ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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NICOMAQUE de Gérase, grec, vers 150

 !  On ne le confondra pas avec Nicomaque de Stagire, médecin auprès du roi Philippe de Macédoine, père d'Aristote (4ème siècle av. J.-C.).

Ce mathématicien grec, né à Gerasa (Jerash, ville de Palestine, dans l'actuelle Jordanie), admirateur de Pythagore, dont il écrivit une biographie, s'intéressa tout particulièrement à l'arithmétique et à la musique.

Nicomaque est qualifié de néo-pythagoricien : le néo-pythagorisme est une philosophie inspirée de celle de Pythagore, où règne l'harmonie du "tout est nombre" (sous-entendu entier).

Dans un traité, que traduira le philosophe latin Boèce au 6e siècle, Introductio Arithmeticae, Nicomaque reprend et complète toute l'arithmétique de l'école pythagoricienne.

On y trouve l'étude des nombres figurés, c'est à dire que l'on peut représenter par des figures géométriques : triangulaires (fig.1), carrés (fig.2), pentagonaux (fig. 3), etc.

Si on note T_n le nombre triangulaire de rang n, on a T₁ = 1, T₂ = 3, T₃ = 6 et, d'une façon générale :

Donc T_n n'est autre que la somme des n premiers entiers naturels :

On raconte que Gauss, alors enfant, avait prouvé la généralité de cette formule alors que son instituteur lui demandait de calculer la somme S de
quelques entiers consécutifs 1 + 2 + 3 + ...+ n : en écrivant S =  n + ... + 3 + 2 + 1, il constate que S + S = 2S n'est autre que  n x (n + 1).

On déduit du résultat précédent la somme des n premiers nombres pairs :

2 + 4 + ... + 2n = 2(1 + 2 + .. + n) = n(n + 1)

 Un exercice d'application : »             Suites arithmétiques : »

 ➔  Une importante étude des nombres triangulaires fut donnée au 10è siècle par Alhazen afin d'obtenir certaines quadratures (calculs d'aires) et cubatures (calculs de volumes). On trouvera des développements intéressants dans la revue Repères n°11 - avril 1993 par André Stoll, IREM de Strasbourg.

 Si C_n désigne maintenant le nombre carré de rang n (fig.2) , on constate la relation de récurrence :

On peut en déduire que la somme des nombres impairs consécutifs est :

Rappelons la somme des n premiers carrés et cubes :

Quant aux nombres pentagonaux (fig. 3), on prouvera facilement que leur nombre P_n vérifie la relation :

On peut "mettre d'accord" toutes ces formules par : si k désigne le nombre de côtés du polygone (k ≥ 3), que nous appelons son ordre, et n le rang du nombre polygonal, alors ce nombre vérifie la relation générale :

et finalement :

• Calculons u₇ dans le cas pentagonal : u₇  = 7 + (5 - 2)(7² - 7)/2 = 7 + 3 × 42/2 = 7 + 3 × 21 = 7 + 63 = 70.

 ➔  L'étude des nombres polygonaux ne se limita pas à l'école pythagoricienne, car Fermat conjecturait en 1636 que :

Tout entier naturel peut s'écrire comme somme de n nombres polygonaux d'ordre n distincts ou non
(3 nombres triangulaires, 4 nombres carrés, 5 nombres pentagonaux, etc.)

• 17 = 1 + 6 + 10 = 1 + 1 + 15  |  38 = 10 + 28  (somme d'au plus trois nombres triangulaires);

• 17 = 1 + 16  | 38 =  4 + 9 + 25  (somme d'au plus quatre nombres carrés);

• 17 = 5 + 12 = 1 + 1 + 5 + 5 + 5 |  38 = 1 + 1 + 1 + 35 = 1 + 5 + 5 + 5 + 22  (somme d'au plus cinq nombres carrés);

Ce résultat fut prouvé par Lagrange pour n = 3, Legendre pour n = 4 et Cauchy prouva le cas général (1813). Ces travaux relèvent de ce que l'on appelle la théorie additive des nombres, une théorie toujours d'actualité car rattachée à la distribution des nombres premiers.

 ➔  Ajoutons enfin que l'on étudia également les nombres tétraédriques, obtenus en superposant des nombres triangulaires par rang décroissants et, plus généralement les nombres pyramidaux en superposant des nombres polygonaux par rang décroissants (réf.3).

» Kepler et empilement de sphères de volume minimal | Bhargava et les nombres tétraédriques 

 Prélude : nombre et somme des diviseurs d'un nombre

Nicomaque étudia les nombres parfaits, amicaux, abondants ou déficients qu'étudièrent ultérieurement les mathématiciens arabes comme Thabit ben Q'ra puis Fermat, Euler, Descartes et Gauss :

♦  Est déclaré abondant un entier naturel n dont la somme de ses diviseurs autres que lui-même est supérieure à n. Autrement dit, au moyen de la fonction n : σ→σ(n), somme des diviseurs d'un entier n :

n∈N*, n est abondant   ⇔   σ(n) > 2n

• 20 est abondant : la somme de ses diviseurs propres est 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22.

♦  Est déclaré déficient celui dont la somme des diviseurs autres que lui-même lui est inférieure. Autrement dit, au moyen de la fonction n : σ→σ(n), somme des diviseurs d'un entier n :

n∈N*, n est déficient   ⇔   σ(n) < 2n

On montre facilement que toute puissance d'un nombre premier est déficient. Il en est de même du produit de deux nombres premiers (autre que 6 = 2×3 qui est parfait).

• 16 est déficient : la somme de ses diviseurs propres est 1 + 2 + 4 + 8 = 15.

♦  Est déclaré parfait celui dont la somme des diviseurs autres que lui-même lui est égale. Autrement dit, au moyen de la fonction n : σ→σ(n), somme des diviseurs d'un entier n :

n∈N*, n est déficient   ⇔   σ(n) = 2n

• 6 = 1 + 2 + 3 est parfait, ainsi que 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

On ne connaît pas encore de nombres parfaits impairs : en existe-t-il ? malgré l'obstination des mathématiciens, le problème reste ouvert.

En savoir plus sur les nombres parfaits : » 

 ➔  En 1997, Marc Deléglise, mathématicien français (univ. Lyon1) a prouvé que si on désigne par A(n) le nombre de nombres abondants de l'intervalle  [1,n] de N, la densité d =A(n)/n des nombres abondants vérifie :

0,2474 < d < 0,2480

Recherche de nombres abondants :    

Ces nombres ne sont pas encore caractérisés de nos jours : on sait cependant que tout multiple de 6, autre que 6 lui-même, est abondant. Il existe une infinité de nombres abondants pairs et impairs. Si les nombres abondants pairs sont nombreux, les impairs sont plus rares : le plus petit entier abondant impair est 945. Voici les nombres abondants inférieurs à 100 (» réf.3 ci- après) :

• 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 18 , 20 ,  24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 60 , 72 , 84 , 90 , 96.

• La seule réponse impaire inférieure à 1000 est 945.

• Au delà, vous en trouverez 17 inférieurs à 10000 : 1575, 2205, ..., 9765.

 ➔   Pour en savoir (beaucoup) plus sur ces nombres :

1. Sur la distribution de nombres spéciaux consécutifs, par Steve Pettigrew (univ. Laval, Canada), nov. 2000 :
   https://www.collectionscanada.gc.ca/obj/s4/f2/dsk2/ftp01/MQ55787.pdf

2. Lien analogique : Répartition des nombres superabondants (étudiés par Paul Erdös et J.-L.Nicolas) :
   http://math.univ-lyon1.fr/~nicolas/erdosSA.pdf

3. a) Le Livre des nombres par John H. Conway & Richard K. Guy (en français), Éd. Eyrolles , Paris - 1995.
   b) Nombres pyramidaux, page Wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_pyramidal

4. Nombres abondants sur The online encyclopedia of integer sequences : https://oeis.org/A004490

5. Bounds for the density of abundant integers, par Marc Deléglise :
   a) https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.em/1048515661
   b) Page d'accueil de Marc Deléglise : http://math.univ-lyon1.fr/~deleglis/

Nombres puissants : »              Nombres hautement composés : »

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Théon de Smyrne  Liu Hui

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