ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Longueur d'un arc de courbe plane ou gauche           » cas de l'ellipse | de la parabole | de l'hyperbole | de la sinusoïde | Arc tracé sur une surface : courbe gauche

Il semble que le mathématicien W. Neile fut le premier à calculer la longueur exacte d'un arc de courbe par des moyens différentiels. Wallis, Barrow et Gregory se penchèrent sur ce difficile problème qui sera résolu par Leibniz et Newton au moyen de la notion de dérivée.

Cependant, dans la majorité des cas, malgré les « formules clés en main » ci-dessous, le calcul de la longueur d'un arc est d'une rare complexité, voire impossible à calculer exactement par quadrature. On a recours à des développements en série que l'on intègre ensuite terme à terme, ou à l'usage de tables numériques. La rectification de l'ellipse fut un des premiers casse-têtes des mathématiciens du 17è siècle. Fagnano, conscient de l'impossibilité d'une intégration, fut le premier à en donner une approximation assez précise. La rectification d'un arc d'hyperbole ou de sinusoïde relève de la même complexité conduisant aux intégrales elliptiques.

Considérons une courbe plane (C) admettant une représentation paramétrique de classe C¹ sur un intervalle I :

On dira également de (C) qu'elle est régulière si f' et g' ne s'annulent pas simultanément sur I (» courbe algébrique). Une telle courbe (ou arc d courbe) est rectifiable, en ce sens que l'on peut en calculer la longueur au sens usuel du terme.

Pour simplifier, on note M(t) le point M(f(t),g(t)). Soit A = M(t_o) un point de (C), t > t_o, et s(t) la longueur de l'arc de courbe AM (nous considérons que pour t > t_o, M décrit (C) dans un sens connu préalablement étudié). Le nombre s(t) est l'abscisse curviligne de M sur (C).

Considérons en effet la figure ci-contre; (T) est la tangente en A à (C); H est la projection orthogonale de M sur (T); u désigne une mesure de l'angle ^HAM.

On a : AM < s(t) < AH + HM. C'est dire : AM < s(t) < (cos u + sin u) x AM, ce qui peut s'écrire :

 

1 < s(t)/AM < cos u + sin u

Lorsque M tend vers A sur(C), (AM) se confond avec la tangente (T); c'est dire que u tend vers 0; ainsi sin u tend vers 0 et cos u tend vers 1. D'où le résultat.

Désignons par M' le point de (C) correspondant à t + h (h > 0) : s(t + h) - s(t) = arc MM'. Appliquons le lemme 1 :

La dernière égalité est due au lemme précédent. Or :

Par suite, s est dérivable et :

 

En intégrant la formule (s') ci-dessus, on peut énoncer : si x' et y' sont des fonctions continues sur l'intervalle [t_o,t], la longueur de l'arc AM est calculé par :

        (s)

En termes différentiels, la relation (s') s'écrit ds = s'(t)dt. Donc, en remplaçant x'(t) par dx/dt et y'(t) par dy/dt :

       (ds)

ou encore : ds² = dx² + dy². Cette relation fut établie par Leibniz. Elle se généralise à l'espace (courbe gauche) par ds² = dx² + dy² + dz².

   !   ds² désignant (ds)² et non la différentielle de s² qui serait 2s x ds; de même pour dx² et dy².

Cas d'une équation paramétrée :     

Si la courbe est définie en coordonnées paramétriques par x = f(t), y = g(t), on peut retenir la formule :

Cas d'une équation cartésienne :      

Le cas d'une courbe plane (C) définie par une relation de la forme y = f(x) s'interprète comme une courbe paramétrée par x avec X = x et Y = f(x). On a alors, avec des notations évidentes :

• Un exemple simple : considérons l'arc de cosinus hyperbolique y = cosh x = (e^x + e^-x)/2. On a y' = sinh x = (e^x - e^-x)/2. Or cosh² x - sinh² x = 1 et par suite la longueur L de l'arc de courbe sur l'intervalle [0,x] sera tout simplement l'intégrale de 0 à x de cosh x, soit L = sinh x

Le cas plus difficile d'un (simple) arc de parabole y = x² ... : » .

Cas d'une équation polaire :      

Si la courbe (C) est définie en coordonnées polaires par une relation de la forme r = f(t), on a pour tout M(x,y) de (C) : x = r.cos t et y = r.sin t. Par suite, en posant r' = f '(t), on peut retenir la formule :

Usage d'une intégrale curviligne :    

La formule :

permet d'écrire une intégrale curviligne, ainsi appelée car on intègre par rapport à l'abscisse curviligne s le long de la courbe (C) portant l'arc AB :

Les intégrales curvilignes (et de surface : l'élément différentiel représente alors une aire) ont un rôle important en sciences physiques, en théorie du potentiel, par exemple.

En savoir plus sur les intégrales curvilignes : »

Dans la plupart des cas, une intégrale curviligne se ramène au calcul d'une banale intégrale sur un intervalle mais ce n'est pas toujours simple et le calcul par quadrature n'est pas toujours possible :

Cas de l'ellipse et de l'hyperbole :    

L'ellipse x²/a² + y²/b² = 1 peut être paramétrée par x = a.cosθ , y = b.sinθ. On a alors ds² = (a²cos²θ + b²sin²θ) × dθ². En exprimant cos²θ en fonction de sin²θ, et en remarquant que a² - b² = c² et e = c/a (excentricité, » définition monofocale), on obtiendra pour la longueur d'un arc AM comme représenté ci-contre :

Cette intégrale n'est pas calculable ! Aucune primitive de l'intégrande ne peut être exhibée.

Calcul par développement en série : »

Legendre qualifia cette intégrale d'elliptique de seconde espèce (on dit aussi second ordre).

Intégrale elliptique de seconde espèce : »

Les intégrales elliptiques furent un chapitre difficile de l'histoire du calcul intégral. Leur étude constitua une part importante des travaux d'Abel. On peut bien entendu calculer des valeurs approchées par diverses méthodes.

Fagnano apporta une approximation intéressante pour le périmètre (on peut aussi dire longueur, voire circonférence) de l'ellipse, fournissant 2πa si a = b : l'ellipse devient un cercle de rayon a :

Cas de la sinusoide :    

On considère la fonction y = sin x (tout simplement...) sur l'intervalle [0,π/2]. La longueur de l'arc correspondant est :

D'apparence simple, ce cas ne l'est pas vraiment... En substituant sint à cost, on se ramène à l'intégrale (2 - sin²t)^1/2 donc à une intégrale elliptique de seconde espèce dont le calcul approché est en tout point semblable à celui conduisant à la longueur de l'ellipse par développement en série.  

On voit là, que le ds² s'interprète comme une forme quadratique de variables du et dv, tout comme le ds² euclidien, ds² = dx² + dy² + dz², qui apparaît réduite, eu égard à l'orthogonalité des axes. La possibilité de calculer un ds² dans un espace de dimension finie quelconque, comme l'espace-temps (dimension 4) caractérise ce que l'on appelle aujourd'hui les espaces riemanniens.