ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

RIEMANN Bernhard, allemand, 1826-1866          

Fils de pasteur, voué de par la volonté paternelle à des études théologiques, le jeune Bernhard entre à l'université de Göttingen (1846) afin étudier la philosophie malgré son attrait et ses brillantes capacités pour les mathématiques. Sa rencontre avec Gauss, mathématicien et astronome réputé, sera déterminante : il sera mathématicien.

Gauss, alors âgé de 74 ans, dirigea sa thèse (1851) sur les fonctions d'une variable complexe en la célèbre université de Göttingen. Riemann fut lui-même professeur à Göttingen, succédant à ce dernier en 1859 (Dirichlet avait lui-même succédé à Gauss quatre ans plus tôt). Riemann mourut prématurément à peine âgé de 40 ans, atteint de tuberculose à Selesca (lac Majeur, Italie) où il se soignait.

C'est dans sa thèse de 1851 (Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen Größe = Fondements pour une théorie générale des fonctions d'une variable complexe), qu'apparaît la notion de surface de Riemann permettant de donner un sens  à une fonction complexe susceptible de prendre plusieurs valeurs : les fonctions multiformes. Une vision totalement nouvelle, voire révolutionnaire, d'une théorie précédemment élaborée par Cauchy qui y consacra 30 ans de sa vie.

  Briot , Bouquet , Laurent

Avec sa théorie des surfaces (Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie, 1854), généralisée abstraitement à n dimensions : les Variétés (Mannigfaltigkeit), on pénètre dans des géométries non euclidiennes avec la généralisation de la notion de distance, qui seront, 50 ans plus tard, pour Einstein et Minkowski les outils indispensables pour la mise en place de la théorie de la relativité.

Notion de variété & géométrie différentielle :

Dans ces nouveaux espaces, avec la recherche de propriétés invariantes par "transitions" continues, Riemann apparaît comme un des pères de la topologie moderne, branche extrêmement féconde et toujours actuelle des mathématiques entrevue par Euler et Leibniz et que ce dernier nomma Analysis situs, terme utilisé jusqu'au 20è siècle, avec Poincaré, par exemple.

Notions de topologie :

En analyse, Riemann développa la théorie des fonctions abéliennes et des fonctions elliptiques et compléta les travaux de Dirichlet, son maître, sur les séries trigonométriques et leurs problèmes de convergence. Dans ce dernier contexte, son nom reste attaché à sa célèbre formalisation de l'intégrale :

Intégrale de Riemann, primitive d'une fonction :

Non satisfait de la théorie de l’intégration de Cauchy portant sur les fonctions continues qui lui paraît insuffisante pour manipuler certaines séries de Fourier (de fonctions "peu" régulières), Riemann publie (1854) une rigoureuse théorie de l'intégration pour les fonctions bornées sur un intervalle fermé. L’intégrale de Riemann coïncide avec celle de Cauchy pour les fonctions continues, elle fut enseignée en classe Terminale des lycées jusqu'à la fin des années 1970.

On sait depuis Mercator et Leibniz, que si une fonction est positive, l'intégrale sur un intervalle [a,b] :

(notation due à Fourier) évalue l'aire du domaine « sous la courbe », parfois appelée hypographe.

L'idée de Riemann fut de remplacer un arc de courbe sur chaque [xi, xi+1] par un segment d'ordonnée f(ci) sur cet intervalle : on parle de fonction en escalier. L'intégrale est obtenue en encadrant la fonction f entre deux suites de fonctions en escalier : on parle de quadrature, calcul d'aire basé sur la décomposition en rectangles (ou carrés au sens étymologique) de la surface à évaluer.

Sommes de Riemann, calcul approché, intégration par parties :

On apprend en classe Terminale que si la fonction f est continue sur [a,b], il existe au moins une fonction F dérivable sur [a,b] telle que F'(x) = f(x). Une telle fonction F est appelée primitive de f sur [a,b]. Toute autre primitive de f ne diffère de F que par une constante :  

G'(x) = f(x)    kR, G(x) = F(x) + k

On a le résultat fondamental :

Lagrange et la notion de primitive, exercices , calcul de quelques intégrales (niveau SUP)

 Darboux, Stieltjes , Lebesgue
 
Intégrale de Riemann-Liouville :

              Liouville  

La géométrie différentielle :

Dans son magistral traité de 1854, Les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie, suite aux travaux de Gauss dans l'étude des surfaces, Riemann développa ce qui deviendra une branche maîtresse des mathématiques :  la géométrie différentielle.

L'objectif fut de généraliser les propriétés métriques et différentielles des surfaces "usuelles" de l'espace euclidien à des espaces "courbés" considérés comme espaces de référence et non plus comme plongés dans un espace plus vaste de dimension supérieure : on parle de variétés.

Une variété est dite algébrique si elle admet une équation polynomiale du type f(x,y,z,...) = 0.

En hommage à Riemann, on appelle variété riemannienne, une variété sur laquelle on peut définir une métrique (distance cohérente entre deux points de la variété). Une telle variété abstraite (elle n'est plus considérée comme partie d'un espace plus vaste) peut alors être munie d'une topologie (variété topologique). On peut y définir des coordonnées, une orientation, des transformations et des propriétés différentielles (variété différentielle). On entre alors dans le monde de la géométrie différentielle et de la topologie différentielle.

  Les pays anglo-saxons utilisent algebraic variety pour désigner une variété algébrique et manifold, adjectif substantivé signifiant varié pour désigner une variété topologique. Une variété différentielle est qualifiée de lisse : smooth manifold.

Variétés & notions fondamentales de la géométrie différentielle :


Le paraboloïde hyperbolique, en forme de selle de cheval, est une variété de dimension 2

Fonctions multiformes, surfaces de Riemann :

Dans sa thèse de 1851, prolongeant les travaux de Cauchy sur les fonctions d'une variable complexe et afin de donner un sens aux fonctions multiformes à valeurs complexes (un point peut posséder plusieurs images), Riemann conçoit la notion appelée de nos jours surface de Riemann et plus généralement de variété riemannienne.

Sur une telle "surface", constituée de "feuillets" raccordés continûment, une fonction multiforme devient uniforme (un point n'a qu'une seule image).

En savoir plus sur ces fonctions et ces surfaces :             Intégrale complexe , théorème des résidus , Théorème de Riemann-Roch

Riemann et les géométries non euclidiennes :

Ces travaux en géométrie différentielle conduisent ainsi Riemann à s'intéresser vers la fin des années 1850 (édition posthume, 1867) au célèbre 5ème et controversé postulat d'Euclide (souvent appelé postulat des parallèles) et à décrire une géométrie non euclidienne en remplaçant ledit postulat par l'impossibilité de mener par un point une parallèle à une droite donnée !

On n'aboutit ainsi à aucune contradiction et une concrétisation de cette géométrie est celle de la sphère, surface à courbure constante positive, où les "droites" (géodésiques : trajectoires de cheminement minimum entre deux points) sont les grands cercles : ceux dont le centre est celui de la sphère. On parle de géométrie elliptique, s'opposant à la géométrie hyperbolique de Lobatchevski.

Ci-contre, étant donnés deux points S et S' diamétralement opposés sur la sphère, les "droites" rouge et bleu sont perpendiculaires à la "droite" équatoriale noire. Dans cette géométrie, on pourrait alors les considérer comme "parallèles", mais se coupant en S et S'...

Notions sur les géométries non euclidiennes :           Géodésique, loxodromie, orthodromie :

Séries de Riemann, fonctions (ou nombres) ζ(s) :

On nomme séries de Riemann les séries numériques de terme général 1/ns (s complexe), déjà étudiées par Euler dans le cas réel. En notant traditionnellement s = σ + it (σ et t sont respectivement les parties réelle et imaginaire de s), ces séries sont absolument convergentes lorsque σ > 1 et divergent sinon.

Pour σ > 1, les sommes de ces séries définissent donc des nombres complexes que Riemann  note ζ (prononcer zêta) :

 

Étude de la convergence :                      Séries (généralités, convergence)

Si s est un entier naturel pair (non nul), les nombres ζ(s) sont irrationnels et transcendants, comme :

ζ(2) = π2/6 :   ou encore :    ζ(4) = π4/90 :

car il est prouvé que pour n 1 :

où les b2n sont les nombres de Bernoulli.

Cependant, la nature irrationnelle ou transcendante de ζ(2n + 1) pour s = 2n + 1, n ≥ 2, n'est pas connue. Elle reste un problème ouvert. Le cas ζ(3) fut résolu par le français Roger Apery par le biais de son analyse non standard :

Roger Apéry et le calcul de ζ(3) :

  On peut démontrer que la probabilité pour que n nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est 1/ζ(n). Ainsi, la probabilité que deux entiers non nuls choisis au hasard soient premiers entre eux est 6/π2, soit environ 0,61. Ce résultat fut obtenu par Cesaro.

 

A noter que :

Ces nombres sont liés :

Équation fonctionnelle de Riemann (lien entre ζ et Γ) :  

Riemann établit cette belle formule établissant un lien fonctionnel entre les fonctions ζ et la fonction Γ de Euler :

 

On voit que le changement de s en 1 - s laisse la formule invariante, ce qui fait présager du rôle crucial de s = 1/2 (symétrie par rapport à la droite σ = 1/2).

Hypothèse de Riemann et hypothèse de Riemann généralisée (1859) :

Riemann a prouvé ( Réf. 5) que les zéros réels de la fonction ζ sont les entiers négatifs pairs autres que 0 : du type -2, 4, ..., -2n, ... On les qualifie aujourd'hui de triviaux ! Par des considérations relativement simples, Euler avait montré dans le cas s réel :

où P désigne l'ensemble infini des nombres premiers : P = {2, 3, 5, 7, 11, ...} : les fonctions ζ sont ainsi liés aux nombres premiers. Grâce à cette identité, on voit que pour toute valeur de s dans le demi-plan de convergence σ = Re(s) > 1, il n'existe aucun zéro. L'incertitude se présente dans la bande 0 < σ < 1 du champ complexe où Riemann prouva que l'on peut prolonger (malgré la divergence) les fonctions ζ en fonctions holomorphes pour tout s 1 (prolongement analytique). La célèbre conjecture s'énonce alors :

Lorsque la partie réelle de s est comprise entre 0 et 1, les zéros de ζ(s) ont tous 1/2 pour partie réelle.

L'hypothèse de Riemann fait l'objet du 8ème problème de Hilbert énoncé en 1900. Plusieurs milliards de zéros non triviaux ont aujourd'hui été découverts : tous sur la droite σ = 1/2.  Ce qui ne prouve rien...

On pourra lire un intéressant historique des recherches numériques des zéros en consultant la  page Wikipédia consacrée à ce sujet ( Réf. 7).

Cette conjecture est considérée comme un problème majeur et intimement liée à la distribution des nombres premiers. En 1896, Hadamard et de la Vallée-Poussin s'emparèrent de ces fonctions (indépendamment) en montrant préalablement qu'elles n'admettent aucun zéro sur la droite σ = 1 et en apportant, en conséquence, la preuve (1896) de la conjecture de Gauss-Legendre :

Quand j'étais jeune, j'espérais la démontrer. Quand je suis devenu un peu plus vieux, j'ai encore eu l'espoir de pouvoir lire et comprendre une démonstration de l'hypothèse de Riemann. Maintenant, je me contenterais bien d'apprendre qu'il en existe une démonstration.

La preuve de l'hypothèse de Riemann a été mise à prix en mai 2000 par le Clay Mathematics Institute : un million de $US. Elle reste improuvée encore aujourd'hui (janvier 2014) et certains mathématiciens, comme Henri Berliocchi, osent se risquer à la contester.

L'identité d'Euler également appelée produit eulérien : Nombres de Bernoulli et fonction ζ :

Hypothèse de Riemann généralisée (dite HRG) :    

En simplifiant à l'extrême, cette hypothèse relative aux progressions arithmétiques d'entiers premiers, fait appel aux séries L, généralisant celle de Riemann, que Dirichlet introduisit dans ses travaux sur le sujet un demi-siècle au préalable :

Si la fonction L(z,χ) admet un zéro dans la bande "critique" 0 < Re(z) < 1, alors Re(z) = 1/2.

Selon la source Wikipedia (fr & en), cette hypothèse aurait été conjecturée par le mathématicien allemand Adolph Piltz (1855-1940) dans sa seconde thèse de 1884. Il fut étudiant à Berlin auprès de Kummer qui dirigea sa première thèse (1881). Ses recherches portent exclusivement sur la théorie analytique des nombres. La thèse de Piltz est en ligne ( Réf. 12) mais le texte allemand est très difficile à déchiffrer...

Séries L de Dirichlet :              Caractères de Dirichlet :

Équation de Riemann :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre, rencontrée en physique mathématique, ayant trois points singuliers a, b et c, de type Fuchs :

Un cas particulier de cette équation est fourni par l'équation hypergéométrique de Gauss et l'équation de Kummer.


 Pour en savoir plus :

  1. Intégrale de Riemann : tout cours de mathématiques (analyse) niveau 1ère année DEUG Sciences/Éco.
  2. L'intégrale,  par Paul Deheuvels, Que sais-je ?, n° 2250, P.U.F. Réédité format poche.
  3. Les nombres premiers (dont l'hypothèse de Riemann) par G. Tenenbaum & M. Mendès France
    Que sais-je n°571 (nouvelle édition 1997),
  4. Problèmes du millénium : http://www.claymath.org/millennium-problems    Clay Institute
  5. La fonction ζ de Riemann, par Javier Fresàn  (un exposé remarquablement documenté), univ. Paris 13 :
    http://jfresan.files.wordpress.com/2011/04/lecture-de-riemann.pdf
  6. L'hypothèse de Riemann, le Graal des mathématiques, par Gilles Lachaud (univ. Marseille)
    http://iml.univ-mrs.fr/editions/publi2005/LaRechercheHS20_Lachaud.pdf
  7. Hypothèse de Riemann et recherche numérique des zéros de la fonction ζ et sur Wikipedia :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypothèse_de_Riemann
  8. Variétés différentielles et analytiques, N. Bourbaki, Livre VIII, Éd. Masson, Paris 1967/1971
  9. Gesammelte Mathematische Werke (extraits en allemand des Oeuvres complètes) : http://www.emis.de/classics/Riemann/
  10. Les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie sur Google Livres :
    https://books.google.fr/books?id=lboWAAAAQAAJ
  11. La seconde thèse de Piltz sur internet Archive :
    https://ia600306.us.archive.org/10/items/berdiehufigkeit00piltgoog/berdiehufigkeit00piltgoog.pdf


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