ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Ensembles et espaces connexes, notion d'homotopie
Composante connexe | connexité : simple , locale, par arc | chemin, lacets | homotopie |
Un espace topologique E est dit connexe (du latin connexus = d'un seul tenant, participe passé de conectere = attacher ensemble, contraction de cum = avec et nectere = enlacer) s'il ne peut pas s'écrire comme la réunion de deux ouverts disjoints non vides. Concrètement, E n'est pas en pièces détachées : il est d'un seul tenant...
Montrer que l'on
peut, dans cette définition, remplacer ouverts par fermés.
Une partie A d'un espace topologique est dite connexe si, muni de la topologie induite par celle de E, A est connexe.
Dans tout espace topologique, Un
singleton {a} est connexe. Noter que
est
connexe !
R est connexe et, dans R, les parties connexes sont les intervalles finis ou non.
Q
R n'est pas connexe :
si I = ]-
,
2[
R et J = ]2,+[
R, Q = I
J, réunion de deux ouverts non
vides.
Un disque du plan (resp. une boule de l'espace euclidien 3D) est connexe mais le cercle (resp. la sphère), sa surface, ne l'est pas.
Une courbe du plan ou de l'espace contenant un "trou" n'est pas connexe : par exemple l'hyperbole équilatère possède deux branches "séparées".
Mais une surface ou un volume de l'espace usuel contenant des "trous" peuvent être connexes : il en est ainsi du tore.
E peut être
connexe et s'écrire A
B avec A
B
= 
! Par exemple l'intervalle connexe
E = [0,2] est la réunion de [0,1] et de ]1,2] dont l'intersection est vide. Dans
le plan euclidien identifié au plan complexe, le disque de centre O de rayon 2
est réunion du disque connexe ouvert A de centre O de rayon 1 : A = {z
C / 0
| z | < 1}
et de la couronne connexe B = {z
C / 1
| z |
2} dont
l'intersection est vide :
On voit ici que A et B ont même
frontière (au sens
topologique) : Si E = AB avec
AB
ou AB
non vides, alors E est connexe (A
désigne l'adhérence de A).
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Autres définitions usuelles équivalentes de la connexité de E : |
d2/ E n'admet pas de parties à la fois ouvertes et fermées autres que lui même et
.
d3/ Si E = AB avec A et B non vides, alors il existe un point de A adhérent à B ou un point de B adhérent à A.
d4/ Si F est un espace topologique, toute application localement constante de E vers F est constante.
d5/ Toute fonction continue sur E à valeurs dans un espace discret (les ouverts sont ses parties) est constante sur E.
Quelques propriétés fondamentales :
p1/ Soit R une relation d'équivalence définie dans E connexe, alors l'espace quotient E/R est connexe.
p2/ Si A est une partie connexe, alors son adhérence A est connexe
p3/ L'image par une fonction continue d'une partie connexe est connexe
et on a en conséquence le théorème des valeurs intermédiaires.
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Composante connexe : |
Dans un espace topologique E, tout singleton {x} est connexe. La réunion de toutes les parties connexes de E contenant x est la composante connexe de x. C'est donc le plus grand connexe de E contenant x. Si une partie A est la composante connexe d'un élément x de E, on dira que A est une composante connexe de E.
Montrer que les
composantes connexes de E constituent une partition de E
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Espace (ou partie) connexe par arcs, chemin, lacet : |
Il s'agit là d'une connexité plus forte que l'on peut résumer ainsi :
E est dit connexe par arcs si pour toute paire de points {A,B} de E, il existe un chemin joignant A à B.
Mais
c'est quoi un chemin ? il s'agit
tout simplement d'une application continue j de [0,1]
dans E telle que A et B appartiennent à Im j : il
existe u et v dans [0,1] tels que j(u) = A et
j(v) = B. j(0) et
j(1) sont les extrémités
et si j(0) = j(1), on
parlera de lacet.
Tout espace ou partie connexe par arcs
est connexe mais la réciproque de ce résultat est fausse. D'ailleurs si la
réciproque est vraie, à quoi bon définir deux types connexités
équivalentes ? Plus sérieusement, voici un contre-exemple :
Considérons la fonction f : x
cos(1/x)
sur l'intervalle [0,1]. Lorsque x tend vers 0, la courbe oscille indéfiniment
entre -1 et 1. Si on appelle G le graphe de la fonction sur ]0,1] et S le
segment [-1,1] de l'axe des ordonnées, soit S = {(0,y) / -1
y
1}, G est
connexe et K = G
S est
l'adhérence de G, donc K est connexe mais non connexe par arc car G n'est pas
prolongeable par continuité.
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Espace localement connexe : |
On qualifie ainsi un espace topologique E
où tout point admet une base de voisinages connexes. Rappelons qu'on appelle base de
voisinages d'un point x une famille F de parties de E telle que tout voisinage
de x contienne un élément de F.
topologie et voisinages
Dans R, une base de voisinages de tout point de x est constituée par les intervalles ouverts de centre x :
]x - h, x + h[, h > 0.
AM < h,
h > 0} est une base de voisinage de tout point M.|
Espace simplement connexe, notion d'homotopie : |
L'étude des propriétés d'un espace topologique (souvent menée par homéomorphisme) peut être facilitée par la notion d'homotopie (du grec homoios = semblable et topos = lieu) :
On dit que deux chemins j et y d'un espace topologique E sont homotopes si l'on peut passer continûment de l'un à l'autre. En d'autres termes :
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j et
y homotopes
|
il existe h : [0,1]2
|
L'application h est appelée
homotopie (ou
fonction d'homotopie)
de j
à y. Pour tout u de [0,1], t
hu(t)
= h(t,u) est un chemin de E. On définirait de même des lacets homotopes en
imposant à l'homotopie h d'être un lacet pour tout réel u de [0,1].
Avec ces
définitions, on dira qu'un espace connexe par arcs
est simplement connexe si tout lacet est
homotope à un point.
Concrètement, on peut par déformation continue réduire tout lacet d'origine x à {x}. En schématisant ci-contre, E est simplement connexe, un espace plan à trous comme F ne l'est pas.
Un disque privé
de son centre n'est pas simplement connexe mais une boule privée de son centre
l'est : on pourra toujours réduire le lacet en évitant d'entourer le centre...
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Il apparaît que l'homotopie définit une relation d'équivalence H (relation d'homotopie) entre les lacets de E ainsi qu'entre les chemins de E ayant mêmes extrémités :
Vérifier cela en
considérant la relation H :
j
H y
il existe
une homotopie de j à y
La propriété
de symétrie sera prouvée en posant h'(t,u) = h(t,1-u) : homotopie de
y
à j
Les classes d'équivalence (relativement à un chemin ou un lacet) pour la relation d'homotopie sont dites classes d'homotopie.
Soit x un élément d'un espace topologique E et L l'ensemble des lacets d'origine x. A tout couple (j,y) de L2, on fait correspondre le lacet y o j consistant à parcourir le lacet j puis y. On définit ainsi une loi de composition interne dans L.
Vérifier que la
loi de L est compatible avec la relation d'homotopie.
Le groupe quotient L/H est appelé groupe d'homotopie de E au point x et souvent noté p(E,x). On a ce résultat important :
Si E est connexe par arcs, tous les groupes d'homotopie sont isomorphes
Dans ce cas, on peut dire que p(E,x) est unique à un isomorphisme près, on le note alors simplement p(E) et on l'appelle groupe fondamental de E ou encore groupe de Poincaré.
Pour en savoir
plus :
Topologie, Livre III, Ch.1 - N. Bourbaki.
Calcul infinitésimal, Ch. 7 - Jean Dieudonné - Éd. Hermann, Paris 1968
Groupes d'homotopies :