ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Intégrale définie, indéfinie, généralisée (également dite impropre)

On distingue entre intégrale définie ou, simplement, intégrale qui est un nombre ( intégrale de Riemann), par exemple :

 et l'intégrale indéfinie ou primitive, qui est une fonction définie à une constante additive près et que l'on note alors :

f(x)dx

Si F est une primitive de f sur l'intervalle d'étude et k désignant une constante arbitraire, on peut écrire :

et l'on a :

    Calculs d'intégrales

On parle d'intégrale généralisée ou d'intégrale impropre pour donner un sens à une intégrale dont une des bornes (au moins) est infinie ou représente pour la fonction f une singularité (discontinuité, indéfinition).

i/ Supposons f intégrable sur tout intervalle J = [a,b[. La fonction F, intégrale de f sur [a,x], existe donc pour tout x de J. Si, lorsque x tend vers b, F admet une limite finie, on dit que l'intégrale converge. On note et on appelle intégrale généralisée de f sur [a,b] le nombre :

Le nombre :

ii/ Supposons f intégrable sur tout intervalle [a,x], x > a. La fonction F, intégrale de f sur [a,x], existe donc. Si, lorsque x tend vers l'infini, F admet une limite finie, on dit encore que l'intégrale converge. On note et on appelle intégrale généralisée de f sur [a,+[ le nombre :

  Un critère intéressant pour l'existence (convergence) de l'intégrale de f sur [a,+[ :

Lorsque f est positive et continue sur tout intervalle [a,α], α > a et majorée par une fonction g intégrable sur [a,+[, alors f est intégrable sur [a,+[ et son intégrale est inférieure à celle de g.

On donnera également un sens évident à la notation :


Étudier les variations sur R* de la fonction f : x e-x/x. Comparer f(x) et e-x au voisinage de +∞.
En déduire que l'intégrale de f sur [1,+∞[ converge.
Rép. succinte : f ' est du signe de -(x + 1). Au voisinage de 0, f est équivalente à 1/x. Au voisinage de -∞, e-x l'emporte sur x : lim f = -∞.
Sur [1,+∞[, f(x) < e-x :  lim f = 0 et, f est majorée sur tout intervalle [1,α] par g : x e-x continue et intégrable sur cet intervalle.
Int[1,
α] g = -e + 1/e 1/e lorsque α +∞ : f est donc intégrable sur [1,+∞[. A 10-3 près, la méthode de Simpson sur [1,10] fournit 0,219
comme valeur de cette intégrale. Le choix de 10 s'explique par si x > 10, f(x) = (1/x)(1/ex) < 4,5410-6.

 

Plus délicate, voire dangereuse, est la notation :    

    

Elle n'a de sens que si f est intégrable d'une part sur  ]-,0]  et d'autre part sur [0,+[. Ce n'est qu'une notation pratique, le calcul étant constitué de deux intégrales généralisées :

Pour qu'une fonction soit intégrable sur R tout entier, il faut et il suffit qu'elle soit intégrable sur ]-α,0] et sur [0,+α[
et que la convergence des deux intégrales soit assurée en faisant tendre α vers l'infini.

Ne surtout pas calculer l'intégrale sur [-α,+α]et faire ensuite tendre α vers l'infini

Théorèmes de convergence :     

Avec les notations précédentes et b éventuellement infini :

  1. si, au voisinage de b, f g, les intégrales généralisées de f et g sont de même nature.   notations de Landau

  2. i/  si f est positive et f g sur J = [a,b[ et si l'intégrale de g converge, alors il en est de même de l'intégrale de f.
    ii/  si |f(x)| g(x) sur l'intervalle d'intégration et si g est intégrable alors f et | f | le sont aussi.

  3. si l'intégrale de g diverge et si f(x) g(x) alors l'intégrale de f diverge aussi.

  4. si, au voisinage de b, il existe un réel M > 0 tel que |f(x)| M. |g(x)| et si l'intégrale de g converge,
    alors il en est de même de l'intégrale de f.

  5. Si | f | est intégrable alors f l'est aussi et |f | | f |.

  6. Si f est positive et décroissante sur [0,+[, alors l'intégrale de f sur [0,+[ est de même nature que la série des f(n)

Dérivation et intégration "sous le signe somme" :

Exemple de calcul :   

Calculer l'aire sous la courbe représentative de la fonction f : x 1/(1+x2) :

La fonction f est la dérivée de la fonction Atn, Arc tangente, fonction réciproque de la tangente, dont la limite en + est π/2. Par parité l'aire cherchée est :




Rép :
le changement de variable indiqué conduit facilement à I = 2J où J désigne l'intégrale généralisée :


Finalement I = 2π3/9.

Intégrale de Dirichlet :           Intégrale de Gauss :           Convergence uniforme d'une intégrale généralisée :


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