ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LEBESGUE Henri Léon, français, 1875-1941

Ancien élève de l'E.N.S., il eut Émile Borel comme professeur (à qui l'on doit les premiers travaux conséquents en théorie de la mesure) et directeur de thèse à Nancy (Intégration, longueur, aire, 1902) portant sur l'intégration et annonçant ses futurs travaux.

Après quelques années au lycée de Nancy, Lebesgue enseignera à Rennes. C'est pendant cette période qu'il se fera connaître par son élégante théorie de la mesure. Mais une brouille s'établira avec Borel à propos de la paternité de cette théorie. Professeur à la Sorbonne puis au collège de France, il sera élu à l'Académie des sciences en 1922.

Par sa théorie des fonctions mesurables (1901) s’appuyant sur les
tribus boréliennes (du nom du mathématicien Emile Borel), Lebesgue a profondément remanié et généralisé le calcul intégral. Sa théorie de l'intégration (1902-1904) répond aux besoins des physiciens en permettant la recherche et l'existence de primitives pour des fonctions "irrégulières" auxquelles l'intégrale de Riemann ne pouvait s'appliquer.

Dans ses Leçons sur les séries trigonométriques (1906), Lebesgue précisera tout l'intérêt de son intégrale pour l'étude des séries de Fourier et le calcul des coefficients.

L'intégrale de Lebesgue recouvre les différentes théories jusqu'ici avancées et apparaissant comme des cas particuliers :

Mais la saga de l'intégration n'est pas terminée car quelques années plus tard, face à la demande des physiciens en analyse de Fourier, le français Denjoy (1884-1974) et l'allemand Oskar Perron (1880-1975) présenteront (indépendamment) une généralisation de l'intégrale de Lebesgue au cas des fonctions à variation non bornée. Sans oublier la mesure et l'intégrale de l'anglais Daniell (1889-1946).

Vocabulaire des fonctions mesurables et définition de l'intégrale de Lebesgue limitée au cas réel :

Théorème Fatou-Lebesgue :

Également appelé de convergence dominée , ce résultat stipule que : si (fn) est une suite de fonctions intégrables, majorée en module par une fonction intégrable et convergeant presque partout vers f, alors f est µ-intégrable, µ désignant la mesure de Lebesgue définie ci-dessus) et :

 

C'est dire que μ(fn) tend vers μ(fn) au sens usuel des suites. Mais on a aussi, avec les hypothèses de ce théorème, : μ(|fn - f|) tendant vers 0. On parle alors de convergence en moyenne de fn vers f. Lorsque μ(|fn - f|2) tend vers 0, soit |fn - f|2dμ ou, de façon élémentaire [fn(x) - f(x)]2dx, on parle de convergence en moyenne quadratique.

Fatou      Espaces L2 :        Polynômes de Legendre et convergence en moyenne quadratique :


Pour en savoir plus :


Fischer  Levi
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