ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LEBESGUE Henri Léon, français, 1875-1941

Né à Beauvais (Oise) , le jeune Henri eut une jeunesse difficile : son père, typographe, meurt de la tuberculose ainsi que ses deux sœurs. Grace au dévouement de sa mère, institutrice, il poursuit de brillantes études secondaires et est admis à l'École normale supérieure de Paris (1894).  Il en sort agrégé de mathématiques trois ans plus tard, classé 3è après Montel (second) et Henri Beghin (1er), futur polytechnicien et brillant ingénieur en mécanique aéronavale.

Professeur de mathématiques spéciales au lycée de Nancy, Lebesgue prépara sa thèse de doctorat qui sera dirigée par Émile Borel à qui l'on doit les premiers travaux conséquents en théorie de la mesure. Intitulée Intégration, longueur, aire, il la présente en 1902, elle annonce ses futurs travaux novateurs sur l'intégration.

Après quelques années au lycée de Nancy (1899-1902), Lebesgue enseignera à Rennes. C'est pendant cette période qu'il se fera connaître par son élégante théorie de la mesure. Mais une brouille s'établira avec Borel à propos de la paternité de cette théorie. Professeur à Poitiers, à la Sorbonne (1910-1921) puis au collège de France, il sera élu à l'Académie des sciences en 1922.

Par sa théorie des ensembles et fonctions mesurables s’appuyant sur les tribus boréliennes (épithète forgé sur le nom du mathématicien Emile Borel), Lebesgue a profondément remanié et généralisé le calcul intégral. Sa théorie de l'intégration (1902-1904, réf.2) répond aux besoins des physiciens en permettant la recherche et l'existence de primitives pour des fonctions "irrégulières" auxquelles l'intégrale de Riemann ne pouvait s'appliquer.


La ville de Beauvais n'a octroyé qu'une petite rue excentrée à la mémoire de ce grand mathématicien français... (Source : Google Maps)

L'intégrale de Lebesgue recouvre les différentes théories jusqu'ici avancées et apparaissant comme des cas particuliers :

Vocabulaire des fonctions mesurables et définition de l'intégrale de Lebesgue limitée au cas réel :

Dans ses Leçons sur les séries trigonométriques (1906), Lebesgue précisera tout l'intérêt de son intégrale pour l'étude des séries de Fourier et le calcul des coefficients.

Mais la saga de l'intégration n'est pas terminée car quelques années plus tard, face à la demande des physiciens en analyse de Fourier, le français Arnaud Denjoy (1884-1974) et l'allemand Oskar Perron (1880-1975) présenteront (indépendamment) une généralisation de l'intégrale de Lebesgue au cas des fonctions à variation non bornée. Sans oublier la mesure et l'intégrale de l'anglais John Daniell (1889-1946).

Théorème Fatou-Lebesgue ou théorème de convergence dominée :

µ désignant la mesure de Lebesgue ( aussi réf.3) et (fn) est une suite de fonctions intégrables majorée en module par une fonction intégrable et convergeant presque partout vers f, alors f est µ-intégrable et l'on a :

 lim fn dμ = f dμ

C'est dire que μ(fn) tend vers μ(fn) au sens usuel des suites. Mais on a aussi, avec les hypothèses de ce théorème, : μ(|fn - f|) tendant vers 0. On parle alors de convergence en moyenne de fn vers f. Lorsque μ(|fn - f|2) tend vers 0, soit |fn - f|2dμ ou, de façon élémentaire [fn(x) - f(x)]2dx, on parle de convergence en moyenne quadratique.

Espaces L2 :          Polynômes de Legendre et convergence en moyenne quadratique :       Fatou


Pour en savoir plus :

  1. Notice sur la vie et l'œuvre de Henri Lebesgue, par Arnaud Denjoy :
    http://www.academie-sciences.fr/pdf/eloges/lebesgues_notice.pdf
  2. Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, par H. Lebesgue, 1928 (cours Peccot 1902-1903)
    sur Gallica (BnF) : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1410504/f2.double
  3. Publications de Henri Lebesgue numérisées sur le site Numdam :
    http://www.numdam.org/search/Lebesgue Henri-q
  4. a) Théorie de la mesure, par  Bruno Demange (Institut Fourier) :
    https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2014/poly2014.pdf
    Bizarrement, l'auteur écrit systématiquement (11 fois) longeur au lieu de longueur. Ce qui n'altère en aucune façon la qualité de l'article...
    b) La mesure de Lebesgue sur la droite réelle, par  Bruno Demange (Institut Fourier) :
    https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2012/integration-chap1.pdf
  5. Sur une généralisation de l'intégrale définie, par Henri Lebesgue (Comptes rendus de l'Académie des sciences), 1901 :
    http://culturemath.ens.fr/histoire des maths/htm/villeneuve-2008/pdf/Lebesgue1901.pdf
  6. Les généralisations de la notion mathématique d'intégrale au 19è siècle, par Jean-Philippe Villeneuve sur CultureMath (ENS) :
    http://culturemath.ens.fr/histoire des maths/htm/villeneuve-2008/villeneuve2008.html
  7. Calcul intégral, par Alain Guichardet - Maîtrise de mathématiques C2, Coll. U, Armand Colin, Paris - 1969.
  8. Théorie des fonctions, par G. Valiron, Ch.5, Notions sur l'intégrale de Lebesgue
  9. Théorie de la mesure et intégration (niveau licence L3), par Amaury Lambert, univ. UPMC :
    http://www.proba.jussieu.fr/dw/lib/exe/fetch.php?media=users:amaury:jacod.pdf
  10. L'intégrale,  par Paul Deheuvels, Que sais-je ?, n° 2250, P.U.F. Réédité format poche.
  11. Intégrale de Lebesgue : https://perso.univ-rennes1.fr/jean-christophe.breton/Fichiers/Integrale_Lebesgue.pdf
    un cours très complet comprenant de nombreux développements et résultats en théorie de la mesure
  12. Le centenaire de l'intégrale de Lebesgue, par G. Choquet, J.-M. Bony et G. Lebeau (Acad. Sc, 2001) :
    http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cuerva/Lebesgue-CRAS.pdf
  13. L'évolution de la notion d'intégrale depuis Lebesgue (1949) par  Frédéric Riesz :
    http://archive.numdam.org/article/AIF_1949__1__29_0.pdf


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