ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude de y = x2cos(1/x)       étude de x.sin(1/x)

L'objectif est ici de montrer qu'une fonction dérivable en un point xo peut posséder une fonction dérivée dont la limite en ce point n'existe pas et laissant à penser, si l'on utilise comme critère le passage à la limite, que la fonction n'est pas dérivable en xo. Nombreux sont les élèves de 1ère ou de Terminale tombant dans le piège...

Soit f la fonction définie sur R par :

                         

Cette très sympathique fonction est clairement continue et dérivable en tout point de R*. Au voisinage de 0, cos(1/x) oscille entre -1 et 1 et le facteur x2 assure la limite en 0 de f. Cette fonction est donc continue en x = 0 de par sa définition en ce point.

Courbe animée par wims. Merci de patienter...
Animation générée par wims

Passons à la fonction dérivée :       

En tout x réel non nul, f est manifestement dérivable comme composée de telles fonctions et :

f '(x) = 2x.cos(1/x) + sin(1/x)

Au voisinage de zéro le terme sin(1/x) oscille entre -1 et 1 et vu que 2x.cos(1/x) tend vers 0, f ' n'a manifestement pas de limite en zéro.

Qu'en est-il de la dérivabilité de f en zéro ? nous devons chercher la limite éventuelle du taux d'accroissement de notre fonction au point zéro :

f est donc dérivable en zéro et sa dérivée en ce point est nulle. Ce que confirme l'étude graphique affinée par le zoom ci-dessus.

   Moralité... :           

Pour étudier la dérivabilité d'une fonction en un point xo, on ne cherche pas la limite de sa fonction dérivée en xo car cette dernière peut EXISTER en ce point sans pour autant avoir de LIMITE en ce point. Passer à la limite peut être licite à condition de savoir que f ' est continue en xo.


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