ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Ensembles et espaces connexes, notion d'homotopie   
     
Composante connexe | connexité : simple , locale, par arc | chemins & lacets | homotopie

Un espace topologique E est dit connexe (du latin connexus = d'un seul tenant, participe passé de conectere = attacher ensemble, contraction de cum = avec et nectere = enlacer) s'il ne peut pas s'écrire comme la réunion de deux ouverts disjoints non vides. Concrètement, E n'est pas en pièces détachées : il est d'un seul tenant...


Montrer que l'on peut, dans cette définition, remplacer ouverts par fermés.

Une partie A d'un espace topologique est dite connexe si, muni de la topologie induite par celle de E, A est connexe.

E peut être connexe et s'écrire AB avec AB = ! Par exemple l'intervalle connexe E = [0,2] est la réunion de [0,1] et de ]1,2] dont l'intersection est vide. Dans le plan euclidien identifié au plan complexe, le disque de centre O de rayon 2 est réunion du disque connexe ouvert A de centre O de rayon 1 : A = {z C / 0 | z | < 1} et de la couronne connexe B = {z C / 1 | z | 2} dont l'intersection est vide :

On voit ici que A et B ont même frontière (au sens topologique) :  Si E = AB avec AB ou AB non vides, alors E est connexe (A désigne l'adhérence de A).

Autres définitions usuelles équivalentes de la connexité de E :

d2/ E n'admet pas de parties à la fois ouvertes et fermées autres que lui même et Ø.
d3/
Si E = A B avec A et B non vides, alors il existe un point de A adhérent à B ou un point de B adhérent à A.
d4/ Si F est un espace topologique, toute application localement constante de E vers F est constante.
d5/ Toute fonction continue sur E à valeurs dans un espace discret (les ouverts sont ses parties) est constante sur E.

Quelques propriétés fondamentales :    

p1/ Soit R une relation d'équivalence définie dans E connexe, alors l'espace quotient E/R est connexe.
p2/ Si A est une partie connexe, alors son adhérence A est connexe
p3/ L'image par une fonction continue d'une partie connexe est connexe
       et on a en conséquence le théorème des valeurs intermédiaires.  

Composante connexe :

Dans un espace topologique E, tout singleton {x} est connexe. La réunion de toutes les parties connexes de E contenant x est la composante connexe de x. C'est donc le plus grand connexe de E contenant x. Si une partie A est la composante connexe d'un élément x de E, on dira que A est une composante connexe de E.


Montrer que les  composantes connexes de E constituent une partition de E
 

Espace (ou partie) connexe par arcs, chemin, lacet :

Il s'agit là d'une connexité plus forte que l'on peut résumer ainsi :

E est dit connexe par arcs si pour toute paire de points {A,B} de E, il existe un chemin joignant A à B.

Mais c'est quoi un chemin ?  il s'agit tout simplement d'une application continue φ de [0,1] dans E telle que A et B appartiennent à Im φ : il existe u et v dans [0,1] tels que φ(u) = A et φ(v) = B. φ(0) et φ(1) sont les extrémités et si φ(0) = φ(1), on parlera de lacet.

  Tout espace ou partie connexe par arcs est connexe mais la réciproque de ce résultat est fausse. D'ailleurs si la réciproque est vraie, à quoi bon définir deux types connexités équivalentes ? Plus sérieusement, voici un contre-exemple :

Considérons la fonction f : x cos(1/x) sur l'intervalle [0,1]. Lorsque x tend vers 0, la courbe oscille indéfiniment entre -1 et 1. Si on appelle G le graphe de la fonction sur ]0,1] et S le segment [-1,1] de l'axe des ordonnées, soit S = {(0,y) / -1 y 1}, G est connexe et K =  G S est l'adhérence de G, donc K est connexe mais non connexe par arc car G n'est pas prolongeable par continuité.

Une partie U de E est dite étoilée lorsque U contient au moins un point A tel que pour tout point B de U le segment [AB] soit inclus dans U. On dira aussi que U est étoilée par rapport à A.

Toute partie étoilée est connexe par arcs

Espace localement connexe :

On qualifie ainsi un espace topologique E où tout point admet une base de voisinages connexes. Rappelons qu'on appelle base de voisinages d'un point x une famille F de parties de E telle que tout voisinage de x contienne un élément de F.   topologie et voisinages

]x - h, x + h[, h > 0.

Notion d'homotopie et d'isotopie, espace simplement connexe, groupe d'homotopies, groupe de Poincaré :

L'étude des propriétés d'un espace topologique (souvent menée par homéomorphisme) peut être facilitée par la notion d'homotopie (du grec homoios = semblable et topos = lieu) :

On dit que deux chemins φ et ψ d'un espace topologique E sont homotopes si l'on peut passer par déformation continue de l'un à l'autre. En d'autres termes :

φ et ψ homotopes    il existe h : [0,1]2 E, h continue et h(t,0) = φ(t) , h(t,1) = ψ(t)           (1)

 

  Vu la continuité de h, pour tout u de [0,1], on notera que l'application thu(t) = h(t,u) est un chemin de E. On définirait de même des lacets homotopes en imposant à l'homotopie thu(t) d'être un lacet pour tout réel u de [0,1].

L'usage de la locution "φ et ψ sont homotopes" laisse à penser que la relation H définie par φ H ψ ssi il existe une homotopie h telle que (1) est symétrique. C'est effectivement le cas : on a ψ H φ  avec h' : [0,1]2E, h'(t,u) = h(t,1 - u). La relation H étant clairement réflexive et transitive, c'est une relation d'équivalence : groupe d'homotopie ci-après. On pourra alors exprimer de façon symétrique que l'application h est une homotopie entre φ et ψ. On qualifie d'isotopie une homotopie injective.

Isotopie et théorie des nœuds :

Espace simplement connexe :   

Avec ces définitions, on dira qu'un espace connexe par arcs est simplement connexe si tout lacet est homotope à un point.

Concrètement, on peut par déformation continue réduire tout lacet d'origine x à {x}. En schématisant , E est simplement connexe, un espace plan à trous comme F ne l'est pas :

Noter qu'un disque privé de son centre n'est pas simplement connexe mais une boule privée de son centre l'est : on pourra toujours réduire le lacet en évitant d'entourer le centre...

Groupes d'homotopies :    

Il apparaît que l'homotopie définit une relation d'équivalence H (relation d'homotopie) entre les lacets de E ainsi qu'entre les chemins de E ayant mêmes extrémités :


Vérifier cela en considérant la relation H :  φ H
ψ il existe une homotopie de φ à ψ
La propriété de symétrie sera prouvée en posant h'(t,u) = h(t,1-u) : homotopie de ψ à φ 

Les classes d'équivalence (relativement à un chemin ou un lacet) pour la relation d'homotopie sont dites classes d'homotopie.

Soit x un élément d'un espace topologique E et L l'ensemble des lacets d'origine x. A tout couple (φ,ψ) de L2, on fait correspondre le lacet ψ o φ consistant à parcourir le lacet φ puis ψ. On définit ainsi une loi de composition interne dans L.


Vérifier que la loi de L est compatible avec la relation d'homotopie.

Le groupe quotient L/H est appelé groupe d'homotopie de E au point x et souvent noté π(E,x).

Groupes de Poincaré :    

On a ce résultat important :

Si E est connexe par arcs, tous les groupes d'homotopie sont isomorphes

Dans ce cas, on peut dire que π(E, x) est unique à un isomorphisme près, on le note alors simplement π(E) et on l'appelle groupe fondamental de E ou encore groupe de Poincaré.

  Poincaré , Hurewicz

Pour en savoir plus :


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