ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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HERMITE Charles, français, 1822-1901

Après des études secondaires à Nancy et Paris (collège Henri IV) et ses classes préparatoires au lycée Louis-le-Grand, Charles Hermite entre à Polytechnique en 1842. Étudiant brillant, il se fit connaître par ses correspondances avec Jacobi à propos des intégrales abéliennes.

Ce grand mathématicien français, polytechnicien, ami de Cauchy, fut professeur à l’École Polytechnique (1869) et à la faculté des sciences de Paris. Il sera élu à l'Académie des sciences en 1856.

Ses travaux portent essentiellement sur la théorie des nombres et la théorie des fonctions elliptiques suite aux travaux de Jacobi. C'est ainsi que Hermite donna le premier (1858) une méthode de résolution de l'équation du 5e degré (dont on sait qu'elle n'est pas résoluble par radicaux) s’appuyant sur l'usage de ces fonctions par division d'un arc d'ellipse. Pour la petite histoire, il fut le beau-père d'Émile Picard.

Travaux sur la transcendance des nombres :

En 1873, dans un mémoire intitulé Sur la fonction exponentielle, Hermite, rendant hommage à Lambert et à Liouville, prouva par un usage subtil des fractions continues et du calcul intégral, la transcendance du nombre e (base des logarithmes népériens) en montrant l'impossibilité d'obtenir une relation de la forme :

N + eaN1 + ebN2 + ... + ehNn = 0

à moins que tous les Ni soient nuls ( a, b, ..., h et N, N1, ..., Nn sont des entiers). En d'autres termes, le nombre e n'est pas algébrique : il ne peut être solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers. Le résultat d'Hermite est le premier exemple de nombre transcendant découvert en analyse.  On pourra consulter deux extraits du mémoire de Charles Hermite ici et et le mémoire complet sur le site Gallica de la BnF ( réf. 3).

En savoir plus sur les nombres algébriques :

L'existence de nombres transcendants fut "découverte" par Liouville par une subtile  construction arithmétique de séries  numériques. Il faudra attendre le 20e siècle pour apprendre que les logarithmes sont des nombres transcendants. La transcendance de π sera prouvée par Lindemann une décennie plus tard (1882).

 Euler , Baker           calcul élémentaire de e :            calcul de 100 (ou plus) décimales de e :

Théorie des formes quadratiques :

Généralisant les travaux de Sylvester et de Cayley sur les formes algébriques, Hermite précise les méthodes de réduction des formes quadratiques (initiées par Gauss), lorsque le corps de scalaires est C : forme quadratique hermitienne, espace vectoriel hermitien et généralise ses résultats à un nombre quelconque de variables ainsi qu'à des formes non nécessairement positives.

Formes quadratiques et leur réduction :            Produit scalaire complexe, formes hermitiques :
Matrice orthogonale, matrice adjointe, matrice hermitienne, matrice symétrique :

Rappelons tout d'abord ce qu'est la transposée tM d'une matrice M : on l'obtient en échangeant les rôles des lignes et des colonnes. Un exemple élémentaire est donné ci-dessous :

On doit à Hermite la notion de matrice orthogonale : il s'agit d'une matrice carrée M inversible dont l'inverse M-1 est égale à sa transposée tM. Il en est ainsi des matrices dont les vecteurs colonnes constituent une base orthonormée (dont les vecteurs sont orthogonaux et unitaires).

Par exemple, une matrice de rotation est orthogonale :

Dans les calculs relatifs aux changements de base, il est très aisé de passer d'une base à l'autre au moyen d'une matrice de passage orthogonale.

Notions de calcul matriciel : Matrices & changement base :

Mais Hermite travailla surtout sur des matrices à termes complexes. On appelle matrice adjointe d'une matrice M, la matrice, généralement notée M*, égale à la conjuguée de sa transposée. On a manifestement :

une matrice est dite hermitienne  si elle coïncide avec son adjointe :

Dans le cas réel, ces égalités se réduisent à :

M = tM

et on dit d'une telle matrice qu'elle est symétrique.

Un théorème de Hermite : Les valeurs propres d'une matrice hermitienne sont réelles. 

Produit scalaire dans C, formes sesquilinéaires , formes hermitiennes :

Polynômes de Hermite :

Il s'agit, à l'instar des polynômes de Tchebychev ou de Legendre, d'un système de polynômes Hn de degré n, orthogonaux pour le produit scalaire :

En savoir un peu plus :

Formule d'Hermite pour l'intégration approchée :

 Soit f une fonction continue sur l'intervalle [-1,1], alors :

On remarquera, dans cette écriture, que les images de f aux points :

  

sont les zéros du polynôme de Tchebychev de degré n (k = 0, 1, ..., n-1).

Les fonctions continues dérivables en aucun point :

Weierstrass exhiba en 1872 une fonction continue partout mais dérivable nulle part... Hermite se serait horrifié en déclarant :

Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n'ont pas de dérivée...

La fonction de Weierstrass :                   La  fonction de Darboux :

 Pour en savoir plus :

  1. A la mémoire de Charles Hermite par Paul Painlevé, sur Numdam.org  :
    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/NAM/NAM_1905_4_5_/NAM_1905_4_5__49_0/NAM_1905_4_5__49_0.pdf

  2. L'œuvre scientifique de Charles Hermite par Émile Picard (1901), sur Numdam.org :
    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1901_3_18_/ASENS_1901_3_18__9_0/ASENS_1901_3_18__9_0.pdf

  3. Sur la fonction exponentielle, mémoire complet de Charles Hermite sur le site Gallica de la BnF :
    Comptes rendus académie des sciences, 1873, tome LXXVII
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3034n.r=comptes rendus académie des sciences Sur la fonction exponentielle 1873?rk=21459;2
    Consulter ou télécharger les pages : 18 à 24, 74 à 79, 226 à 233, 285 à 293.

  4. Des publications de Charles Hermite numérisées sur le site Numdam :
    http://www.numdam.org/numdam-bin/recherche?h=aur&aur=Hermite,+Charles&format=short


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