ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LAGRANGE Joseph Louis, Comte de-, français, 1736-1813

Né à Turin (Italie), il y enseigna les mathématiques dès l'âge de 19 ans à l'École d'artillerie. A 23 ans, Il se fit brillamment connaître par la publication de ses Actes de la société privée où il aborde des sujets de physique mathématique : isopérimètres (calcul des variations), acoustique, hydrodynamique.

Lagrange connut d'Alembert et Euler auquel il succéda à la présidence de l'Académie des sciences de Berlin (1766) et revint à Paris en 1787 à l'invitation de Louis XVI.

Membre fondateur du bureau des longitudes, Lagrange fut anobli par Napoléon. Savant universel, ce brillant mathématicien, physicien et astronome (expert en mécanique céleste) est inhumé au Panthéon.

Encouragé dans ses débuts par d'Alembert (de 20 ans son aîné), sa contribution est essentielle en :

  Condorcet , Weierstrass

Multiplicateur de Lagrange :

Équation de Kepler  :

  Pour en savoir plus :

La mécanique céleste, le problème des trois corps, la théorie des systèmes dynamiques :

Lagrange étudia tout particulièrement l'orbite lunaire du système céleste Terre-Lune-Soleil et expliquera ses perturbations, appelées librations, ce qui lui valut le prix de l'Académie des sciences (1764).

La plus étonnante de ces perturbations est le fait que la Lune présente toujours à la Terre la même face car il s'est établi entre notre planète et son satellite un équilibre remarquable : la Lune tourne autour de la Terre dans exactement le même temps qu'elle tourne sur elle-même.

  Jean-Dominique Cassini

Le problème des 3 corps :       

L'étude du trio Terre-Lune-Soleil est un cas concret d'un problème fameux, dont Euler et d'Alembert sont à la source vers 1740. En 1772, Lagrange apporte une solution partielle qui lui vaut le prix de l'Académie des sciences (Mécanique analytique, V.12 des œuvres complètes).

Dit, dans le cas général, problème des n corps, il s'agit de déterminer les trajectoires de n corps célestes en interactions dans l'espace. Newton, par sa théorie de la gravitation universelle, apporta auparavant la solution au cas n = 2 (conique). Pour n = 3 (par exemple Terre-Lune-Soleil), le problème devient beaucoup plus ardu : il conduit à un système de 3n équations aux dérivées partielles du second ordre ! Les outils mathématiques de l'époque ne permettent pas sa résolution.

D'Alembert (1749) Clairaut et Euler (la même année), Condorcet, Laplace et Delaunay apportèrent également des solutions partielles approchées par l'étude de l'orbite lunaire. Une avancée dans l'obtention d'une solution exacte est présentée par Poincaré en 1889. Le finlandais Sundman (1909) et l’astronome français Chazy (dès 1919) résoudront définitivement ce problème, considéré jusqu'alors comme un des plus difficiles des mathématiques.

La théorie des systèmes dynamiques        

Le problème des 3 corps fut, avec les premiers modèles mathématiques de systèmes planétaires depuis Aristarque, en passant par la mécanique de Galilée, les mécaniques célestes de Kepler, Laplace ou Newton, à l'origine de la théorie des systèmes dynamiques consistant à étudier, en fonction du temps le comportement d'un système régi par des équations mathématiques (généralement différentielles). Avec Smale (médaille Fields, 1966) et Thom, cette théorie devient une branche de la topologie différentielle.

  Fortet , Yoccoz , Birkhoff

 Pour en savoir plus sur le problème des 3 corps  :

Théorie des fonctions, notations nouvelles :

Les principaux traités mathématiques de Lagrange résident dans la Théorie des fonctions analytiques (1797) où il cherche à définir les fonctions et leurs dérivées successives par leur développement en série au voisinage d'un point, un sujet fondamental que Weierstrass développera rigoureusement en mettant en place le nouveau concept de convergence uniforme.

Lagrange simplifia les notations fonctionnelles en introduisant :

  Fonction dérivée selon d'Alembert  :

Par primitif, on entendait à l'époque -indépendamment de tout sens mathématique- ce qui n'est dérivé d'aucun autre et par dérivé (du latin rivus = ruisseau) celui qui provient d'un autre appelé primitif. On tourne un peu en rond, mais c'est clair... notons que le substantif primitive ne prendra sa place définitive qu'au début du 20è siècle car on lui préférait jusqu'alors le terme intégrale proposé par Jean Bernoulli et l'Hospital.


Déterminer la (les) fonction(s) numérique(s) vérifiant xf(x) + f(1 - x) = x2  Rép : ici
inspiré de 300 problèmes, IREM de Lyon, 1991    

Principe de Lagrange (sens de variation d'une fonction numérique par usage de sa dérivée) :

Utilisant la formule des accroissements finis ( ci-dessous), Lagrange lie le sens de variation d'une fonction au signe de sa dérivée. C'est aujourd'hui l'un des théorèmes fondamentaux dans l'étude des fonctions numériques au lycée :

Si f est dérivable sur l'intervalle ]a,b[, alors f est respectivement croissante, constante ou décroissante suivant que f ' est positive, nulle ou négative sur cet intervalle.

L'usage des théorèmes de Bolzano et de Rolle permettent, dans les cas usuels où la fonction dérivée f ' est continue sur l'intervalle ]a,b[ , d'étudier facilement le sens de variation d'une fonction : un zéro isolé de atteste la présence d'un point remarquable de la courbe : maximum local, minimum local, point d'inflexion. Des cas particuliers peuvent avoir lieu, comme un minimum en un point alors que f n'est pas dérivable en ce point. C'est le cas de x| x |, racine carrée de la valeur absolue de x :


Déterminer les fonctions numériques dérivables vérifiant f(x + y) = f(x) + 2xy + f(y)  Rép : ici    

Extremums et inflexion :             Tangente à une courbe :            D'Alembert

   Quelques exemples "concrets" niveau lycée
 

Tente bien ventilée    fonction trinôme à "maximiser"
Un problème bestial...    minimum d'un trinôme du second degré
Puissance d'un moteur électrique    trinôme 2ème degré
Le 8 du jardinier    aire maximale d'un parterre, secteurs circulaires et second degré
Resistor et puissance dissipée    fonction rationnelle x/(2x + 1)2
Résistance d'une poutre  étude d'un binôme du 3ème degré
Cuves maximales (diverses variantes)  x(3 - 2x)2 , px2 - 8/x, ...
Tétraèdre de volume maximal inscrit dans une sphère se ramène à l'étude d'une cubique
Le puits et la maison   fonction irrationnelle à minimiser
Bouée d'amarrage  fonction irrationnelle
La Jeep et le lac   fonction trigonométrique à minimiser
Échelles croisées  fonction irrationnelle
Dérivée non continue :  étude de la fonction f : x x2cos(1/x) ,

  Autres sujets

Formule des accroissements finis, également dite Formule de Lagrange :         

Cette formule est à distinguer de l'inégalité des accroissements finis énoncée ci-après :

Soit f une fonction numérique continue sur l'intervalle fermé [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe alors un réel c de ]a,b[ tel que :

f(b) - f(a) = (b - a)f '(c)

La formule fournit l'accroissement de f entre a et b. Elle est une conséquence du théorème de Rolle.

  Par accroissements finis, on entend par là un accroissement Dx = x - y représentant une quantité finie, immédiatement calculable sans passage à une limite et s'opposant à une quantité dx infinitésimale. Cet accroissement engendre un  Df = f(x) - f(y) du même ordre.       différences finies

On peut l'écrire également :

ou encore, comme souvent, en posant h = b - a et en remarquant que c, compris entre a et b peut s'écrire a + qh avec 0 < q <1 :

f(a + h) - f(a) = hf '(a + qh)

Inégalité des accroissements finis :

Soit f une fonction continue sur l'intervalle [a,b] et dérivable sur son intérieur ]a,b[. Si la fonction dérivée vérifie m M, alors pour tout couple (x,y) de [a,b], on a :

Par accroissements finis, on entend par là un accroissement Dx = x - y représentant une quantité finie, immédiatement calculable sans passage à une limite et s'opposant à une quantité dx infinitésimale. L'accroissement Δx engendre un  Δf = f(x) - f(y) du même ordre. L'inégalité peut s'écrire m ≤ Δf/Δx ≤ M.       différences finies


On pose h(x) = sin(x)/x, x non nul. Montrer, sans étudier h, que l'on a -1 ≤  h(x) ≤ +1
Indication : utiliser l'inégalité des acc. finis pour f(x) = sin(x).

Application (exercice niveau TerS/SUP) :               Formules de la moyenne (intégrale d'un produit) :
Théorème de la moyenne et valeur moyenne d'une fonction :         

En faisant jouer à le rôle de f, la différence f(b) - f(a) apparaît comme le résultat de l'intégrale de f ' sur l'intervalle [a,b] et on peut alors énoncer le théorème de la moyenne :

Si f est une fonction numérique continue sur l'intervalle [a,b], il existe c dans ]a,b[ tel que :

Bonnet et le second théorème de la moyenne :

dont on peut déduire un résultat intéressant dans les problèmes de majoration (évident graphiquement dans le cas d'une fonction positive sur l'intervalle d'intégration en interprétant l'intégrale comme la mesure de l'aire sous la courbe) :

Valeur moyenne de f sur [a,b] :     

  Lorsque f est intégrable sur l'intervalle [a,b] le nombre :

est appelé moyenne de f sur l'intervalle [a,b].

  En se ramenant à une somme de Riemann, calculer la limite pour n infini de (1 + 2 + 3 + ... n) / nn.
Rép : il s'agit de l'intégrale sur [0,1] de la fonction x x, soit 2/3.

Cas des fonctions harmoniques :  

Intégrale définie, indéfinie, généralisée :

Aujourd'hui, on distingue entre l'intégrale définie  ou, simplement, intégrale : c'est un nombre, et l'intégrale indéfinie ou primitive, c'est une fonction que l'on note alors :

f(x)dx

On parle aussi d'intégrale généralisée pour donner un sens à une intégrale dont une des bornes (au moins) est infinie : on suppose f intégrable sur tout intervalle [a,x], x > a. La fonction F, intégrale de f sur [a,x], existe donc. Si, lorsque x tend vers l'infini, F admet une limite finie, on dit que l'intégrale converge. On note et on appelle alors intégrale généralisée de f sur [a,+[ le nombre :

On donnera également un sens évident aux notations :

On écrira par exemple, à une constante additive près : sinx dx = - cos(x) ou encore

Si F est une primitive de f sur l'intervalle d'étude et k désignant une constante arbitraire :

Exemple de calcul :  la fonction f : x 1/(1+x2) est la dérivée de Atan(x). On voit que l'on peut donner un sens à l'intégrale sur R tout entier de cette fonction :

Cette limite correspond à l'aire comprise sous la courbe représentative de f admettant l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.

On pouvait aussi remarquer, par parité, que cette intégrale est aussi :




Rép : le changement de variable indiqué conduit facilement à I = 2J où J désigne l'intégrale généralisée :


Finalement I = 2π3/9.

Critères de convergence :

1. Si f est positive et f(x) g(x) sur l'intervalle d'intégration et si g est intégrable alors f l'est aussi. Inversement si l'intégrale de g diverge et si f(x) g(x) alors l'intégrale de f diverge aussi.

2. Si | f | est intégrable alors f l'est aussi et |f | | f |.

3. Si |f(x)| g(x) sur l'intervalle d'intégration et si g est intégrable alors f et | f | le sont aussi.

4. Si f est positive et décroissante sur R+, alors l'intégrale de f sur R+ est de même nature que la série des f(n).

Dérivation et intégration "sous le signe somme" :                 Intégrale de Gauss :

1. niveau Ter : a) Calculer sin x /(1 - cos x) - sin x/(1 + cos x).

  b) En déduire :

 c) Par un artifice semblable, montrer que :

 d) Utiliser un de ces deux résultats pour calculer l'intégrale :

           Rép : ln 3
 
2. Intégration par parties

3. niveau SUP : Calcul d'intégrales & primitives diverses   
 

La notation moderne des suites numériques :

On doit également à Lagrange la notation indicée, dite aussi indicielle, (un) pour désigner le terme de rang n d'une suite numérique.

Notion de suite et de série à l'époque de d'Alembert :               Suite de Fibonacci :

 
Exercices sur les suites (et séries) dans Chronomath : niveau 1ère/Ter , niveau TerS/SUP

Méthode d'interpolation polynomiale de Lagrange :

Soit f une fonction numérique. Interpoler f par un polynôme sur un intervalle [a,b], c'est choisir une subdivision, non nécessairement régulière :

a = xo < x1 < x2 < ... < xn = b

et rechercher un polynôme P de degré n, dit polynôme d'interpolation, qui coïncide avec f en chaque point Mi(xi , yi) , yi = f(xi). Lorsque la fonction f est seulement connue par un ensemble de points (nuage), comme le cas se rencontre couramment en statistique, interpoler f sur l'intervalle [a,b] par une fonction g de type donné (polynomial, logarithmique, exponentielle, trigonométrique, ...)  consiste à calculer les paramètres de g afin d'approcher au mieux les valeurs connues des yi = f(xi).

  On parle d'interpolation linéaire lorsque le polynôme est de degré 1 (l'arc de courbe est remplacé par un segment) ainsi que de régression  (éventuellement linéaire, polynomiale, logarithmique, etc.).

Étude de ce cas élémentaire :      

La courbe rose représente les variations d'une fonction f croissante sur l'intervalle [x,x1]. On cherche à approcher f(xα) pour xα]x,x1[ par le nombre yα obtenu en tant qu'ordonnée du point Mα d'abscisse xα sur le segment [MM1] avec M(x , y = f(x)) et M1(x1 , y1 = f(x1)) supposés connus. L'équation de la droite (MM1) contenant Mα peut s'écrire :

                droites du plan

On en déduit yα l'approximation de f(xα) :

Une méthode de régression très utilisée : la méthode des moindres carrés :

Historiquement, on a cherché à développer la fonction à approcher au moyen de polynômes jouissant de propriétés remarquables au sein d'espaces vectoriels euclidiens (espaces de Hilbert, espaces de Banach) :

  Polynômes de Legendre , de Tchebychev , de Hermite , de Laguerre

et l'on démontre que, eu égard à la norme utilisée, le choix de zéros xi équirépartis pour des polynômes évoqués ci-dessus conduisent à la meilleure interpolation sur l'intervalle considéré.

Outre la méthode des moindres carrés, des méthodes de régression plus subtiles permettent d'améliorer l'approximation afin de minimiser pour une distance bien choisie la différence entre f et Pn : on entre dans de subtils problèmes d'analyse fonctionnelle non développés dans cette chronologie. Les plus connues sont celles de Newton, de Gauss, de Bessel et l'approximation uniforme de Stone-Weierstrass. Lagrange a proposé le polynôme suivant dit polynôme d'interpolation de Lagrange :

         

On vérifie que l'on a bien Pn(xi) = f(xi). P est donc une approximation polynomiale de f. Mais de gros écarts peuvent être constatés. La fonction f doit donc être assez régulière.


Dans le cas de l'interpolation linéaire, écrire P1(x) en fonction de xo = a et x1 = b et vérifier f(a) = P1(a), f(b) = P1(b)

Compléments, exemple de l'interpolation de la fonction sinus : Méthode de Simpson, dite des 3/8 :

Outre la méthode des moindres carrés, des méthodes plus subtiles permettent d'améliorer l'approximation afin de minimiser pour une distance bien choisie la différence entre f et Pn : on entre dans de délicats problèmes d'analyse fonctionnelle. Historiquement, on a cherché à développer la fonction à approcher au moyen de polynômes jouissant de propriétés remarquables au sein d'espaces vectoriels euclidiens (espaces de Hilbert, espaces de Banach) :

  Polynômes de Legendre , de Tchebychev , de Hermite , de Laguerre

et l'on démontre que, eu égard à la norme utilisée, le choix, pour les xi, des zéros (équirépartis) des polynômes évoqués ci-dessus conduisent à la meilleure interpolation sur l'intervalle considéré.

Notons que d'autres méthodes d'approximation, non développées dans cette chronologie, furent mises en place, les plus connues sont celles de Newton, de Gauss, de Bessel et l'approximation uniforme de Stone-Weierstrass.

La résolution des équations algébriques :

Lagrange s'est fortement intéressé aux équations algébriques. Lors de son séjour à Berlin, il publie ses Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1772). Pour résoudre l'équation du quatrième degré, Ferrari utilisa une équation auxiliaire de degré 3.

Lagrange prouve qu'au delà du quatrième degré, l'équation auxiliaire est de degré supérieur ! De nouvelles méthodes s'imposaient donc. C'est ainsi qu'il perçoit tout l'intérêt des fonctions symétriques des racines, déjà remarquées par Viète et Girard, et que Gauss, Cauchy, et enfin Abel et Galois utiliseront pour clore le problème de la résolution par radicaux de ces équations :

Considérons l'équation :

xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an = 0.

Selon le théorème fondamental de l'algèbre, cette équation admet n solutions xi réelles ou complexes, éventuellement multiples, Lagrange montre que (-1)kak = pk , somme de tous les produits possibles pk des solutions xi pris k à k. Par exemple, pour :

Lagrange complètera son étude des équations numériques en 1798 : Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés où il expose également des méthodes de résolution approchée. Sa dernière édition date de 1808.

Méthode des sécantes de Lagrange :    

Également dite par interpolation linéaire, il s'agit d'une méthode algorithmique de résolution approchée des équations numériques où l'arc de courbe , "traversant" l'axe des abscisses en le zéro cherché, est remplacé par le segment [AB] :

Étude et programmation de la méthode :    

Cette méthode de résolution est une méthode de fausse position, en latin regula falsi :

Méthodes de fausse position (cas général)

 Pour en savoir plus :

Un théorème de Lagrange :

Si P est un polynôme à coefficients réels ai, alors un zéro de P ne peut excéder Max(1+|ai|)

Sturm
 
Étude des formes quadratiques :

 Il sera le premier, avant Gauss, à s'atteler au problème de la réduction des formes quadratiques (1767), ce qui le conduira à la résolution des équations du second degré à deux inconnues du type :

ax2 + bxy + cy2 = k

équation liée à celle de Pell et à la théorie des nombres où sa la contribution de Lagrange est importante : il résout en nombres entiers la très difficile équation diophantienne :

x2 - ny2 = ±1

où n n'est pas un carré parfait, dite de Pell-Fermat en développant la théorie des fractions continues déjà bien avancée grâce aux travaux de Aryabhata et de Chuquet.

Equation de Pell :
 

Travaux en arithmétique :

Dans ces travaux, Lagrange parle implicitement de groupe fini et de sous-groupe. Il énonça et prouva avant Cauchy cet important résultat :

Théorème :   

Dans un groupe fini E d'ordre n (c'est à dire ayant n éléments), si k est l'ordre d'un sous-groupe F de E, alors k divise n.

Groupes finis et preuve de ce théorème :

Un théorème de Lagrange (1770) :    

Il s'agit de la preuve d'une conjecture de Bachet de Méziriac, également énoncée par Waring et que Fermat démontra partiellement en son temps au moyen des nombres polygonaux de Nicomaque :

Tout entier naturel est la somme d'au plus quatre carrés (éventuellement égaux)

Sa preuve sera simplifiée par Euler en 1777 et encore par Legendre et Gauss. Par exemple : 

Théorème de Gauss (3 carrés) :          Programmation du théorème des 4 carrés :

Un théorème de Wilson-Lagrange (1773) :    

Lagrange démontra le théorème connu aujourd'hui sous le nom de théorème de Wilson :

Le nombre (p - 1)! + 1 est divisible par l'entier p si et seulement si p est premier

Énoncé en 1770 par Wilson et utilisé auparavant sans démonstration par Waring son professeur à Cambridge, c'est alors la première preuve ce résultat.

Identité de Lagrange :

Elle transforme un produit de carrés en une somme de carrés :

Par exemple : (x2 + y2)(x'2 + y'2) = (xx' + yy')2 + (xy' - x'y)2

    une application de cette formule

Théorème d'inversion de Lagrange :

Soit z une fonction de la variable y définie implicitement sous la forme z = y + k.f(z) où k désigne un paramètre (la fonction f dépend ainsi de y par l'intermédiaire de z). Lagrange affirme (sans trop de précautions ?) que toute fonction F de z peut être développée en série entière de puissances de y  :

Ce résultat voit son application dans la résolution de l'équation de Kepler m = e - e.sin e.

 Taylor

  Pour en savoir plus :

Équation différentielle de Lagrange :

 Il s'agit de l'équation différentielle du premier degré de la forme :

y = x.f(y') + g(y')

Dérivons puis posons y' = z :

z =  f(z) + [xf '(z) + g'(z)].z' ,  z' = dz/dx

Remplaçons z' par dz/dx, multiplions par dx et divisons par dz :

[z - f(z)].dx/dz - x.f '(z) - g'(z) = 0

C'est une équation linéaire d'inconnue x de variable z. On trouvera x en fonction de z et au moyen de l'équation initiale, qui s'écrit y = xf(z) + g(z), on cherchera à éliminer z afin d'obtenir la solution générale sous la forme F(x,y) = 0.

Cas particulier f(y') = y', équation de Clairaut :

Vandermonde  Wilson 
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