ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

RIEMANN Bernhard, allemand, 1826-1866          

Ce très grand mathématicien, élève de Gauss qui dirigea sa thèse (1851) sur les fonctions d'une variable complexe en la célèbre université de Göttingen, de Jacobi à Königsberg et de Dirichlet à Berlin, fut lui-même professeur à Göttingen, succédant à ce dernier en 1859 (Dirichlet avait lui-même succédé à Gauss quatre ans plus tôt). Riemann mourut prématurément, atteint de tuberculose à Selesca (lac Majeur, Italie) où il se soignait.

C'est dans sa thèse de 1851 (Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen Größe = Fondements pour une théorie générale des fonctions d'une variable complexe), qu'apparaît la notion de surface de Riemann permettant de donner un sens  à une fonction complexe susceptible de prendre plusieurs valeurs (fonction multiforme). Une vision totalement nouvelle d'une théorie précédemment élaborée par Cauchy qui y consacra 30 ans de sa vie.

  Briot , Bouquet , Laurent

Avec sa théorie des surfaces (Les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie, 1854), généralisée abstraitement à n dimensions : les Variétés (Mannigfaltigkeit), on pénètre dans des géométries non euclidiennes avec la généralisation de la notion de distance, qui seront, 50 ans plus tard, pour Einstein et Minkowski les outils indispensables pour la mise en place de la théorie de la relativité.

Notion de variété & géométrie différentielle :

Dans ces nouveaux espaces, avec la recherche de propriétés invariantes par "transitions" continues, Riemann apparaît comme le père de la topologie moderne, branche extrêmement féconde et toujours actuelle des mathématiques entrevue par Euler et Leibniz et que ce dernier nomma Analysis situs, terme utilisé jusqu'au 20è siècle, avec Poincaré, par exemple.

Notions de topologie :

En analyse, Riemann complétera les travaux de Dirichlet, son maître, sur les séries trigonométriques et leurs problèmes de convergence. Mais son nom reste attaché à sa célèbre formalisation de l'intégrale :

Intégrale de Riemann, primitive d'une fonction :

Non satisfait de la théorie de l’intégration de Cauchy portant sur les fonctions continues qui lui paraît insuffisante pour manipuler certaines séries de Fourier (de fonctions "peu" régulières), Riemann publie (1854) une rigoureuse théorie de l'intégration pour les fonctions bornées sur un intervalle fermé. L’intégrale de Riemann coïncide avec celle de Cauchy pour les fonctions continues, elle fut enseignée en classe Terminale des lycées jusqu'à la fin des années 1970.

On sait depuis Mercator et Leibniz, que si une fonction est positive, l'intégrale sur un intervalle [a,b] :

évalue l'aire du domaine « sous la courbe », parfois appelée hypographe.

L'idée de Riemann fut de remplacer un arc de courbe sur chaque [xi, xi+1] par un segment d'ordonnée f(ci) sur cet intervalle : on parle de fonction en escalier. L'intégrale est obtenue en encadrant la fonction f entre deux suites de fonctions en escalier : on parle de quadrature, calcul d'aire basé sur la décomposition en rectangles (ou carrés au sens étymologique) de la surface à évaluer.

Sommes de Riemann, calcul approché, intégration par parties :

On apprend en classe Terminale que si la fonction f est continue sur [a,b], il existe au moins une fonction F dérivable sur [a,b] telle que F'(x) = f(x). Une telle fonction F est appelée primitive de f sur [a,b]. Toute autre primitive de f ne diffère de F que par une constante :  

G'(x) = f(x)    kR, G(x) = F(x) + k

On a le résultat fondamental :

Lagrange et la notion de primitive, exercices , calcul de quelques intégrales (niveau SUP)

 Darboux, Stieltjes , Lebesgue

Pour en savoir plus :

Intégrale de Riemann-Liouville :

              Liouville  

La géométrie différentielle :

Suite aux travaux de Gauss dans l'étude des surfaces, Riemann développa ce qui devint une branche maîtresse des mathématiques :  la géométrie différentielle.

L'objectif fut de généraliser les propriétés métriques et différentielles des surfaces "usuelles" de l'espace euclidien à des espaces "courbés" considérés comme espaces de référence et non plus comme plongés dans un espace plus vaste de dimension supérieure : on parle de variétés.

Une courbe plane ou gauche (dans l'espace 3D) est une variété de dimension 1.

Courbe gauches :

La sphère, surface d'une boule, est une variété de dimension 2.

Une variété est dite algébrique si elle admet une équation polynomiale du type f(x,y,z,...) = 0. Une conique, un cercle sont des variétés algébriques de dimension 1, la sphère est une variété algébrique de dimension 2 (surface). En hommage à Riemann, on appelle variété riemannienne, une variété sur laquelle on peut définir une métrique (distance cohérente entre deux points de la variété). On entre alors dans la topologie différentielle...:

Variétés & notions fondamentales de la géométrie différentielle :


Le paraboloïde hyperbolique, en forme de selle de cheval, est une variété de dimension 2

Fonctions multiformes, surfaces de Riemann :

Afin de donner un sens aux fonctions multiformes à valeurs complexes (un point peut posséder plusieurs images), Riemann conçoit la notion appelée de nos jours surface de Riemann.

Sur une telle "surface", constituée de "feuillets" raccordés continûment, une fonction multiforme devient uniforme (un point n'a qu'une seule image).

En savoir plus sur les fonctions multiformes et les surfaces de Riemann :  

Gauss et les géométries non euclidiennes :

Ces travaux en géométrie différentielle conduisent ainsi Riemann à s'intéresser (1867) au célèbre 5ème et controversé postulat d'Euclide (souvent appelé postulat des parallèles) et à développer une géométrie non euclidienne en remplaçant ledit postulat par l'impossibilité de mener par un point une parallèle à une droite donnée !

On n'aboutit ainsi à aucune contradiction et une concrétisation de cette géométrie est celle de la sphère, surface à courbure constante positive, où les "droites" (géodésiques : trajectoires de cheminement minimum entre deux points) sont les grands cercles : ceux dont le centre est celui de la sphère.

Ci-contre les "droites" rouge et bleu sont perpendiculaires à la "droite" équatoriale noire. Elles sont parallèles et se coupent en S et S'...

Notions sur les géométries non euclidiennes :

Séries de Riemann et fonctions (ou nombres) z(s) :

On nomme séries de Riemann les séries numériques de terme général 1/ns (s réel), déjà étudiées par Euler. Ces séries convergent pour s > 1 et divergent sinon. Ce sont ces séries qui définissent, pour s > 1, les nombres z (prononcer zêta) de Riemann :

           Étude de la convergence :                      Séries (généralités, convergence)

Si s est pair (et non nul), les nombres z(s) sont irrationnels et transcendants, comme :

z(2) = p2/6 :        ou encore :    z(4) = p4/90 :

car il est prouvé que pour n 1 :

où les b2n sont les nombres de Bernoulli. Cependant, la nature irrationnelle ou transcendante de z(s) pour s entier impair supérieur à 3, n'est pas connue. C'est un problème ouvert.

Apéry et z(3) :
 
Hypothèse (ou conjecture) de Riemann (1859) :

Cette célèbre conjecture est relative aux fonctions zêta :

Lorsque la partie réelle de s est comprise entre 0 et 1, les zéros de z(s)
ont tous 1/2 pour partie réelle.

L'hypothèse de Riemann fait l'objet du 8ème problème de Hilbert énoncé en 1900. Sa résolution a été mise à prix en mai 2000 par le Clay Mathematics Institute : 1 000 000 $. elle reste improuvée encore aujourd'hui (mars 2010).

Cette conjecture est considérée comme un problème majeur et apparut liée à la distribution des nombres premiers lorsque Hadamard et de la Vallée-Poussin s'emparèrent de ces fonctions (indépendamment) en montrant préalablement qu'elles n'admettent aucun zéro pour s = 1 et en apportant, en conséquence, la preuve (1896) de la conjecture de Gauss-Legendre :

Euler et la fonction z :          Nombres de Bernoulli et fonction z :

 Pour en savoir plus :

On peut démontrer que la probabilité pour que n nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est 1/z(n). Ainsi, la probabilité que deux entiers non nuls choisis au hasard soient premiers entre eux est 6/p2.

Tentative (trop) élémentaire de preuve... :

Notons que :

Ces nombres sont liés :

Équation de Riemann :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre, rencontrée en physique mathématique, ayant trois points singuliers a, b et c, de type Fuchs :

Un cas particulier de cette équation est fourni par l'équation hypergéométrique de Gauss et l'équation de Kummer.

 Pour en savoir plus :

Codazzi  Cremona Luigi
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