ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

MÖBIUS Augustus Ferdinand, allemand, 1790-1868
          Alphonse de Lamartine, poète & écrivain français (1790-1869) | ruban de Möbius

Möbius étudia à Halle, à GöttingenGauss fut son professeur, et à Leipzig où il obtint (1815) son doctorat d'Astronomie dirigé par Pfaff. Professeur d'astronomie à Leipzig, il en rénova l'observatoire et le dirigea en 1821.

Mais sa matière de prédilection fut les mathématiques et ses recherches qu'il mena parallèlement à son poste d'astronome ne furent pas des moindres. Publiés dans le journal de Crelle, ses travaux portèrent essentiellement sur la géométrie projective et la géométrie différentielle : étude des surfaces qu'avait déjà rénovée Gauss où il introduit son célèbre ruban non orientable, touchant donc ainsi à un problème fondamental de topologie.

Aux origines de la topologie :

L'introduction des transformations projectives et de nouvelles coordonnées dites homogènes vont complètement rénover l'étude de perspective initiée par Pappus et Désargues.

On attribue à Möbius et Chasles le concept de segment orienté AB (qui sera appelé vecteur par Hamilton en 1843) auquel on attribue une mesure (algébrique). La formule, dite "de Chasles" fut énoncée antérieurement par Argand dans la construction du plan complexe.

Le calcul barycentrique :

Dans son traité Le calcul barycentrique, nouveau moyen de traiter la géométrie analytiquement (Der barycentrische calcul, 1827), Möbius introduit les coordonnées barycentriques, et les coordonnées homogènes, invariantes par perspective (car fondées sur l'invariance du birapport de quatre points alignés), permettant une définition analytique des transformations projectives et d'établir le lien avec la géométrie affine, laquelle apparaît sous-jacente.

Cette vision analytique de la géométrie, pourtant fort belle, et se libérant d'axes de coordonnées fixes souvent plus encombrants que pratiques, sera critiquée par Von Staudt attachée à une géométrie synthétique (excluant l'aspect analytique des coordonnées) mais confortée par Plücker.

Si l'on peut considérer Möbius comme fondateur d'une théorie moderne du barycentre, (enseignée de façon élémentaire dès la classe de 1ère S), il faut noter qu'en physique, le calcul barycentrique fut introduit bien auparavant dans les travaux de mécanique de Guldin et de König. Sans oublier l'illustre initiateur du concept de centre de gravité des figures planes et des solides : Archimède et Leibniz qui en développa les propriétés mathématiques

Si la paternité de l'adjectif barycentrique peut être attribuée à Möbius, selon Larousse, le terme barycentre n'aurait été introduit en physique qu'en 1877 (par ???) pour signifier centre de gravité (du grec barus = pesant) et ne fut introduit en mathématiques qu'en 1928 (par ???). A l'aide, Aiuto, Help, Hilfe : toute notre reconnaissance à qui saura remplacer ces ???...


Coordonnées barycentriques homogènes (affines) :                Coordonnées projectives homogènes :

 
Les transformations projectives (ou transformations homographiques) et les transformations de Möbius :

Dans le cadre de la géométrie projective, Möbius, en Allemagne, développe la notion de transformation projective conservant l'alignement et le birapport de quatre points alignés, indépendamment de Chasles, en France, qui préféra l'appellation transformation homographique :

  Chasles

Transformation de Möbius (fonction homographique complexe) :    

Au sens élémentaire, l'homographie prête son nom aux représentations graphiques des fonctions numériques étudiées au lycée dès la classe de seconde; si a, b, c et d désignent des nombres réels, elle est définie par :

Dans un repère orthonormé du plan, les courbes correspondantes sont des hyperboles dont les deux branches sont isométriques (hyperboles équilatères). Lorsque la variable complexe z remplace le réel x dans l'écriture homographique (1) et si a, b, c et d désignent des nombres complexes, en écrivant encore :

        (3)

on définit une transformation T du plan, transformation de Möbius, en identifiant un point M(x,y) du plan au complexe z = x + iy.

La transformation de Möbius permet d'exprimer l'inversion géométrique, transformation involutive du plan : bijection coïncidant avec sa réciproque. En effet, la transformation z1/z = z/|z|2 également dite inversion complexe ou  inversion indirecte est la composée d'une inversion de pôle O  (z z/|z|2 , de centre O de puissance 1, voyez ici) suivie de la symétrie par rapport à l'axe réel.

Inversion géométrique, cercle d'inversion et division harmonique :


On peut donner une écriture plus linéaire de cette transformation en l'écrivant sous la forme : αzz' + βz + γz' + δ = 0 , α 0
a) Montrer que H est involutive si et seulement si β = γ
b) Dans le cas α = 1, β = γ = 2i, δ = -12 , on note M et M' les images respectives de z et z' dans le plan complexe.
Rechercher les points invariants de H. Rapporter l'origine au point A(0,-2) et préciser la nature géométrique de H.

Une transformation de Möbius transformation (3) peut être une transformation affine :

     Möbius Transformations Revealed sur YouTube :

On peut se rendre compte du lien entre les transformations projectives et l'homographie au sens élémentaire rappelé ci-dessus dans un cas simple : en géométrie affine, un point M d'une droite (d) est parfaitement défini par son abscisse dans un repère (A,B) de (d) mais la perspective (projection centrale) va modifier cette abscisse. Considérons alors un point C autre que A et B. Notons a, b, c et x les abscisses de A, B, C et M dans un repère affine quelconque de (d). Le triplet (A,B,C) étant fixé, M est parfaitement déterminé par le birapport :

         (2)

Le réel u est invariant par perspective. C'est une fonction homographique de x.


Forme complexe de l'inversion géométrique , expression analytique d'une inversion , inverse d'un cercle passant par le pôle

Les transformations affines :

Le célèbre ruban (ou anneau) de Möbius (1858) :

Je suis un ruban de Möbius : surface fermée, non orientable (ni dessus ni dessous). Tout comme ci-contre, on peut en obtenir facilement une approximation : coller un ruban de papier ou de carton souple par ses extrémités en retournant la première.

"Je suis" est écrit "dessus" ou "dessous" ???

Contraintes technique de réalisation : Notons que retourner le ruban de papier ou carton n'est pas toujours chose possible sans prendre le risque de déchirer ledit ruban. On démontre que si le rapport de la longueur L à la largeur est au moins égal à 3, le retournement devrait "bien" se passer. Plus précisément, la valeur minimale de L/ est comprise dans l'intervalle [π/2,3]. Tout dépend aussi, évidemment, de la rigidité dans le cas d'un carton, voire d'une tôle !

De prime abord, on estime que toute surface ou volume fermés possède un "intérieur" et un "extérieur". Ainsi, se promenant à l'intérieur, on ne passe pas sans discontinuité à l'extérieur : entendons par là qu'il doit se passer quelque chose de remarquable en passant de l'un à l'autre.

Or, se promenant le long d'un ruban de Möbius, le bord qui était à votre droite devient le bord gauche (ou encore : le bord du dessus devient le bord du dessous). Vous passez continûment, sans vous en apercevoir, de l'intérieur à l'extérieur, du "dessus" à "dessous" : cette surface ne possède (mathématiquement) ni l'un ni l'autre.

C'est une propriété topologique surprenante remarquée par Listing à la même époque. Non moins surprenante est la propriété que vous observerez en découpant le ruban en suivant un chemin médian...

Le principe du ruban est encore  utilisé (image de gauche) dans la transmission croisée par courroie de certaines machines industrielles (menuiserie, anciennes moissonneuses-batteuses, etc.) afin d'obtenir une rotation inverse entre poulie entraineuse et poulie entraînée (ci-dessous à gauche) et aussi d'éviter d'user qu'une face de la courroie.


 Source image : IUFM  technologie Montpellier

On remarquera aussi que le ruban sert de logo pour les produits recyclables !

La forme "équilatérale" sera obtenue en "pinçant" un ruban de Möbius en 3 endroits équidistants.

  Klein , Riemann , Jordan , Hausdorff , Poincaré

Étude d'une équation paramétrique du ruban :          Ruban de Möbius sur YouTube#1 , #2


Ruban de Möbius 3D (Mihama, Japon) - Sculpture de K. Ushio

Fonction μ de Möbius, ou nombres de Möbius :

 Il s'agit de la fonction arithmétique définie de N* dans {-1,0,1} par :

Si n et m sont premiers entre eux, la fonction µ est multiplicative : μ(nm) = μ(n)μ(m). Elle n'est pas complètement multiplicative : μ(2) = -1, μ(6) = 1 mais  μ(12)  = 0 : répétition du facteur premier 2.

Les fonctions f : n nα , α réel positif, sont complètement multiplicatives. Erdös a montré que toute application multiplicative croissante est complètement multiplicative est de cette forme.

Nombres de Möbius et distribution des nombres premiers :               Dirichlet


Pour en savoir plus :


Cauchy   Peacock
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