ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Intégrale définie, indéfinie, généralisée (également dite impropre)

On distingue entre intégrale définie ou, simplement, intégrale qui est un nombre (» intégrale de Riemann), comme par exemple :

et l'intégrale indéfinie ou primitive, qui est une fonction définie à une constante additive près et que l'on note alors simplement (pas de bornes d'intégration :

• On écrira par exemple : ∫sinx dx = - cos(x) + k où k désigne une constante réelle quelconque. Ces intégrales indéfinies ont même fonction dérivée : en l'occurrence sinx.

∗∗∗   Calculs d'intégrales

Intégrale généralisée (ou impropre) :   

Afin de donner un sens à une intégrale dont une des bornes (au moins) est infinie ou représente pour la fonction f une singularité (discontinuité, indéfinition), on peut étendre la définition de l'intégrale définie de la façon suivante :

i/ Supposons f intégrable sur tout intervalle J = [a,b[. La fonction F, intégrale de f sur [a,x], existe donc pour tout x de J. Si, lorsque x tend vers b, F admet une limite finie, on dit que l'intégrale converge. On note et on appelle intégrale généralisée de f sur [a,b] le nombre :

ii/ Supposons f intégrable sur tout intervalle [a,x], x > a. La fonction F, intégrale de f sur [a,x], existe donc. Si, lorsque x tend vers l'infini, F admet une limite finie, on dit encore que l'intégrale converge. On note et on appelle intégrale généralisée de f sur [a,+∞[ le nombre :

 ➔  Un critère intéressant pour l'existence (convergence) de l'intégrale de f sur [a,+∞[ :

Lorsque f est positive et continue sur tout intervalle [a,α], α > a et majorée par une fonction g intégrable sur [a,+∞[, alors f est intégrable sur [a,+∞[ et son intégrale est inférieure à celle de g.

On donnera également un sens évident à la notation :

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Étudier les variations sur R* de la fonction f : x → e^-x/x. Comparer f(x) et e^-x au voisinage de +∞.
En déduire que l'intégrale de f sur [1,+∞[ converge.
Rép. succinte : f ' est du signe de -(x + 1). Au voisinage de 0, f est équivalente à 1/x. Au voisinage de -∞, e^-x l'emporte sur x : lim f = -∞.
Sur [1,+∞[, f(x) < e^-x :  lim f = 0 et, f est majorée sur tout intervalle [1,α] par g : x → e^-x continue et intégrable sur cet intervalle.
Lorsque α → +∞, Int_[1,α] g = -e^-α + 1/e → 1/e  : f est donc intégrable sur [1,+∞[. La méthode de Simpson sur [1,10] fournit 0,219 à 10^-3 près
comme valeur de cette intégrale. Le choix de la borne 10 se justifie du fait que si x > 10, f(x) = (1/x)(1/e^x) < 4,54 × 10^-6.

Plus délicate, voire dangereuse, est la notation :    

Elle n'a de sens que si f est intégrable d'une part sur  ]-∞,0]  et d'autre part sur [0,+∞[. Ce n'est qu'une notation pratique, le calcul étant constitué de deux intégrales généralisées :

Pour qu'une fonction soit intégrable sur R tout entier, il faut et il suffit qu'elle soit intégrable sur ]-α,0] et sur [0,+α[
et que la convergence des deux intégrales soit assurée en faisant tendre α vers l'infini.

 !   Ne surtout pas calculer l'intégrale sur [-α,+α] et faire ensuite tendre α vers l'infini

• Un exemple... : soit à calculer l'intégrale sur R de f(x) = x³. Une primitive est x⁴/4. L'intégrale sur [-α,+α] est égale à α⁴/4 - α⁴/4 = 0. Et cela pour tout α. On pourrait en conclure que l'intégrale sur R existe et égale 0. En fait, tout se passerait alors comme si on écrivait ∞ - ∞ = 0.

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Théorèmes de convergence :     

Avec les notations précédentes et b éventuellement infini :

1. si, au voisinage de b, f ~ g, les intégrales généralisées de f et g sont de même nature.   » notations de Landau

2. i/  si f est positive et f ≤ g sur J = [a,b[ et si l'intégrale de g converge, alors il en est de même de l'intégrale de f.
   ii/  si |f(x)| ≤ g(x) sur l'intervalle d'intégration et si g est intégrable alors f et | f | le sont aussi.

3. si l'intégrale de g diverge et si f(x) ≥ g(x) alors l'intégrale de f diverge aussi.

4. si, au voisinage de b, il existe un réel M > 0 tel que |f(x)| ≤ M. |g(x)| et si l'intégrale de g converge,
   alors il en est de même de l'intégrale de f.

5. Si | f | est intégrable alors f l'est aussi et |∫ f | ≤ ∫| f |.

6. Si f est positive et décroissante sur [0,+∞[, alors l'intégrale de f sur [0,+∞[ est de même nature que la série des f(n).

7. Soit f de classe C¹, strictement positive et telle que f '/f = o(1/x) au voisinage de +∞, alors ∫_[a,∞] f(t)dt diverge et
   ∫_[a,x] f(t)dt ~ xf(x) au voisinage de +∞.

Valeur principale de Cauchy d'une intégrale généralisée : »       Dérivation et intégration "sous le signe somme" : »

Exemples :   

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1. Calculer l'aire sous la courbe représentative de la fonction f : x → 1/(1+x²) :

La fonction f est la dérivée de la fonction Atn, Arc tangente, fonction réciproque de la tangente, dont la limite en +∞ est π/2. Par parité l'aire cherchée est :

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2.

Rép : le changement de variable indiqué conduit facilement à I = 2J où J désigne l'intégrale généralisée :





Finalement I = 2π√3/9.

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3.

Rép : Remarquer que x⁴ + x² + 1 = (x² + 1)² - x². L'intégrale peut s'écrire :

Or, x ± 1 peut s'écrire ½(2x ± 1) ± ½, on en déduit :



Les deux premières intégrales ci-dessus, de la forme ∫du/u, s'intègrent en ln|u|. Quant aux deux dernières, on peut écrire :
x² ± x + 1 = (x ± 1/2)² + 3/4 et faire apparaître la forme ∫du/(a² + u²) s'intégrant en 1/a × Atn(u/a). Ce qui conduit à :



La partie logarithmique se réduit ln(1) - ln(1) et la partie trigonométrique à 1/(2√3) × [(π/2 + π/2) - (π/6 - π/6]. Finalement :

Intégrale de Dirichlet : »           Intégrale de Gauss : »           Convergence uniforme d'une intégrale généralisée : »