ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Jean le Rond d'ALEMBERT, français, 1717-1783

Enfant naturel d'un commissaire d'artillerie, abandonné sur les marches de la chapelle parisienne de Saint-Jean-Le-Rond, le futur grand philosophe, mathématicien et physicien est recueilli par un vitrier qui recevra secrètement une pension pour subvenir à l'éducation du jeune garçon qui étudiera brillamment le droit, la médecine et les mathématiques.

Suite à la publication de divers mémoires (sur le calcul intégral, sur la réfraction des corps solides), d'Alembert entre à l'Académie des sciences (1741) : il n'a que 24 ans ! Membre de l'Académie française (1754), il en sera le secrétaire perpétuel en 1772.

D'Alembert fut un savant universel : dynamique, mécanique des fluides, mécanique céleste, cordes vibrantes, théorie des vents et marées. Pour décrire ces problèmes de mécanique, devançant les Bernoulli et Euler, il introduit, dans les années 1740, les premières équations aux dérivées partielles du second ordre.

En astronomie, il est l'auteur (1749) d'un traité sur la précession des équinoxes qu'il explique au moyen de la théorie de la gravitation universelle de Newton et d'une solution partielle au problème des trois corps.

On lui doit le célèbre principe de la quantité de mouvement, dit principe de d'Alembert dans son Traité de dynamique (1743), pouvant s'exprimer ainsi : La quantité de mouvement d'un corps ou d'un système de points matériels isolé est constante.
  
 La quantité de mouvement d'un point matériel de masse m, de vitesse v est  p = mv. Par isolé, on entend dont la résultante des forces extérieures agissant sur le corps (ou le système de points) est nulle.

En savoir plus sur ce sujet (université libre de Bruxelles) :

L'Encyclopédie, Dictionnaire raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers :

En 1751, Diderot, célèbre écrivain et philosophe français (1713-1784) fait appel à d'Alembert pour la mise en œuvre d'une encyclopédie qui sera une synthèse des connaissances philosophiques, littéraires et scientifiques de l'époque.

En savoir un peu plus, lire des extraits (sur ChronoMath) :

Théorème fondamental de l'algèbre :

Également appelé théorème de d'Alembert-Gauss, ou simplement théorème de d'Alembert, d'Alembert est le premier à l'avoir énoncé sous une forme complète (1746) et démontré de façon relativement convaincante. Gauss en donnera une preuve plus rigoureuse das sa thèse de doctorat en 1799. Le théorème fut auparavant avancé par Viète et Girard mais sans preuve précise Dans l'Encyclopédie, d'Alembert écrit :

Dans une équation quelconque (à coefficients réels), les racines imaginaires, s'il y en a, sont toujours en nombre pair. Cette proposition assez mal démontrée dans les livres d'Algèbre, l'est beaucoup plus exactement dans une dissertation que j'ai imprimée au tome II. des Mém. français de l'académie de Berlin. De là il s'ensuit que dans toute équation d'un degré impair, il y a au moins une racine réelle.

D'Alembert exprime ce théorème pour une équation polynomiale à coefficients réels revenant à énoncer :

Tout polynôme de degré n est un produit de facteurs du 1er ou du second degré

Ce qui revient à dire :

Tout polynôme de degré n admet n racines réelles ou imaginaires (éventuellement égales).

Les coefficients étant réels, les racines imaginaires sont conjuguées. Par exemple, le polynôme défini par p(x) = x4 - 1 peut s'écrire :

  • dans R : x4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x2 + 1)

  • dans C : x4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x - i)(x + i)  avec i2 = -1

Rappelons qu'on appelle zéro ou racine d'un polynôme P, un nombre a tel que P(a) = 0; c'est une solution de l'équation P(x) = 0. Au lycée, on utilise le résultat fondamental : si un polynôme P, de degré n, admet un zéro a, alors P(x) peut s'écrire P(x = (x - a) x Q(x) où Q est un polynôme de degré n - 1.

Division par x - a selon Horner : Division par x - a selon d'Alembert :

On dit de nos jours que le corps C des nombres complexes est algébriquement clos pour exprimer que :

Tout polynôme de C[x], de degré au moins égal à 1, peut s'écrire sous forme
d'un produit de facteurs du 1er degré.

Ce théorème fut démontré par Gauss en 1799. Il existe aujourd'hui de nombreuses démonstrations de ce théorème. Aucune n'est en fait purement algébrique car la construction des nombres réels est une construction analytique.

  On parle aussi de polynôme scindé sur un corps K pour exprimer qu'il peut s'écrire comme produit de polynômes du 1er degré (binômes du type ax + b). Avec cette définition, le théorème de d'Alembert s'exprime par :

Tout polynôme de C[x], de degré au moins égal à 1, est scindé.

Une preuve relativement simple du théorème de d'Alembert :        Galois et les équations algébriques :

________   ________

a/   En remarquant que x = ±1 est solution x4 + 2x3 - 16x2 -2x + 15 = 0, résoudre cette équation.
Rép. : 4 solutions réelles :  x =1, x = -1, x = 3, x = -5
b/   Montrer que si u est solution de 6x4 - 35x3 + 62x2 - 35x + 6 = 0, alors il en est de même de 1/u.
Résoudre alors l'équation en vérifiant que 2 en est une solution.
Rép. : 4 solutions réelles : x = 2, x = 1/2, x = 3, x = 1/3.
c/   quel est le polynôme P du 3ème degré qui s'annule en 0, -2 et +2 et prend la valeur 8 en x = 2.
Rép. : P(x) = 2x(x2 - 2)

Résolution de l'équation du 3ème degré :      du 4ème degré :

Taux d'accroissement et dérivée d'une fonction :

Non satisfait des travaux de Newton et de Leibniz sur la notion d'infiniment petit, il définira une première notion de limite. Toutefois, R n'est pas encore construit : il faudra attendre Weierstrass pour une définition rigoureuse.

On doit ainsi à d'Alembert la définition d'un nombre dérivé au moyen de la notion naissante de limite : lorsque y est une fonction f de x, il s'agit, en notations actuelles, de :

 

limite pour h tendant vers 0 du taux d'accroissement de la fonction f au point x, pente de la sécante (s) ci-contre.

C'est à Lagrange que l'on doit la notation f '(x) pour désigner cette limite, définissant ainsi la fonction dérivée et à Lhuillier l'abréviation lim allégeant la rédaction des calculs d'analyse.

Dérivation des fonctions composées :    

On suppose g dérivable en xo et f dérivable en g(xo), alors f o g est dérivable en xo
et (f o g)'(xo) = g'(xo)f '(g(xo))

Preuve : on peut écrire :

La dérivabilité de de g en xo assure sa continuité en ce point, donc Δg = g(xo + h) - g(xo) tend vers 0. Par suite le 1er rapport tend vers le nombre dérivé de f au point g(xo), à savoir f '(g(xo)) et le second rapport tend vers g'(xo).

En savoir plus : dérivée & tangente à une courbe en un point :              Calcul différentiel selon d'Alembert :
 
Étude de fonctions ,  Cas d'une fonction dérivée non continue :  étude de la fonction f : x x2cos(1/x)

Cordes vibrantes, analyse harmonique, dalembertien :

Parallèlement aux travaux de Euler et de Daniel Bernoulli, d'Alembert s'attaqua au difficile problème des cordes vibrantes : étude des vibrations transversales d'une corde homogène (de violon ou de piano par exemple), en étudiant la nature composite du son (harmoniques). La nature vibratoire du son fut étudiée auparavant par Mersenne et Huygens et principalement par le physicien français Joseph Sauveur, 1653-1716) à qui l'on doit le vocabulaire et la théorie des phénomènes stationnaires (nœuds, ventres, battements).

L'étude du phénomène conduit à une équation du second ordre aux dérivées partielles, que d'Alembert établira en 1746 :

 

L'équation peut aussi s'écrire :

Elle formule la distance s(x,t) dont s'éloigne, en fonction du temps et par rapport au repos, un point de la corde à la position x.

D'Alembert en donnera une solution sous certaines conditions initiales. On trouvera in fine un lien vers la résolution ce cette équation.

L'équation se généralise à des phénomènes électromagnétiques (propagation des champs électriques et magnétiques). Dans l'espace, elle s'écrit au moyen du laplacien et conduit au dalembertien, opérateur du second ordre noté et défini par :

 

où c désigne la vitesse de la lumière, le laplacien et t le temps.

L'étude des phénomènes vibratoires sera facilitée par l'usage des séries de Fourier. C'est ainsi que naîtra l'analyse harmonique avec, comme sujet initial, le problème de la représentation d'une fonction périodique par une série trigonométrique. Plus tard, la théorie des distributions de Laurent Schwartz sera un nouvel outil performant dans la résolution des équations aux dérivées partielles.

Les difficultés rencontrées dans la convergence de ces séries ont conduit à la mise en place d'outils et de structures perfectionnées comme la transformation de Fourier, les espace de Hilbert, la théorie du potentiel, les fonctions harmoniques, les groupes topologiques ...

Séries de Fourier et analyse harmonique :

Règle ou critère de d'Alembert pour les séries numériques :

Soit Σun une série à termes strictement positifs pour laquelle le rapport An = un+1 / un à une limite L. Dans ces conditions la série :

Exemple : soit la série de terme général n2/2n. On a ici un+1 / un = ½(1 + 1/n)2 ½ < 1. La série converge donc.

Exemple d'application

Dans le cas d'une suite non positive (resp. ou à termes complexes), on étudie le rapport en valeur absolue (resp. en module) et dans le cas L < 1, on parlera de série absolument convergente, (on parle de convergence absolue) ce qui peut être fort utile dans le cas des séries entières où un est de la forme anxn  car on montre grâce au critère de Cauchy que :

Dans un espace vectoriel normé complet (en particulier R et C), toute suite absolument
convergente est convergente.

En exercice, voici un cas fondamental :

 

Montrer que l'on définit ainsi une fonction numérique pour tout x réel et que ce résultat se prolonge à C.
Il s'agit de la fonction exponentielle réelle ou complexe. Étudier sa dérivation en justifiant la dérivation terme à terme.

Euler et la fonction exponentielle :      Critères de Cauchy :

 Pour en savoir plus :

Clairaut  Stewart 
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