ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Loi de Cauchy  (distribution de probabilités)       loi continue     niveau Sup

On considère un point M point placé aléatoirement sur le cercle (c) ci-dessus, supposé de rayon 1. Il est repéré par l'angle θ.

La demi droite [PM) coupe l'axe des abscisses en A d'abscisse x. L'abscisse de A est une variable aléatoire X.

On demande d'établir la loi de probabilité de X (densité).

Indications : 

La distribution de θ est uniforme et la circonférence de (c) est 2π. Avec les notations de la figure ci-dessous, si T est la variable aléatoire associée, sa densité est alors 1/2π (1 sur 2π) et sa distribution de probabilité est régie par :

 

En se plaçant dans le triangle OMP, on constate que  x = tan(π/4 + θ/2), donc :

θ/2 = Atan x - π/4

Par suite :

dθ = 2dx/(1 + x2)

D'où :

Prob(x < X < x + dx) = Prob(θ < T < θ + dθ) = 1/πdx/(1 + x2).

X suit donc la  loi de Cauchy de densité :

 

Une autre construction de densité, la loi exponentielle :


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