ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LAGRANGE Joseph Louis, Comte de-, français, 1736-1813

Né à Turin (Torino), d'origine franco-italienne (son grand-père, officier français, installé à Turin dans la garde du roi de Sardaigne Charles-Emmanuel II, avait épousé une italienne de la famille Conti), Joseph-Louis fut le cadet d'une fratrie de onze enfants dont les dix premiers moururent encore enfants.

Brillant élève, il s'intéresse très tôt aux mathématiques, en dévorant les travaux de Newton sur le calcul différentiel et intégral, et à l'astronomie en découvrant ceux de Halley. à 19 ans, on lui confie un poste d'enseignement des mathématiques à l'École d'artillerie de Turin. à 23 ans (on est en 1759), il se fit brillamment connaître par la publication de ses Actes de la société privée où il aborde des sujets de physique mathématique : isopérimètres (calcul des variations), acoustique, hydrodynamique, point de départ de sa Mécanique analytique. Le calcul différentiel devient pour la première fois un des outils du calcul des probabilités.

Encouragé par d'Alembert avec lequel il entretint de nombreuses correspondances (jusqu'à son arrivée à Paris en 1787), il fut à l'origine, en la même année 1759, de l'Académie des sciences de Turin. Admiratif de ses travaux, Euler le fait venir à Berlin (1766) en tant que mathématicien à la cour de Frédéric Legrand et élire à l'Académie des sciences de Berlin. Il y restera 20 ans et succédera à Euler à la présidence de l'Académie des sciences.

Frédéric le Grand meurt en 1786. Lagrange s'installe à Paris l'année suivante à l'invitation de Louis XVI. Membre de diverses commissions scientifiques, comme celle du système métrique, il traverse la Révolution de 1789 sans encombres, ce qui ne fut pas le cas de son ami, l'éminent chimiste Lavoisier également membre de ces commissions. à Berlin, Lagrange avait épousé une parente éloignée de sa famille turinoise qu'il perdit suite à une longue maladie. En 1792, il épousa la jeune Adélaïde, fille de son ami astronome Pierre Charles Lemonnier (1715-1799) et qui l'accompagnera jusqu'à sa mort. Membre fondateur du bureau des longitudes, savant universel, ce brillant mathématicien, physicien et astronome, expert en mécanique céleste, fut anobli par Napoléon et inhumé au Panthéon.

  Antoine Laurent de Lavoisier (1743-1794) est considéré comme le père de la chimie moderne. Il est à l'origine de la loi de conservation de la masse et des éléments chimiques dans les transformations de la matière (principe de Lavoisier) résumée en « rien ne se perd rien ne se crée, tout se transforme ». Il découvrit la composition de l'eau (H2O) et établit le rôle fondamental de l'oxygène (on lui doit cette appellation, 1783). Peu avant la révolution, Lavoisier fut aussi Fermier général, en quelque sorte percepteur des impôts, un emploi mal perçu à cette époque. Arrêté en 1793, il ne put échapper à la guillotine.

La contribution de Lagrange en mathématiques, astronomie et sciences physiques est colossale et comparable à celle de son ami Euler :

Multiplicateur de Lagrange :                Plateau

Équation de Kepler  :

  Condorcet , Weierstrass

La mécanique céleste, le problème des trois corps, la théorie des systèmes dynamiques :

Lagrange étudia tout particulièrement l'orbite lunaire du système céleste Terre-Lune-Soleil et expliquera ses perturbations, appelées librations, ce qui lui valut le prix de l'Académie des sciences (1764).

La plus étonnante de ces perturbations est le fait que la Lune présente toujours à la Terre la même face car il s'est établi entre notre planète et son satellite un équilibre remarquable : la Lune tourne autour de la Terre dans exactement le même temps qu'elle tourne sur elle-même.

  Jean-Dominique Cassini

Le problème des 3 corps :       

L'étude du trio Terre-Lune-Soleil est un cas concret d'un problème fameux, dont Euler et d'Alembert sont à la source vers 1740. En 1772, Lagrange apporte une solution partielle qui lui vaut (encore) le prix de l'Académie des sciences (Mécanique analytique, V.12 des œuvres complètes, réf. 12).

Dénommé, dans le cas général, problème des n corps, il s'agit de déterminer les trajectoires de n corps célestes en interactions dans l'espace. Newton, par sa théorie de la gravitation universelle, apporta auparavant la solution au cas n = 2 (conique).

Pour n = 3 (par exemple Terre-Lune-Soleil), le problème devient beaucoup plus ardu : il conduit à un système de 3n équations aux dérivées partielles du second ordre ! Les outils mathématiques de l'époque ne permettent pas sa résolution.

D'Alembert (1749) Clairaut et Euler (la même année), Condorcet, Laplace et Delaunay apportèrent également des solutions partielles approchées par l'étude de l'orbite lunaire. Une avancée dans l'obtention d'une solution exacte est présentée par Poincaré en 1889. Le finlandais Sundman (1909) et l’astronome français Chazy (dès 1919) résoudront définitivement ce problème, considéré jusqu'alors comme un des plus difficiles des mathématiques.

La théorie des systèmes dynamiques :      

Le problème des 3 corps fut, avec les premiers modèles mathématiques de systèmes planétaires depuis Aristarque, en passant par la mécanique de Galilée, les mécaniques célestes de Kepler, Laplace ou Newton, à l'origine de la théorie des systèmes dynamiques consistant à étudier, en fonction du temps le comportement d'un système régi par des équations mathématiques (généralement différentielles). Avec Smale (médaille Fields, 1966) et Thom, cette théorie devient une branche de la topologie différentielle.

  Fortet , Yoccoz , Birkhoff 

Théorie des fonctions, notations nouvelles :

Les principaux traités mathématiques de Lagrange résident dans la Théorie des fonctions analytiques (1797) où il cherche à définir les fonctions et leurs dérivées successives par leur développement en série au voisinage d'un point, un sujet fondamental que Weierstrass développera rigoureusement en mettant en place le nouveau concept de convergence uniforme.

Dans cet ouvrage, Lagrange simplifia les notations fonctionnelles en introduisant :

Newton , Arbogast              cas des dérivées partielles

Et si [a,b]J, on a la notation de Fourier pour l'intégrale définie :

         

    Calculs d'intégrales

Par primitif, on entendait à l'époque -indépendamment de tout sens mathématique- ce qui n'est dérivé d'aucun autre et par dérivé (du latin rivus = ruisseau) celui qui provient d'un autre appelé primitif. On tourne un peu en rond, mais c'est clair... notons que le substantif primitive ne prendra sa place définitive qu'au début du 20è siècle car on lui préférait jusqu'alors le terme intégrale proposé par Jean Bernoulli et l'Hospital.

Intégrale définie et intégrale généralisée  :                Fonction dérivée selon d'Alembert  :

1.  Déterminer la (les) fonction(s) numérique(s) vérifiant xf(x) + f(1 - x) = x2  (inspiré de 300 problèmes, IREM de Lyon, 1991). Rép : ici

2.  niveau Ter : a) Calculer sin x /(1 - cos x) - sin x/(1 + cos x).

 b) En déduire :

 c) Par un artifice semblable, montrer que :

On vient de calculer là les primitives des fonctions trigonométriques csx (cosécante) et sec (sécante).

 d) Utiliser un de ces deux résultats pour calculer l'intégrale :

           Rép : ln 3

3. Intégration par parties        4. niveau Sup : calcul d'intégrales & primitives diverses 

Principe de Lagrange (sens de variation d'une fonction numérique par usage de sa dérivée) :

Utilisant la formule des accroissements finis ( ci-dessous), Lagrange lie le sens de variation d'une fonction au signe de sa dérivée. C'est aujourd'hui l'un des théorèmes fondamentaux dans l'étude des fonctions numériques au lycée :

Si f est dérivable sur l'intervalle ]a,b[, alors f est respectivement croissante, constante ou décroissante suivant que f ' est positive, nulle ou négative sur cet intervalle.

L'usage des théorèmes de Bolzano et de Rolle permettent, dans les cas usuels où la fonction dérivée f ' est continue sur l'intervalle ]a,b[, d'étudier facilement le sens de variation d'une fonction : un zéro isolé xo de atteste la présence d'un point remarquable de la courbe :

Des cas particuliers peuvent avoir lieu, comme un minimum en un point alors que f n'est pas dérivable en ce point. C'est le cas de x| x |, racine carrée de la valeur absolue de x :


Déterminer les fonctions numériques dérivables vérifiant f(x + y) = f(x) + 2xy + f(y)  Rép : ici    

En savoir plus sur les extremums et l'inflexion :             Tangente à une courbe :            D'Alembert

   Quelques exemples "concrets" niveau lycée

Tente bien ventilée    fonction trinôme à "maximiser"
Un problème bestial...    minimum d'un trinôme du second degré
Puissance d'un moteur électrique    trinôme 2ème degré
Le 8 du jardinier    aire maximale d'un parterre, secteurs circulaires et second degré
Resistor et puissance dissipée    fonction rationnelle x/(2x + 1)2
Résistance d'une poutre  étude d'un binôme du 3ème degré
Cuves maximales (diverses variantes)  x(3 - 2x)2 , πx2 - 8/x, ...
Tétraèdre de volume maximal inscrit dans une sphère se ramène à l'étude d'une cubique
Le puits et la maison   fonction irrationnelle à minimiser
Bouée d'amarrage  fonction irrationnelle
La Jeep et le lac   fonction trigonométrique à minimiser
Échelles croisées  fonction irrationnelle
Dérivée non continue :  étude de la fonction f : x x2cos(1/x) ,

  Autres sujets


Formule des accroissements finis, également dite Formule de Lagrange :         

Cette formule est à distinguer de l'inégalité des accroissements finis énoncée ci-après :

Soit f une fonction numérique continue sur l'intervalle fermé [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe alors un réel c de ]a,b[ tel que :

f(b) - f(a) = (b - a)f '(c)

La formule fournit l'accroissement de f entre a et b. Elle est une conséquence du théorème de Rolle.

  Par accroissements finis, on entend par là un accroissement Δx = x - y représentant une quantité finie, immédiatement calculable sans passage à une limite et s'opposant à une quantité dx infinitésimale. Cet accroissement engendre un Δf = f(x) - f(y) du même ordre.       différences finies

On peut l'écrire également :

ou encore, comme souvent, en posant h = b - a et en remarquant que c, compris entre a et b peut s'écrire a + θh avec 0 < θ <1 :

f(a + h) - f(a) = hf '(a + θh)

Inégalité des accroissements finis :

Soit f une fonction continue sur l'intervalle [a,b] et dérivable sur son intérieur ]a,b[. Si la fonction dérivée vérifie m M, alors pour tout couple (x,y) de [a,b], on a :

Par accroissements finis, on entend par là un accroissement Δx = x - y représentant une quantité finie, immédiatement calculable sans passage à une limite et s'opposant à une quantité dx infinitésimale. L'accroissement Δx engendre un Δf = f(x) - f(y) du même ordre. L'inégalité peut s'écrire m ≤ Δf/Δx ≤ M.       différences finies


On pose h(x) = sin(x)/x, x non nul. Montrer, sans étudier h, que l'on a -1 ≤  h(x) ≤ +1
Indication : utiliser l'inégalité des acc. finis pour f(x) = sin(x).

Application (exercice niveau TerS/SUP) :               Formules de la moyenne (intégrale d'un produit) :
Théorème de la moyenne et valeur moyenne d'une fonction :         

En faisant jouer à le rôle de f, la différence f(b) - f(a) apparaît comme le résultat de l'intégrale de f ' sur l'intervalle [a,b] et on peut alors énoncer le théorème de la moyenne :

Si f est une fonction numérique continue sur l'intervalle [a,b], il existe c dans ]a,b[ tel que :

Bonnet et le second théorème de la moyenne :

dont on peut déduire un résultat intéressant dans les problèmes de majoration (évident graphiquement dans le cas d'une fonction positive sur l'intervalle d'intégration en interprétant l'intégrale comme la mesure de l'aire sous la courbe) :

Valeur moyenne de f sur [a,b] :     

  Lorsque f est intégrable sur l'intervalle [a,b] le nombre :

est appelé moyenne de f sur l'intervalle [a,b].

  En se ramenant à une somme de Riemann, calculer la limite pour n infini de (1 + 2 + 3 + ... n) / nn.
Rép : il s'agit de l'intégrale sur [0,1] de la fonction x x, soit 2/3.

Cas des fonctions harmoniques :

La notation moderne des suites numériques :

On doit également à Lagrange la notation indicée, dite aussi indicielle, (un) pour désigner le terme de rang n d'une suite numérique.

Notion de suite et de série à l'époque de d'Alembert :               Suite de Fibonacci :

 
Exercices sur les suites (et séries) dans Chronomath : niveau 1ère/Ter , niveau TerS/SUP

Méthode d'interpolation polynomiale de Lagrange :

Soit f une fonction numérique. Interpoler f par un polynôme sur un intervalle [a,b], c'est choisir une subdivision, non nécessairement régulière :

a = xo < x1 < x2 < ... < xn = b

et rechercher un polynôme P de degré n, dit polynôme d'interpolation, qui coïncide avec f en chaque point Mi(xi , yi) , yi = f(xi). Lorsque la fonction f est seulement connue par un ensemble de points (nuage), comme le cas se rencontre couramment en statistique, interpoler f sur l'intervalle [a,b] par une fonction g de type donné (polynomial, logarithmique, exponentielle, trigonométrique, ...)  consiste à calculer les paramètres de g afin d'approcher au mieux les valeurs connues des yi = f(xi).

On parle d'interpolation linéaire lorsque le polynôme est de degré 1 : l'arc de courbe est remplacé par un segment. Au lieu d'interpolation, on utilise plus volontiers le terme statistique de régression.

En savoir plus sur l'interpolation et les méthodes de régression :

La résolution des équations algébriques :

Lagrange s'est fortement intéressé aux équations algébriques. Lors de son séjour à Berlin, il publie ses Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1772). Pour résoudre l'équation du quatrième degré, Ferrari utilisa une équation auxiliaire de degré 3.

Lagrange prouve qu'au delà du quatrième degré, l'équation auxiliaire est de degré supérieur ! De nouvelles méthodes s'imposaient donc. C'est ainsi qu'il perçoit tout l'intérêt des fonctions symétriques des racines, déjà remarquées par Viète et Girard, et que Gauss, Cauchy, et enfin Abel et Galois utiliseront pour clore le problème de la résolution par radicaux de ces équations :

Considérons l'équation :

xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an = 0.

Selon le théorème fondamental de l'algèbre, cette équation admet n solutions xi réelles ou complexes, éventuellement multiples, Lagrange montre que (-1)kak = pk , somme de tous les produits possibles pk des solutions xi pris k à k. Par exemple, pour :

Lagrange complètera son étude des équations numériques en 1798 : Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés où il expose également des méthodes de résolution approchée. Sa dernière édition date de 1808.

Méthode des sécantes de Lagrange :    

Également dite par interpolation linéaire, il s'agit d'une méthode algorithmique de résolution approchée des équations numériques où l'arc de courbe , "traversant" l'axe des abscisses en le zéro cherché, est remplacé par le segment [AB] :

Étude et programmation de la méthode :    

Cette méthode de résolution est une méthode de fausse position, en latin regula falsi :

Méthodes de fausse position (cas général)
Théorème de Lagrange sur les zéros d'un polynôme :

Si P est un polynôme à coefficients réels ai, alors un zéro de P ne peut excéder Max(1+|ai|)

Sturm
Étude des formes quadratiques :

Lagrange sera le premier, avant Gauss, à s'atteler au problème de la réduction des formes quadratiques (1767), ce qui le conduira à la résolution des équations du second degré à deux inconnues du type :

ax2 + bxy + cy2 = k

équation liée à celle de Pell, difficile équation en nombres entiers de la forme  x2 - Ay2 = ±1 où A n'est pas un carré parfait, qu'il résout ( réf. 8) en développant la théorie des fractions continues déjà bien avancée grâce aux travaux de Aryabhata et de Chuquet.

Étude de l'équation de Pell : 

Travaux en arithmétique :

Dans ces travaux, Lagrange parle implicitement de groupe fini et de sous-groupe. Il énonça et prouva (1770) avant Cauchy cet important résultat :

Théorème :   

Dans un groupe fini E d'ordre n (c'est à dire ayant n éléments), si k est l'ordre d'un sous-groupe F de E, alors k divise n.

Groupes finis et preuve de ce théorème :

Un autre théorème de Lagrange (1770) :    

Il s'agit de la preuve d'une conjecture de Bachet de Méziriac, également énoncée (et élargie) par Waring et que Fermat démontra partiellement en son temps au moyen des nombres polygonaux de Nicomaque :

Tout entier naturel est la somme d'au plus quatre carrés (éventuellement égaux)

Sa preuve sera simplifiée par Euler en 1777 et encore par Legendre et Gauss. Par exemple : 

Théorème de Gauss (3 carrés) :          Programmation du théorème des 4 carrés :

Le théorème de Wilson-Lagrange (1773) :    

Lagrange démontra le théorème connu aujourd'hui sous le nom de théorème de Wilson :

Le nombre (p - 1)! + 1 est divisible par l'entier p si et seulement si p est premier

Énoncé en 1770 par Wilson et utilisé auparavant sans démonstration par Waring son professeur à Cambridge, c'est alors la première preuve ce résultat ( réf.3c). On en trouvera la preuve au moyen des congruences à la page consacrée à Wilson.

Identité de Lagrange :

Elle transforme un produit de carrés en une somme de carrés :

Par exemple : (x2 + y2)(x'2 + y'2) = (xx' + yy')2 + (xy' - x'y)2

    une application de cette formule

Théorème d'inversion de Lagrange :

Soit z une fonction de la variable y définie implicitement sous la forme z = y + k.f(z) où k désigne un paramètre (la fonction f dépend ainsi de y par l'intermédiaire de z). Lagrange affirme (sans trop de précautions ?) que toute fonction F de z peut être développée en série entière de puissances de y  :

Ce résultat voit son application dans la résolution de l'équation de Kepler m = ε - e.sin ε.

 Taylor

Équation différentielle de Lagrange :

 Il s'agit de l'équation différentielle du premier degré de la forme :

y = x.f(y') + g(y')

Dérivons puis posons y' = z :

z =  f(z) + [xf '(z) + g'(z)].z' ,  z' = dz/dx

Remplaçons z' par dz/dx, multiplions par dx et divisons par dz :

[z - f(z)].dx/dz - x.f '(z) - g'(z) = 0

C'est une équation linéaire d'inconnue x de variable z. On trouvera x en fonction de z et au moyen de l'équation initiale, qui s'écrit y = xf(z) + g(z), on cherchera à éliminer z afin d'obtenir la solution générale sous la forme F(x,y) = 0.

Cas particulier f(y') = y', équation de Clairaut :

 Pour en savoir plus :

  1. Notice sur la vie et les ouvrages de M. Le Comte J.-L. Lagrange par J.-B. Delambre (50 pages) :
    http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN308899644&DMDID=DMDLOG_0005&LOGID...
  2. La Mécanique de Lagrange : http://www.ulg.ac.be/mathgen/cours/meca/Lagrange.pdf, par E. Delhez (univ. Liège)
  3. a/ Œuvres de Lagrange sur la BnF (Gallica), dont la Mécanique analytique, publiées en 1889 par Bertrand et Darboux :
    http://gallica.bnf.fr/Search?adva=1&adv=1&tri=&t_relation=cb30719104m&q=Oeuvres+complètes+de+Lagrange
    b/ Œuvres de Lagrange sur GDZ (Gottingen) : http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PID=PPN308899466
    c/ Preuve du théorème de Waring-Wilson : http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308|LOG_0021
  4. La mécanique analytique, par Robert Campbell, Que sais-je ? n°1435 - P.U.F., Paris,1971
  5. Théorème d'inversion de Lagrange : on trouvera un usage fort intéressant de ce théorème, dans le calcul de l'anomalie vraie
    en fonction de l'excentricité et de l'anomalie moyenne à la page :
    http://info.ifpan.edu.pl/firststep/aw-works/fsII/mul/mueller.html par M. Müller, lycée de Münchenstein, Suisse.
  6. Théorie des fonctions analytiques sur le site de la Bnf : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k86263h/f6.image
  7. TRAITEMENT D'ALGORITHMES PAR ORDINATEUR, Tome 2, par Louis Léon
    Ecole Nationale Supérieures de Techniques avancées. - Cepadues-Ed. Toulouse, 1983
  8. Méthodes numériques, par N. Bakhvalov - Analyse, Algèbre, équations différentielles, Ed. Mir - Moscou - 1976.
  9. Solution d'un problème d'arithmétique (équation de Pell), Œuvres de Lagrange (Gauthier-Villars, 1867), université de Göttingen :
    http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN308899644&DMDID=DMDLOG_0024&LOGID=LOG_002...
  10. Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés (Google-Books) :
    http://books.google.fr/books?id=1yojj3LowZ0C&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r...
  11. - Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et minima des formules intégrales indéfinies (1760) :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2155691/f385.image
    - Application à différents problèmes de dynamique : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2155691/f415

  12. Problème des trois corps :
        a/ 
    Le mémoire de Lagrange (BnF) : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229225j.image.f231
        b/  Université d'Orléans : Mécanique céleste et contrôle des véhicules spatiaux (dont Problème des 3 corps) par
             B. Bonnard, L. Faubourg, E. Trélat : http://www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/trelat/fichiers/tableBFT.pdf
        c/  The Geometry Center (en anglais) : http://www.geom.umn.edu/~megraw/CR3BP_html/cr3bp.html
        d/  Le mémoire de Condorcet (1767) : http://www.e-rara.ch/doi/10.3931/e-rara-5359


Vandermonde  Wilson 
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