ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

L'intégrale de Riemann d'une fonction bornée
   
Programmation de la méthode élémentaire des rectangles , Autres méthodes , Intégration par parties

On sait depuis Mercator et Leibniz, que si f est une fonction positive et supposée continue sur un intervalle [a,b], l'intégrale de f sur cet intervalle évalue l'aire sous sa courbe représentative dans un repère du plan.

S'inspirant de l'intégrale de Cauchy, basée sur cette même conception géométrique mise en place en 1821-1823 pour les fonctions continues, Riemann élargit le concept d'intégrale à des fonctions numériques non nécessairement continues mais bornées sur l'intervalle d'étude [a,b] et partout définies sur [a,b] sauf éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points isolés.

Les fonctions en escalier :    

Étant donné un intervalle [a,b] de R, on appelle subdivision de cet intervalle une suite finie (xi) de points de [a,b] :

a = xo < x1< x2 < ... < xi < ... < xn= b

L'intervalle [a,b] est ainsi partagé en n sous-intervalles disjoints ]xi,xi+1[ dont il est la réunion.

Une fonction numérique f est dite en escalier (on dit aussi constante par morceaux) pour signifier qu'il existe un intervalle [a,b] et une subdivision (xi) de cet intervalle tels que :

Intégrale d'une fonction en escalier :   

L'intégrale d'un pavé A de R2 rapporté à repère orthogonal quelconque est une mesure de son aire, indépendamment de toute unité choisie sur les axes. Par définition, un pavé dont les côtés sont parallèles aux axes aura pour aire le produit ΔxΔy des deltas de ses cotes en  x et y. Dans l'exemple de gauche, l'aire de A est (6 - 2)(4 - 1) = 12. C'est à dire 12 unités d'aires ( quadrature).

Soit φ en escalier sur [a,b]. Si yi est la valeur (éventuellement négative) de φ sur Ai = ]xi,xi+1[, on remarque que :

φ = y11A1 + yi1A2 + ...+ yn1An

φ est ainsi combinaison linéaire des fonctions caractéristiques 1Ai des sous intervalles ]xi,xi+1[. Rappelons que 1Ai (x) = 1 si x Ai , 0 sinon ( Dirichlet). L'intégrale de φ sur [a,b] est alors :

Intégrale d'une fonction bornée :    

Soit maintenant f une fonction numérique bornée sur [a,b]. Parmi toutes les fonctions en escalier sur [a,b], il y a celles qui majorent f : fonctions g telles que f(x) ≤ g(x) pour tout x de [a,b], et celles qui minorent f : fonctions h telles que h(x) ≤ f(x).


Dans cette illustration, la positivité de f n'est supposée que pour une meilleure compréhension

Notons respectivement I(g) et I(h) les intégrales de g et h. La fonction f étant bornée, I(g) admet une borne inférieure inf_I(g) et I(h) une borne supérieure sup_I(h). Par définition, f est dite intégrable au sens de Riemann sur [a,b] lorsque inf_I(g) = sup_I(h) et son intégrale est le nombre :

Ce principe d'encadrement n'est pas sans rappeler la subtile approche de la circonférence par Archimède, appelée aujourd'hui méthode des périmètres, consistant à encadrer le cercle entre deux suites de polygones réguliers par défaut et pas excès.

Théorème (ou critère) de Riemann :    

Le résultat précédent, n'est pas vraiment opérationnel, raison pour laquelle, Riemann prouve un résultat à rapprocher de celui de Cauchy : considérons un intervalle [a,b] sur lequel une fonction f est bornée et soit une subdivision (xi) de [a,b] :

a = xo < x1 < x2 < ... < xn = b

Sur chaque [xi, xi+1], on remplace l'arc de courbe représentatif de f par un segment d'ordonnée f(ci) avec xi < ci < xi+1 : c'est dire que f est remplacé par une fonction en escalier. La somme :

Sn = (x1 - xo)f(c1) + (x2 - x1)f(c2) + (x3 - x2)f(c3) + ... + (xi - xi-1)f(ci) + ... + (xn - xn-1)f(cn)

sur cet intervalle, est une somme de Riemann attachée à f sur l'intervalle [a,b] (appellation due à Darboux).

Riemann montre alors que :

Si, lorsque n tend vers l'infini, de sorte que le plus grand des pas xi - xi-1 tende vers 0, la somme Sn admet une limite finie indépendamment du choix de la subdivision et qui n'est autre que l'intégrale de f sur [a,b] (au sens de Riemann) :

Théorème fondamental :    

Si F est une primitive de f sur un intervalle J contenant [a,b], c'est à dire une fonction F dérivable sur [a,b], telle que F'(x) = f(x), alors :

Mais le calcul d'une primitive n'est pas toujours évident, même pour une fonction d'apparence simple comme par exemple x cos(x2). On peut avoir recours à un développement en série de la fonction. Pour ce cas, on devrait alors écrire :

cos x = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ..., puis cos(x2) = 1 - x4/2! + x8/4! - x12/6! + ...

D'où une complication (la recherche du développement n'est pas non plus toujours évidente) et un souci pour la précision du calcul. Les mathématiciens se sont alors penchés sur des méthodes d'approximation :

Méthodes d'intégration approchée :                Calcul aléatoire d'une intégrale :

Quelques propriétés élémentaires mais fondamentales :   

La notation I(f), ou plus précisément I[a,b](f), signifiera ci-dessous l'intégrale de f sur [a,b]


1.  niveau TerS : Aire sous la parabole      2.  niveau SUP : Intégrale de Wallis       
3.
 niveau SUP : Calcul d'intégrales & primitives diverses      4. Autres exercices : niveau bac , niveau sup.


  Pour en savoir plus :

  1. Intégrale de Riemann : tout cours de mathématiques (analyse) niveau 1ère année DEUG Sciences/Éco.
  2. L'intégrale,  par Paul Deheuvels, Que sais-je ?, n° 2250, P.U.F. Réédité format poche.
  3. L'intégrale de Riemann, par Jean-Christophe Breton (univ. Rennes1) :
    https://perso.univ-rennes1.fr/jean-christophe.breton/Fichiers/Integrale_Riemann.pdf
  4. Les généralisations de la notion mathématique d'intégrale au 19è siècle, par Jean-Philippe Villeneuve sur CultureMath (ENS) :
    http://culturemath.ens.fr/histoire des maths/htm/villeneuve-2008/villeneuve2008.html


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