ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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WESSEL Caspar, norvégien/danois, 1745-1818

Né en Norvège, où il étudia au collège de la cathédrale d'Oslo (Christiania à l'époque), Wessel vécut au Danemark auquel la Norvège fut rattachée jusqu'en 1814. Arpenteur, géomètre et cartographe, Wessel se penche sur le problème de la représentation géométrique des nombres imaginaires (que Gauss baptisera plus tard nombres complexes) et les opérations s'y rattachant : représentation, addition, multiplication.

Son mémoire, écrit en 1797, Sur la représentation analytique de la direction, un essai principalement appliqué aux polygones plans et sphériques, fut édité en 1799 par l'Académie royale danoise (le traité est en vente sur le site...). Écrit en danois, il resta ignoré jusqu'à son édition française : en 1897, un siècle plus tard !

Argand  et le plan complexe :           Buée Adrien-Quentin

L'idée d'une représentation géométrique n'était pas nouvelle, Wallis l'avait déjà envisagée mais n'avait pas pu interpréter géométriquement les opérations. L'objectif de Wessel est de définir analytiquement le concept de direction dans le plan. C'est donc, en fait, une construction de la notion de vecteur, un nombre complexe étant assimilé à un segment de droite orienté. L'addition est clairement définie :

Représentation géométrique d'un nombre complexe :

Wessel écrit :

« Deux segments (lignes droites) pourront être additionnés si le second commence là où se termine le premier; on trace alors un segment depuis le premier joignant le dernier point des segments ainsi réunis. La ligne obtenue est la somme des lignes réunies et l'ordre dans lequel les lignes sont choisies est indifférent ».

Il s'agit implicitement de la formule dite de Chasles, affirmant de plus la commutativité de la somme u + v = v + u :

AC = AB + BC

Il utilise un système d'axes orthonormé :

« l'unité positive en abscisse est +1, l'unité en ordonnée est notée +ε  obtenue par rotation d'angle 90° de +1 autour de l'origine. -1 est obtenu par rotation de 180°, -ε  est obtenu par rotation de 270° ou de - 90° et on écrira que (+ε )(+ε ) = -1 ».

Wessel assimile donc ainsi +ε à et son produit revient à composer les rotations, ce qu'il confirme :

« De ceci il suit que +ε est égal à la racine de - 1 et que cela ne contrevient pas aux règles des opérations usuelles »

Module & argument :

Wessel écrit que toute direction du plan, donc tout nombre complexe de la forme a + bεpeut être représenté(e) par une ligne issue de l'origine de grandeur (longueur) L =faisant un angle θ avec l'unité positive (inclinaison). En appliquant la trigonométrie élémentaire, on a cosθ = a/L et sinθ = b/L.

C'est Argand qui appellera module (du latin modulus = mesure) le nombre L. L'appellation argument pour θ sera donnée par Cauchy (1838). On parle d'argument principal pour désigner une mesure de θ dans l'intervalle ]-π,+π].

En écrivant z = a + bε, que nous écrivons ci-dessous z = a + bi, notation usuelle depuis Gauss (a est la partie réelle de z, b est sa partie imaginaire), et en posant selon la tradition actuelle r au lieu de L on a : z = r(a/r + i.b/r) = r(cosθ + i.sinθ), forme trigonométrique du nombre complexe z.


On considère le nombre complexe z = 6 + 2 + i(6 - 2).
a/ Calculer z2; en déduire le module et l'argument principal de z.   b/ Vérifier que z6 est imaginaire pur (partie réelle nulle).

Wessel donne une définition du produit de deux lignes :

« sa longueur sera le produit des longueurs, son inclinaison est la somme des inclinaisons »

En termes actuels : si z' est de module r' et d'argument θ', alors zz' est de module rr' et d'argument θ + θ' [2π] et en prolongeant aux nombres complexes les règles de calculs usuelles avec la convention i2 = - 1, il vient :

zz' = r(cosθ + i.sinθ), r'(cosθ' + i.sinθ'), = rr'[cosθcosθ' - sinθsinθ' + i.(sinθcosθ' + sinθ'cosθ)]

soit :

zz' = rr'[cos(θ + θ') + i.sin(θ + θ')]

Tout était donc dit ! C'est finalement Argand, indépendamment semble-t-il, qui reprendra cette belle interprétation quelques années plus tard (1806). Mais c'est Gauss et Cauchy qui en récolteront les fruits de par leurs rayonnements plus influents :

Diagramme d'Argand ou (plan d'Argand-Gauss, d'Argand-Cauchy, plan complexe), exercices :

  Exercices niveau Terminale et Sup :

Pour en savoir plus :


Méchain  Buée Adrien
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