ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LEBESGUE Henri Léon, français, 1875-1941

Le jeune Henri eut une jeunesse difficile : son père, typographe, meurt de la tuberculose ainsi que ses deux sœurs. Grace au dévouement de sa mère, il poursuit de brillantes étude et est admis à l'École normale supérieure de Paris (1894). Il eut Émile Borel comme professeur (à qui l'on doit les premiers travaux conséquents en théorie de la mesure) et qui dirigea sa thèse à Nancy (Intégration, longueur, aire, 1902) portant sur l'intégration et annonçant ses futurs travaux.

Après quelques années au lycée de Nancy (1899-1902), Lebesgue enseignera à Rennes. C'est pendant cette période qu'il se fera connaître par son élégante théorie de la mesure. Mais une brouille s'établira avec Borel à propos de la paternité de cette théorie. Professeur à Poitiers, à la Sorbonne (1910-1921) puis au collège de France, il sera élu à l'Académie des sciences en 1922.

Par sa théorie des fonctions mesurables (1901) s’appuyant sur les
tribus boréliennes (du nom du mathématicien Emile Borel), Lebesgue a profondément remanié et généralisé le calcul intégral. Sa théorie de l'intégration (1902-1904) répond aux besoins des physiciens en permettant la recherche et l'existence de primitives pour des fonctions "irrégulières" auxquelles l'intégrale de Riemann ne pouvait s'appliquer.

Dans ses Leçons sur les séries trigonométriques (1906), Lebesgue précisera tout l'intérêt de son intégrale pour l'étude des séries de Fourier et le calcul des coefficients.

L'intégrale de Lebesgue recouvre les différentes théories jusqu'ici avancées et apparaissant comme des cas particuliers :

Mais la saga de l'intégration n'est pas terminée car quelques années plus tard, face à la demande des physiciens en analyse de Fourier, le français Arnaud Denjoy (1884-1974) et l'allemand Oskar Perron (1880-1975) présenteront (indépendamment) une généralisation de l'intégrale de Lebesgue au cas des fonctions à variation non bornée. Sans oublier la mesure et l'intégrale de l'anglais John Daniell (1889-1946).

Vocabulaire des fonctions mesurables et définition de l'intégrale de Lebesgue limitée au cas réel :

Théorème Fatou-Lebesgue :

Également appelé de convergence dominée , ce résultat stipule que : si (fn) est une suite de fonctions intégrables, majorée en module par une fonction intégrable et convergeant presque partout vers f, alors f est µ-intégrable, µ désignant la mesure de Lebesgue définie ci-dessus) et :

 

C'est dire que μ(fn) tend vers μ(fn) au sens usuel des suites. Mais on a aussi, avec les hypothèses de ce théorème, : μ(|fn - f|) tendant vers 0. On parle alors de convergence en moyenne de fn vers f. Lorsque μ(|fn - f|2) tend vers 0, soit |fn - f|2dμ ou, de façon élémentaire [fn(x) - f(x)]2dx, on parle de convergence en moyenne quadratique.

Fatou      Espaces L2 :        Polynômes de Legendre et convergence en moyenne quadratique :


Pour en savoir plus :

  1. Publications de Henri Lebesgue numérisées sur le site Numdam :
    http://www.numdam.org/search/Lebesgue Henri-q
  2. Calcul intégral, par Alain Guichardet - Maîtrise de mathématiques C2, Coll. U, Armand Colin, Paris - 1969.
  3. Théorie des fonctions, par G. Valiron, Ch.5, Notions sur l'intégrale de Lebesgue
  4. Théorie de la mesure et intégration (niveau licence L3), par Amaury Lambert, univ. UPMC :
    http://www.proba.jussieu.fr/dw/lib/exe/fetch.php?media=users:amaury:jacod.pdf
  5. L'intégrale,  par Paul Deheuvels, Que sais-je ?, n° 2250, P.U.F. Réédité format poche.
  6. Intégrale de Lebesgue : https://perso.univ-rennes1.fr/jean-christophe.breton/Fichiers/Integrale_Lebesgue.pdf
    un cours très complet comprenant de nombreux développements et résultats en théorie de la mesure
  7. Le centenaire de l'intégrale de Lebesgue, par G. Choquet, J.-M. Bony et G. Lebeau (Acad. Sc, 2001) :
    http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cuerva/Lebesgue-CRAS.pdf
  8. L'évolution de la notion d'intégrale depuis Lebesgue (1949) par  Frédéric Riesz :
    http://archive.numdam.org/article/AIF_1949__1__29_0.pdf


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