ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Intégrale définie, indéfinie, généralisée (également dite impropre)

On distingue entre intégrale définie ou, simplement, intégrale qui est un nombre ( intégrale de Riemann), par exemple :

 et l'intégrale indéfinie ou primitive, qui est une fonction définie à une constante additive près et que l'on note alors :

f(x)dx

Si F est une primitive de f sur l'intervalle d'étude et k désignant une constante arbitraire, on peut écrire :

et l'on a :

    Calculs d'intégrales

On parle d'intégrale généralisée pour donner un sens à une intégrale dont une des bornes (au moins) est infinie ou représente pour la fonction f une singularité (discontinuité, indéfinition).

i/ Supposons f intégrable sur tout intervalle J = [a,b[. La fonction F, intégrale de f sur [a,x], existe donc pour tout x de J. Si, lorsque x tend vers b, F admet une limite finie, on dit que l'intégrale converge. On note et on appelle intégrale généralisée de f sur [a,b] le nombre :

ii/ Supposons f intégrable sur tout intervalle [a,x], x > a. La fonction F, intégrale de f sur [a,x], existe donc. Si, lorsque x tend vers l'infini, F admet une limite finie, on dit encore que l'intégrale converge. On note et on appelle intégrale généralisée de f sur [a,+[ le nombre :

On donnera également un sens évident aux notations :

Théorèmes de convergence :     

Avec les notations précédentes et b éventuellement infini :

  1. si, au voisinage de b, f g, les intégrales généralisées de f et g sont de même nature

  2. si  f g sur J = [a,b[ et si l'intégrale de g converge, alors il en est de même de l'intégrale de f.

  3. si, au voisinage de b, il existe un réel M > 0 tel que |f(x)| M. |g(x)| et si l'intégrale de g converge, alors il en est de même de l'intégrale de f.

  Landau et les notations  f ~ g et f = O(g)

Exemple de calcul : 

La fonction f : x 1/(1+x2) est la dérivée de Atan(x). On voit que l'on peut donner un sens à l'intégrale sur R tout entier de cette fonction :

Cette limite correspond à l'aire comprise sous la courbe représentative de f admettant l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.

On pouvait aussi remarquer, par parité, que cette intégrale est aussi :




Rép :
le changement de variable indiqué conduit facilement à I = 2J où J désigne l'intégrale généralisée :


Finalement I = 2π3/9.

Intégrale de Dirichlet :           Intégrale de Gauss :           Convergence uniforme d'une intégrale généralisée :

Critères de convergence :

1. Si f est positive et f(x) g(x) sur l'intervalle d'intégration et si g est intégrable alors f l'est aussi. Inversement si l'intégrale de g diverge et si f(x) g(x) alors l'intégrale de f diverge aussi.

2. Si | f | est intégrable alors f l'est aussi et |f | | f |.

3. Si |f(x)| g(x) sur l'intervalle d'intégration et si g est intégrable alors f et | f | le sont aussi.

4. Si f est positive et décroissante sur R+, alors l'intégrale de f sur R+ est de même nature que la série des f(n).

Dérivation et intégration "sous le signe somme" :


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