ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 SCHWARZ
Karl Hermann
Amandus, allemand,
1843-1921 |
! On
ne confondra pas K. H. Schwarz (sans t) avec notre non moins célèbre et
éminent mathématicien français
contemporain Laurent Schwartz,
"père" des distributions. Source portrait :
http://www.cs.odu.edu/~keyes/nsf/SCHWARZ.html
Professeur à Zürich puis à la célèbre université de Göttingen, sanctuaire des mathématiques allemandes du 19è siècle jusqu’à la seconde guerre mondiale. Il succéda à Weierstrass à l'université de Berlin en 1892 et conserva ce poste jusqu'à sa retraite en 1917.
Schwarz est l'auteur de très importants travaux en analyse fonctionnelle : fonctions analytiques (i.e. développables en série entière), fonctions holomorphes (i.e. fonctions complexes dérivables) et la théorie du potentiel. Son nom est associé de nombreux résultats comme :
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Théorème de Schwarz : |
Soit f est une fonction numérique de deux variables x et y. Si f est de classe C2 (admettant des dérivées partielles continues d'ordre 1 et 2 par rapport à chaque variable), alors :
Le théorème se généralise à une fonction de n variables de classe Cp : une dérivée partielle
où (i1, i2, ..., ip) est une permutation de (1,2, ..., p), est indépendante de cette permutation.
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Schwarz et le problème de Dirichlet : |
Schwarz apporta une solution positive au problème de Dirichlet, lequel peut s'exprimer dans le cas d'une fonction d'une variable complexe par :
Étant donné une fonction complexe continue sur le cercle unité, f est-elle prolongeable en une fonction continue et harmonique sur le disque unité ?
Rappel : Par fonction harmonique, on entend (ici pour deux variables) une fonction de classe C2 (deux fois continument dérivable) dont le laplacien est nul, c'est à dire vérifiant :
| Inégalité de Schwarz (également dite de Cauchy-Schwarz) : |
Dans un espace vectoriel euclidien dont le produit scalaire est noté • :
| u • v| ≤ || u || × || v ||
Autrement dit, en dimension n, en notant u(x1, x2, ..., xn) et v(y1, y2, ... yn) et en élevant au carré :
Cette célèbre inégalité se retrouve en calcul intégral :
pouvant s'écrire :
Dans le cas de fonctions à valeurs dans C, on aurait (les | | sont ici des modules) :
➔ Tout cela est bien naturel : le lecteur averti aura bien reconnu dans la forme <f , g> = ∫[a,b] f(x)g(x)dx, le produit scalaire que l'on peut définir dans l'espace vectoriel des fonctions numériques continues sur un intervalle [a,b]. Dans le cas complexe, on doit remplacer g(x) par son conjugué : » produit scalaire et exercices
Produite scalaire et exercices : »
Analogie :
Un résultat semblable se rencontre en statistique et calcul des probabilités :
où cov désigne la covariance d’un couple (X,Y) de deux variables aléatoires ou statistiques et V(X), V(Y) leurs variances.
Halphen
