ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

SCHWARZ Karl Hermann Amandus, allemand, 1843-1921

 On ne confondra pas K. H. Schwarz (sans t) avec notre non moins célèbre et éminent mathématicien français contemporain Laurent Schwartz, "père" des distributions. Source portrait : http://www.cs.odu.edu/~keyes/nsf/SCHWARZ.html

Professeur à Zürich puis à la célèbre université de Göttingen, sanctuaire des mathématiques allemandes du 19è siècle jusqu’à la seconde guerre mondiale. Il succéda à Weierstrass à l'université de Berlin en 1892 et conserva ce poste jusqu'à sa retraite en 1917.

Schwarz est l'auteur de très importants travaux en analyse fonctionnelle : fonctions analytiques (i.e. développables en série entière), fonctions holomorphes (i.e. fonctions complexes dérivables) et la théorie du potentiel. Son nom est associé de nombreux résultats comme :

Théorème de Schwarz :

Soit f est une fonction numérique de deux variables x et y. Si f est de classe C2 (admettant des dérivées partielles continues d'ordre 1 et 2 par rapport à chaque variable), alors :

Le théorème se généralise à une fonction de n variables  de classe Cp : une dérivée partielle

où (i1, i2, ..., ip) est une permutation de (1,2, ..., p), est indépendante de cette permutation.

Schwarz et le problème de Dirichlet :

Schwarz apporta une solution positive au problème de Dirichlet, lequel peut s'exprimer dans le cas d'une fonction d'une variable complexe par :

Étant donné une fonction complexe continue sur le cercle unité, f est-elle prolongeable en une fonction continue et harmonique sur le disque unité ?

Par harmonique, on entend (pour deux variables) une fonction de classe C2 dont le laplacien est nul, c'est à dire vérifiant :

Inégalité de Schwarz (également dite de Cauchy-Schwarz) :

Dans un espace vectoriel euclidien dont le produit scalaire est noté • :

| uv|  ≤  || u |||| v ||

Autrement dit, en dimension n, en notant u(x1, x2, ..., xn) et v(y1, y2, ... yn) et en élevant au carré :

Cette célèbre inégalité se retrouve en calcul intégral :

pouvant s'écrire :

Dans le cas de fonctions à valeurs dans C, on aurait (les |   | sont ici des modules) :

Tout cela est bien naturel : le lecteur averti aura bien reconnu dans la forme  <f,g> = f(x)g(x)dx, le produit scalaire que l'on peut définir dans l'espace vectoriel des fonctions numériques continues sur un intervalle [a,b]. Dans le cas complexe, on doit remplacer g(x) par son conjugué : produit scalaire et exercices

Produite scalaire et exercices :

Analogie :  

Un résultat semblable se rencontre en statistique et calcul des probabilités :

[cov(X,Y)]2  ≤  V(X)V(Y)

où cov désigne la covariance d’un couple (X,Y) de deux variables aléatoires ou statistiques et V(X), V(Y) leurs variances.

Identité de Lagrange :             Cas plus général de l'inégalité de Hölder :


Pasch  Halphen
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