On attribue à Möbius et Chasles le concept de segment orienté AB (qui sera appelé vecteur par Hamilton en 1843) auquel on attribue une mesure (algébrique). La formule, dite "de Chasles" fut énoncée antérieurement par Argand dans la construction du plan complexe.

Cette vision analytique de la géométrie, pourtant fort belle, et se libérant d'axes de coordonnées fixes souvent plus encombrants que pratiques, sera critiquée par Von Staudt attachée à une géométrie synthétique (excluant l'aspect analytique des coordonnées) mais confortée par Plücker.

Si l'on peut considérer Möbius comme fondateur d'une théorie moderne du barycentre, (enseignée de façon élémentaire dès la classe de 1ère S), il faut noter qu'en physique, le calcul barycentrique fut introduit bien auparavant dans les travaux de mécanique de Guldin et de König. Sans oublier l'illustre initiateur du concept de centre de gravité des figures planes et des solides : Archimède et Leibniz qui en développa les propriétés mathématiques

Si la paternité de l'adjectif barycentrique peut être attribuée à Möbius, selon Larousse, le terme barycentre n'aurait été introduit en physique qu'en 1877 (par ???) pour signifier centre de gravité (du grec barus = pesant) et ne fut introduit en mathématiques qu'en 1928 (par ???). A l'aide, Aiuto, Help, Hilfe : toute notre reconnaissance à qui saura remplacer ces ???...

Coordonnées barycentriques homogènes (affines) : Coordonnées projectives homogènes :
 

Dans le cadre de la géométrie projective, Möbius, en Allemagne, développe la notion de transformation projective conservant l'alignement et le birapport de quatre points alignés, indépendamment de Chasles, en France, qui préféra l'appellation transformation homographique.

On peut se rendre compte du lien entre les transformations projectives et l'homographie au sens élémentaire rappelé ci-dessus dans un cas simple : en géométrie affine, un point M d'une droite (d) est parfaitement défini par son abscisse dans un repère (A,B) de (d) mais la perspective (projection centrale) va modifier cette abscisse. Considérons alors un point C autre que A et B. Notons a, b, c et x les abscisses de A, B, C et M dans un repère affine quelconque de (d). Le triplet (A,B,C) étant fixé, M est parfaitement déterminé par le birapport :

on définit une transformation T du plan en identifiant un point M(x,y) du plan au complexe z = x + iy. La transformation de Möbius, également dite inversion complexe ou  inversion indirecte (a = 0 et bc non nul) :  z1/z = z/|z|²   = z/| z |², est la composée d'une inversion de pôle O  (z z/|z|² , de centre O de puissance 1) suivie de la symétrie par rapport à l'axe réel.

La transformation (3) peut être une transformation affine :

• Translation (a = d = 1, c = 0);

• Similitude directe (a non nul, c = 0, d = 1) dont les rotations, homothéties et dilatations.

Je suis un ruban de Möbius : surface fermée non orientable dont on peut obtenir facilement une approximation : coller un ruban de papier ou de carton souple par ses extrémités en retournant la première).

De prime abord, on estime que toute surface ou volume fermés possède un "intérieur" et un "extérieur". Ainsi, se promenant à l'intérieur, on ne passe pas sans discontinuité à l'extérieur : entendons par là qu'il doit se passer quelque chose de remarquable en passant de l'un à l'autre.

Or, se promenant le long d'un ruban de Möbius, le bord qui était à votre droite devient le bord gauche (ou encore : le bord du dessus devient le bord du dessous). Vous passez continûment, sans vous en apercevoir, de l'intérieur à l'extérieur, du "dessus" à "dessous" : cette surface ne possède (mathématiquement) ni l'un ni l'autre. C'est une propriété topologique surprenante remarquée par Listing à la même époque. Non moins surprenante est la propriété que vous observerez en découpant le ruban en suivant un chemin médian...

Le principe du ruban est encore  utilisé (image de gauche) dans la transmission croisée par courroie de certaines machines industrielles (menuiserie, anciennes moissonneuses-batteuses, etc.) afin d'obtenir une rotation inverse entre poulie entraineuse et poulie entraînée (ci-dessous à gauche) et aussi d'éviter d'user qu'une face de la courroie.

      Source image : IUFM  technologie Montpellier

On remarquera aussi que le ruban sert de logo pour les produits recyclables ! La forme "équilatérale" sera obtenue en "pinçant" un ruban de Möbius en 3 endroits équidistants.