ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

NICOMAQUE de Gérase, grec, vers 150

On ne le confondra pas avec Nicomaque de Stagire, médecin auprès du roi Philippe de Macédoine, père d'Aristote (4ème siècle av. J.-C.).

Ce mathématicien grec, né à Gerasa (ville de Palestine, dans l'actuelle Jordanie), admirateur de Pythagore, dont il écrivit une biographie, s'intéressa tout particulièrement à l'arithmétique et à la musique. Nicomaque est qualifié de néo-pythagoricien : le néo-pythagorisme est une philosophie inspirée de celle de Pythagore, où règne l'harmonie du "tout est nombre" (sous-entendu entier).

Les nombres polygonaux :

Dans un traité, que traduira le philosophe latin Boèce au 6e siècle, Introductio Arithmeticae, il reprend et complète toute l'arithmétique de l'école pythagoricienne.

On y trouve l'étude des nombres figurés,c'est à dire que l'on peut représenter par des figures géométriques : triangulaires (fig.1), carrés (fig.2), pentagonaux (fig. 3), etc.

Si on note T_n le nombre triangulaire de rang n, on a T₁ = 1, T₂= 3, T₃ = 6 et, d'une façon générale :

T₁ = 1 et T_n = T_n-1 + n

Donc T_n n'est autre que la somme des n premiers entiers naturels.

Une importante étude des nombres triangulaires fut donnée par Alhazen afin d'obtenir certaines quadratures (calculs d'aires) et cubatures (calculs de volumes). On trouvera des développements intéressants dans la revue Repères n°11 - avril 1993 par André Stoll, IREM de Strasbourg.

Si C_n désigne maintenant le nombre carré de rang n (fig.2) , on constate la récurrence :

C₁ = 1 et C_n = C_n-1 + (2n - 1)

On peut en déduire que la somme des nombres impairs consécutifs est :

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n²

Quant aux nombres pentagonaux (fig. 3), on prouvera facilement que leur nombre P_n vérifie la relation :

P₁ = 1 et P_n = P_n-1 + 3n - 2

On peut "mettre d'accord" toutes ces formules par : si k désigne le nombre de côtés du polygone (k 3), que nous appelons son ordre, et n le rang du nombre polygonal, alors ce nombre vérifie la relation générale :

u_n+1 = u_n + n x (k - 2) + 1

et finalement :

u_n = n + (k - 2)(n² - n)/2

Rappelons ici :

la somme des entiers naturels : 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

On raconte que Gauss, alors enfant, avait prouvé la généralité de cette formule alors que son instituteur lui demandait de calculer la somme S de quelques entiers consécutifs 1 + 2 + 3 + ...+ n : en écrivant S = n + ... + 3 + 2 + 1, il constate alors que S + S = 2S n'est autre que n x (n + 1), d'où la formule donnant la somme des n premiers entiers naturels : S = n(n + 1)/2

Un exercice d'application : Suites arithmétiques :

Somme des nombres pairs : 2 + 4 + ... + 2n = 2(1 + 2 + .. + n) = n(n + 1)
Somme des carrés : 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6 preuve
Somme des cubes : 1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)² = n²(n + 1)²/4 une preuve ou bien :

Prouver par récurrence la formule ci-dessus : 1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)²

L'étude des nombres polygonaux ne se limita pas à l'école pythagoricienne, car Fermat énonçait en 1636 que :

Tout entier naturel peut s'écrire comme somme de n nombres polygonaux d'ordre n
(3 nombres triangulaires, 4 nombres carrés, 5 nombres pentagonaux, etc.)

Ce résultat fut prouvé par Lagrange pour n = 3, Legendre pour n = 4 et Cauchy prouva le cas général (1813). Ces travaux relèvent de ce que l'on appelle la théorie additive des nombres où l'on rencontre tout particulièrement Lagrange, Waring Hardy, Littlewwod , Ramanujan et Siegel.

Ajoutons enfin que l'on étudia également les nombres tétraédriques (obtenus en superposant des nombres triangulaires par rang décroissants) et les nombres pyramidaux (en superposant des nombres carrés par rang décroissants).

Pour en savoir plus :

Le livre des nombres, par John H. Conway & Richard K. Guy, Ed. Eyrolles , Paris - 1995 (en français).

Nombres parfaits, abondants, déficients, ... :

Nicomaque étudia les nombres parfaits, amicaux, abondants ou déficients qu'étudièrent ultérieurement les mathématiciens arabes comme Thabit ben Q'ra puis Fermat, Euler, Descartes et Gauss :

Est déclaré abondant un entier N dont la somme de ses diviseurs propres (autres que lui-même) est supérieure à N.

20 est abondant : la somme de ses diviseurs propres est 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22.

Est déclaré déficient celui dont la somme des diviseurs propres (autres que lui-même) lui est inférieure. On montre facilement que toute puissance d'un nombre premier est déficient. Il en est de même du produit de deux nombres premiers (autre que 6 = 2 fois 3 qui est parfait)

16 est déficient : la somme de ses diviseurs propres est 1 + 2 + 4 + 8 = 15.

Est déclaré parfait celui dont la somme des diviseurs propres (autres que lui-même) lui est égale.

6 = 1 + 2 + 3 est parfait, ainsi que 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

On ne connaît pas encore de nombres parfaits impairs : en existe-t-il ? malgré l'obstination des mathématiciens, le problème reste ouvert.

En savoir plus : Divisibilité, nombre et somme des diviseurs d'un nombre :

Recherche des nombres abondants :

Ces nombres ne sont pas encore caractérisés de nos jours : on sait cependant que tout multiple de 6, autre que 6 lui-même, est abondant. Il existe une infinité de nombres abondants pairs et impairs. Si les nombres abondants pairs sont nombreux, les impairs sont plus rares : le plus petit entier abondant impair est 945.

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function go()
{
p="i"
p=prompt("pais ou impairs (p/i) :",p)
if (p==null) {return}
if (p=="i") {n=-1} else {n=0}
while (1)
{
n=n+2
s=0;
for (i=1;i<n;i++)
{
if (n%i==0){s=s+i}
}
if (s > n)
{if (!confirm(n+ " est abondant"+"\n"+"Je continue ?")) return}}
}
}
</SCRIPT>

Code HTML du formulaire permettant de lancer les calculs à la demande :

La seule réponse impaire inférieure à 1000 est 945. Au delà, vous en trouverez 17 inférieurs à 10000 : 1575, 2205, ..., 9765.

Théon de Smyrne

Liu Hui