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On distingue entre intégrale définie ou, simplement, intégrale qui est un nombre (» intégrale de Riemann), comme par exemple :
et l'intégrale indéfinie ou primitive, qui est une fonction définie à une constante additive près et que l'on note alors simplement (pas de bornes d'intégration :
On écrira par exemple :
∫sinx
dx = - cos(x)
+ k où k désigne une constante réelle quelconque. Ces intégrales indéfinies
ont même fonction dérivée : en l'occurrence sin
x.
Si F est une primitive de f sur l'intervalle d'étude et k désignant une constante arbitraire, on peut écrire :
et l'on a :
Intégrale généralisée (ou impropre) :
Afin de donner un sens à une intégrale dont une des bornes (au moins) est infinie ou représente pour la fonction f une singularité (discontinuité, indéfinition), on peut étendre la définition de l'intégrale définie de la façon suivante :
i/ Supposons f intégrable sur tout intervalle J = [a,b[. La fonction F, intégrale de f sur [a,x], existe donc pour tout x de J. Si, lorsque x tend vers b, F admet une limite finie, on dit que l'intégrale converge. On note et on appelle intégrale généralisée de f sur [a,b] le nombre :
ii/ Supposons f intégrable sur tout intervalle [a,x], x > a. La fonction F, intégrale de f sur [a,x], existe donc. Si, lorsque x tend vers l'infini, F admet une limite finie, on dit encore que l'intégrale converge. On note et on appelle intégrale généralisée de f sur [a,+∞[ le nombre :
➔ Un critère intéressant pour l'existence (convergence) de l'intégrale de f sur [a,+∞[ :
Lorsque f est positive et continue sur tout intervalle [a,α], α > a et majorée par une fonction g intégrable sur [a,+∞[, alors f est intégrable sur [a,+∞[ et son intégrale est inférieure à celle de g.
On donnera également un sens évident à la notation :
∗∗∗
Étudier les variations sur R* de la fonction f : x
→ e-x/x.
Comparer f(x) et e-x au voisinage de +∞.
En déduire que l'intégrale de f sur [1,+∞[ converge.
Rép. succinte : f '
est du signe de -(x + 1). Au voisinage de 0, f est équivalente à 1/x. Au
voisinage de -∞, e-x l'emporte sur x : lim f = -∞.
Sur [1,+∞[, f(x) < e-x : lim f = 0 et, f est majorée sur tout
intervalle [1,α] par g : x
→ e-x continue et
intégrable sur cet intervalle.
Lorsque α → +∞,
Int[1,α]
g = -e-α + 1/e →
1/e : f est donc
intégrable sur [1,+∞[. La
méthode de Simpson sur [1,10]
fournit 0,219 à 10-3 près
comme valeur de cette intégrale. Le choix de la borne 10 se justifie du fait que si x > 10, f(x) =
(1/x)(1/ex) < 4,54 × 10-6.
Plus délicate, voire dangereuse, est la notation :
Elle n'a de sens que si f est intégrable d'une part sur ]-∞,0] et d'autre part sur [0,+∞[. Ce n'est qu'une notation pratique, le calcul étant constitué de deux intégrales généralisées :
Pour qu'une fonction soit intégrable sur R tout entier,
il faut et il suffit qu'elle soit intégrable sur ]-α,0] et sur [0,+α[! Ne surtout pas calculer l'intégrale sur [-α,+α] et faire ensuite tendre α vers l'infini
∗∗∗
☼
Théorèmes de convergence :
Avec les notations précédentes et b éventuellement infini :
si, au voisinage de b, f ~ g, les intégrales généralisées de f et g sont de même nature. » notations de Landau
i/ si f est positive et f
≤ g sur J
= [a,b[ et si l'intégrale de g
converge, alors il en est de même de l'intégrale de f.
ii/ si |f(x)| ≤
g(x) sur l'intervalle d'intégration et si g est intégrable alors f et | f | le
sont aussi.
si l'intégrale de g diverge et si f(x) ≥ g(x) alors l'intégrale de f diverge aussi.
si, au voisinage de b, il
existe un réel M > 0 tel que |f(x)|
≤ M. |g(x)|
et si
l'intégrale de g converge,
alors il en est de même de
l'intégrale de f.
Si | f | est intégrable alors f l'est aussi et |∫ f | ≤ ∫| f |.
Si f est positive et décroissante sur [0,+∞[, alors l'intégrale de f sur [0,+∞[ est de même nature que la série des f(n).
Soit f de classe C1, strictement positive et
telle que f '/f = o(1/x) au voisinage de +∞, alors
∫[a,∞] f(t)dt
diverge et
∫[a,x] f(t)dt ~ xf(x) au voisinage de +∞.
Valeur principale de Cauchy d'une intégrale généralisée : » Dérivation et intégration "sous le signe somme" : »
Exemples :
∗∗∗
1. Calculer l'aire sous la courbe
représentative de la fonction f : x →
1/(1+x2) :
La fonction f est la dérivée de la fonction Atn, Arc tangente, fonction réciproque de la tangente, dont la limite en +∞ est π/2. Par parité l'aire cherchée est :
∗∗∗
2.
Rép : le changement de
variable indiqué conduit facilement à I = 2J où J désigne l'intégrale
généralisée :
Finalement I = 2π√3/9.
∗∗∗
3.
Rép :
Remarquer que x4 + x2 + 1 = (x2
+ 1)2 - x2. L'intégrale peut s'écrire :
Or, x ± 1 peut s'écrire ½(2x ± 1)
± ½, on en déduit :
Les deux premières intégrales ci-dessus, de la forme
∫du/u,
s'intègrent en ln|u
|.
Quant aux deux dernières, on peut écrire :
x2 ± x + 1 = (x ± 1/2)2 + 3/4 et faire apparaître la forme ∫du/(a2 + u2) s'intégrant en 1/a
× Atn(u/a). Ce qui conduit à :
La partie logarithmique se réduit ln(1)
- ln(1) et la partie trigonométrique à 1/(2√3) × [(π/2 + π/2) - (π/6 -
π/6]. Finalement :
Intégrale de Dirichlet : » Intégrale de Gauss : » Convergence uniforme d'une intégrale généralisée : »