ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude de y = x2cos(1/x)       » étude de x.sin(1/x)

L'objectif est ici de montrer qu'une fonction dérivable en un point x_o peut posséder une fonction dérivée dont la limite en ce point n'existe pas et laissant à penser, si l'on utilise comme critère le passage à la limite, que la fonction n'est pas dérivable en x_o. Nombreux sont les élèves de 1ère ou de Terminale tombant dans le piège...

Soit f la fonction définie sur R par :

Cette très sympathique fonction est clairement continue et dérivable en tout point de R^*. Au voisinage de 0, cos(1/x) oscille entre -1 et 1 et le facteur x² assure la limite en 0 de f. Cette fonction est donc continue en x = 0 de par sa définition en ce point.

Animation générée par wims

Passons à la fonction dérivée :       

En tout x réel non nul, f est manifestement dérivable comme composée de telles fonctions et :

Au voisinage de zéro le terme sin(1/x) oscille entre -1 et 1 et vu que 2x.cos(1/x) tend vers 0, f ' n'a manifestement pas de limite en zéro.

Qu'en est-il de la dérivabilité de f en zéro ? nous devons chercher la limite éventuelle du taux d'accroissement de notre fonction au point zéro :

f est donc dérivable en zéro et sa dérivée en ce point est nulle. Ce que confirme l'étude graphique affinée par le zoom ci-dessus.

 !    Moralité... :     

Pour étudier la dérivabilité d'une fonction en un point x_o, on ne cherche pas la limite de sa fonction dérivée en x_o car cette dernière peut exister en ce point sans pour autant avoir de limite en ce point.

 i   Passer à la limite peut être licite à condition de savoir que f ' est continue en x_o.