à y = λ/(2e-λx - 1).

2.  Résoudre la même équation en posant cette fois y = 1/z.
On obtiendra z' + λz = -1, équ. diff. linéaire du 1er ordre conduisant à z = k.e-λx, puis variation de la constante qui fournit z = C.e-λx -1/λ.
La condition posée conduira à λC = 2 et à y = l/(2e-λx - 1).

Proposition :    

Toute équation de Riccati peut se ramener à une équation différentielle linéaire homogène du second ordre

Preuve :  En posant z = yA(x), l'équation de Riccati y' = A(x)y2 + B(x)y + C(x) devient z'A(x) - zA'(x) = A(x)z2 + A(x)B(x)z + A(x)C(x). Posons maintenant z = Y'/Y; on obtient A(x)Y'' + [A(x)B(x) - A'(x)]Y' + A(x)C(x)Y = 0.

  Noter que par changement de variables inverses, toute équation différentielle linéaire homogène du second ordre peut se ramener à une équation de Riccati.

Note historique :    

Dans la célèbre Encyclopédie, Dictionnaire raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers publiée sous la direction de Diderot, d'Alembert écrit (méthode de Daniel Bernoulli, 1724) :

RICCATI (équation de) Algèbre. Calcul intégral. On appelle ainsi une équation différentielle du premier ordre à deux variables que le comte Riccati proposa aux géomètres vers 1720, & dont personne n'a encore donné de solution générale. Peut-être n'est-elle pas susceptible d'en avoir une en termes finis.

Cette équation est de la forme dy + y2dx + a xmdx = 0. On a trouvé que toutes les fois m = (- 4 h)/(2 h ± 1), h étant un nombre entier positif, la proposée se réduisait à dy' + y'2dx' + a'dx' = 0, d'où l'on tire a'dx' = - (sdy')/(1 + y2'); pour le prouver, il suffit de faire y égal à y'x' p + cx' q + ex' r... & x = a'x' n, & on trouvera des valeurs de q, r, &c. telles que la réduction ait lieu, la valeur de y en y ' & x ' n'étant qu'en nombre fini de termes.


Jones  Machin
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