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RICCATI Jacopo Francesco, italien, 1676-1754

On ne le confondra pas avec son fils Ricatti Vincenzo.

Natif de Venise, issu de la noblesse vénitienne, le comte Jacopo Ricatti fut un physicien, ingénieur en hydraulique, spécialité qu'il met au service de la régulation des eaux des canaux de la célèbre cité. Ses recherches en acoustique le conduisent à résoudre des équations différentielles du second ordre en les réduisant au 1er ordre et plus généralement à rechercher des méthodes de séparation des variables afin d'obtenir les solutions par simples quadratures.

Ses travaux furent publiés après sa mort par ses fils à partir de 1764 sous le titre Opere del conte Jacopo Riccati (4 volumes édités à Lucca, Lucques en français). On y rencontre l'équation différentielle du second ordre qui porte son nom et qu'il soumit aux Bernoulli et à Goldbach face à la difficulté de sa résolution dans le cas général :

Équation de Riccati :

Il s'agit de l'équation différentielle du premier ordre de la forme :

y' = A(x)y2 + B(x)y + C(x)           (e1)

Cette difficile équation, introduite en 1722 sous la forme restreinte

y' = ay2 + bxm           (e2)

ne fut résolue que partiellement par son auteur et par les Bernoulli, Nicolas 1er et Daniel tout particulièrement en collaboration avec Goldbach (1724).

Liouville prouva (1841) qu'en dehors du cas m = (- 4 h)/(2 h ± 1) dont il est fait état ci-après, l'équation (e2) n'est pas résoluble par quadratures.

  Si une solution particulière yo de l'équation (1) est connue, en posant y = z + yo, on est conduit à :

z' = A(x)z2 + D(x)z avec D(x) = 2A(x)yo + B(x)

L'équation de Riccati se ramène donc à la résolution d'une équation de Bernoulli que l'on intègre généralement par le nouveau changement de variable u = 1/z ramenant la résolution à celle d'une équation linéaire.

Le cas particulier de l'équation de Riccati où C(x) est identiquement nul :

y' = A(x)y2 + B(x)y

se résout également de la manière suivante : on pose y = uz où u et z sont des fonctions de x, u devant être convenablement choisi avec u(x) distinct de 0 pour tout x.

Le choix de u est ainsi déterminé : on a y' = u'z + uz'. On reporte et on obtient  :

uz' = A(x)u2z2 + [B(x)u - u')]z

forçons u' = B(x)u : équation linéaire homogène du 1er ordre que l'on sait résoudre par quadrature dont une solution est (constante d'intégration égale à 1 ) :

L'équation se réduit alors à :

z' = A(x)u(x)z2

que l'on sait résoudre par quadrature. Voici un exemple :


1.  Résoudre par la méthode indiquée y' = λy + y2 ,  y(0) = λ
On trouve facilement que l'on peut choisir u = eλx. Il reste à résoudre z'/z2 = eλx et fournissant 1/z = -e-λx/λ + k
La condition posée conduira à
λk = 2 et à y = λ/(2e-λx - 1).

2.  Résoudre la même équation en posant cette fois y = 1/z.
On trouvera sans difficulté z' + λz = -1, équ. diff. du 1er ordre que l'on résout par la méthode habituelle (résolution de l'équation sans second membre (z = k.e-λx), puis variation de la constante qui fournit z = C.e-λx -1/λ. La condition posée conduira à λC = 2 et à y = l/(2e-λx - 1).

Note historique :       

Dans la célèbre Encyclopédie, Dictionnaire raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers publiée sous la direction de Diderot, d'Alembert écrit (méthode de Daniel Bernoulli, 1724) :

RICATI (équation de) Algèbre. Calcul intégral. On appelle ainsi une équation différentielle du premier ordre à deux variables que le comte Riccati proposa aux géomètres vers 1720, & dont personne n'a encore donné de solution générale. Peut-être n'est-elle pas susceptible d'en avoir une en termes finis.

Cette équation est de la forme

dy + y2 dx + a xm dx = 0

On a trouvé que toutes les fois m = (- 4 h)/(2 h ± 1), h étant un nombre entier positif, la proposée se réduisait à dy' + y'2dx' + a'dx' = 0, d'où l'on tire a' dx' = - (s dy')/(1 + y2'), pour le prouver, il suffit de faire y égal à y' x' p + c x' q + e x' r... & x = a' x' n, & on trouvera des valeurs de q, r, &c. telles que la réduction ait lieu, la valeur de y en y '& x ' n'étant qu'en nombre fini de termes.


Jones  Machin
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