ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Fonctions élémentaires d'une variable complexe
    Notion de surface de Riemann - Sphère de Riemann

L'usage des fonctions complexes (comme pourrait l'indiquer leur nom...) n'est pas simple. Lors de la définition de telles fonctions, on rencontre généralement des difficultés au niveau de la détermination de l'image : non unicité, défaut de continuité. On parle de fonction multiforme s'opposant aux fonctions uniformes (qualificatif dû à Hermite) : unicité de l'image.

La définition de ces fonctions entraîna des débats houleux au 18è siècle entre les grands mathématiciens de l'époque comme Euler, Jean Bernoulli, Leibniz, d'Alembert. Elles ont permis de développer, avec Cauchy et Weierstrass la théorie des fonctions analytiques (fonctions développables en série entière).

Attention aux risques de confusion avec les notions de continuité uniforme et de convergence uniforme : rien à voir !

Si la définition de la fonction carrée z z2 , de la fonction inverse z 1/z ou de la fonction exponentielle z ez ne pose pas de problèmes majeurs, il n'en va pas de même, par exemple, avec les tentatives de définition des fonctions racine carrée et logarithme.


a)
En admettant la formule d'Euler et en dérivant cos x + i.sin x par rapport à x, montrer que la fonction dérivée
de x eix n'autre que x   i.eix.
b) On pose z = x + iy et pour tout complexe z : exp(z) = ex(cosy + i.siny). Vérifier que exp(z + z') = exp(z) x exp(z').

Définition en tant que série entière de l'exponentielle complexe :

Cas de la racine carrée complexe :

Si z est un nombre complexe, on peut l'écrire : z = rei(θ + 2kπ) où r est le module de z et est θ un argument de z, défini à 2kπprès. Lorsque k décrit Z, z reste inchangé. Les racines carrées de z dans C sont alors rei(θ + 2kπ). On est en présence d'une fonction multiforme : deux images opposées. Laquelle choisir ?  

Problème a priori insoluble quel que soit le choix car nous travaillons ici dans C, assimilable à R2 : supposons qu'un complexe z' décrive une boucle ne contenant pas l'origine, son argument "augmente" puis revient à sa valeur initiale après un tour complet :

Par contre, si, tel z sur le schéma ci-dessus, on décrit une boucle contenant O, alors son argument augmente de 2π : z reprend donc sa valeur initiale mais, "pendant ce temps là", l'argument de la racine carrée choisie verra son argument augmenter de π. Au final, on retombe sur l'autre détermination de la racine carrée ! On dit que l'origine est un point critique pour la fonction racine carrée : elle est une fonction multiforme autour de O.

Pour remédier à ce problème, Riemann imagine un artifice redéfinissant l'ensemble de définition des fonctions complexes : on parle aujourd'hui de surfaces de Riemann sur lesquelles ces fonctions redeviennent uniformes (nos fonctions usuelles : l'image est unique).

Voici, ci-dessous, une représentation de la surface de Riemann associée à la fonction racine carrée complexe due à Jean Bass dans son Cours de Mathématiques (tome II, Fonctions analytiques, Ed. Masson, 1964) :

On "clone" le plan complexe que l'on représente par deux feuillets C(1) et C(2) reliés entre eux par le demi-axe positif, appelé coupure. L'origine O qui pose ici problème, est appelé point de branchement. Aucune boucle autour de O ne doit franchir cette coupure à moins de passer de C(1) à C(2) ou inversement. Dans ces conditions, z ne reprendra sa valeur initiale qu'au bout de 2 tours.

L'origine du plan complexe n'est pas toujours la fautive ! Si vous cherchez à donner un sens à la racine carrée de la fonction z z4 - 1, il vous faudra effectuer 4 coupures : les points de branchements seront 1, -1, i, -i.

Ayant fait le choix d'une détermination de la racine carrée, celle-ci devient uniforme sur la surface de Riemann, ce qui autorise alors la notation z. Dans le plan ainsi coupé, cette fonction est cependant discontinue en tout point de la coupure.

Cette "astuce" de Riemann permet par exemple d'appliquer le théorème des résidus non utilisable dans C du fait de la discontinuité produite par toute rotation autour d'un point de branchement.

Ci-dessous : Une autre vision (à gauche) de la surface de Riemann associée à la racine carrée complexe, plus esthétique grâce à l'informatique. à droite un compromis fabrication maison : le complexe z tourne autour de O dans C(1); en butant sur la coupure, il plonge dans C(2), fait un tour complet et bute de nouveau sur la coupure dans C(2) : z refait surface dans C(1) pour revenir à son point d'origine au bout de 2 tours.

                

Cas du logarithme complexe :

Si θ = Arg z (argument principal) est l'argument principal d'un complexe z de module r, on a :

z = r x e, mais aussi z = r x ei(θ + 2kπ)

Si le logarithme du nombre complexe z est calqué sur le logarithme du cas réel par prolongation, il peut logiquement se définir par :

Log z = Log (r x e) =  ln r + iθln e = ln r + iθ     où ln désigne le logarithme népérien

Mais on devra avoir aussi :

Log z = Log (r × ei(θ + 2kπ)) =  ln r + iθ +2ikπ

Il s'agira donc d'une fonction multiforme. On conçoit que la surface de Riemann associée à Log z possède une infinité de feuillets s'interprétant comme une surface hélicoïdale :

En tant que fonction réciproque de la fonction exponentielle complexe, il s'agira d'être extrêmement prudent... : on obtient une fonction uniforme (image unique) en utilisant le logarithme principal et il ne s'agira pas de tourner autour de l'origine qui est, là encore, un point critique. D'où la nécessité de restreindre l'ensemble de définition de Log z à un plan coupé par une demi-droite arbitraire : l'usage est de choisir le demi axe négatif.


1.
 On définit le logarithme principal dans C*par Log z = ln r + iθ avec θ = Arg z
a) Calculer Log(i) et log(-i); comparer Log z et Log .              b) Comparer Log(z) et Log(-z)
Attention dans cette question :
les étourdis prendront conscience que θ dans Log z =  ln r + iθ n'est pas un argument de Log z mais sa partie imaginaire !

2.  Le plan complexe est maintenant coupé selon le demi-axe négatif. Pour tout zC - R-, on pose Log z = ln r + iθ avec θ = Arg z.
a) Soit j la racine cubique de l'unité :  j =  [1;2π/3] = -1/2 + i3/2. Montrer que Log j2 2Log j.
b) On pose z = x + iy et z' = x' + iy'. Montrer que si yy' < 0, alors Log(zz') = Log z + Log z'.
c) Soit a strictement négatif. On pose z = a + iy, y > 0, Arg z = θ et z ' = a + iy', y' < 0, Arg z = θ'. Calculer Log z - Log z'.
Déduire, en faisant tendre y et y' vers 0, que Log z ne se prolonge pas continûment à C*.

Sphère de Riemann :

On se place dans l'espace euclidien usuel, C étant assimilé au plan (P) = (xOy). Considérons la sphère Σ centrée en O, de rayon 1. Envoyons alors Σ sur C par projection stéréographique ( Hipparque) de pôle N, pôle nord de Σ. Le cercle unité de (P) est invariant. N n'a pas d'image : elle est rejetée à l'infini avec un argument indéterminé : on identifie à un seul point l'ensemble des points rejetés l'infini des demi-droites [N, [ parallèles à (P).

Ce point à l'infini est noté . Il peut être défini par z   |z| 1/z 0. L'argument de est indéfini.

On note généralement , l'ensemble C {}. On convient que k/0 = pour tout k non nul de C et que 1/ = 0.  Topologiquement, en choisissant comme voisinages du point à l'infini, les ensembles de la forme K'{} où K' est le complémentaire d'un compact de C, on démontre (Cf. QSJ, D. Leborgne) que , appelé aujourd'hui sphère de Riemann, est homéomorphe à Σ et que , en tant qu'espace topologique, est compact.

Si r désigne un réel positif non nul, on peut choisir les K' comme étant les ensembles de complexes z de module strictement supérieur à r : {zC / | z | > r} lorsque r décrit R+-{0}.


a) Σ étant choisi de rayon 1, de centre O(0,0,0), on s'intéresse à la projection stéréographique M z de la demi-sphère "supérieure" Σ+. La notation z désigne indifféremment le complexe et son image. Montrer, avec les notations ci-dessus que : v/y = Om/Oz = u/x et que zm/zO = w.
b) En déduire que la projection stéréographique de Σ+ sur C est définie (pour M N) par : M(u,v,w) z = (u + iv)/(1 - w).
Vérifier que | z | = (1 + w)/(1 - w) :
la distance de O à z ne dépend que de w, ce qui semble logique !
c) Inversement, montrer que z M(u,v,w) avec u = (z + z)/r, v = (z - z)/r, w = (| z |2 - 1)/r, r = 1 + | z |2.

Compactifié d'Alexandrov :

Lien entre la sphère de Riemann et la projection conforme de Mercator :   

Notons λ et φ les longitudes et latitude de M sur Σ+ assimilée à notre planète (hémisphère nord plus précisément). On a :

On est donc amené à noter z = x + iy = tan(π/4 + φ/2).e. La projection stéréographique est une transformation conforme (elle conserve les angles) et, pour tout z de C - R-, le logarithme népérien complexe défini par Log z = ln r + iθ avec θ = Arg z (argument principal de z) est holomorphe, c'est donc également une transformation conforme. Appliquons alors la fonction k. Log ( k constante non nulle) à z = tan(π/4 + φ/2).e, on obtient :

x = k.Log |tan(π/4 + φ/2)|   , y = k.λ         (f)

Ce résultat montre que les parallèles et les méridiens sont représentés par un maillage de droites perpendiculaires. Dérivons x par rapport à φ dans la formule (f) ci-dessus : dx/dφ = k/cosφ  ( primitive de 1/cosx) : on retrouve le principe de correction de Mercator  pour l'espacement entre les projections des parallèles (cercles de même latitude). Ce qui prouve que la projection cylindrique de Mercator est conforme.

Loxodromie et orthodromie :              Jacqueline Lelong-Ferrand  

Surface de Riemann (définition abstraite), cartes, atlas :

Une surface de Riemann se définit aujourd'hui comme un espace topologique X localement homéomorphe au plan complexe pour lequel les homéomorphismes i appliquant les ouverts Ui de X sur ceux de C définis ci-dessous vérifient une condition d'holomorphie :

On voit encore ici le lien "cartographique" déjà rencontré ci-dessus avec la projection stéréographique : on peut dire que les cartes permettent de "lire" dans C ce qui "se passe" sur la surface de Riemann, son image homéomorphe.

Vue ainsi, la sphère de Riemann apparaît comme un cas trivial de surface de Riemann avec les deux cartes (C, id : zz) et (C* {}, z1/z).

De façon encore plus abstraite, une surface de Riemann s'interprète en tant que variété analytique de dimension  complexe 1 dont l'espace topologique sous-jacent est séparé  :

Variétés différentielles et surfaces de Riemann :             Théorème de Riemann-Roch          Mirzakhani


Pour en savoir plus :


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