La notion de dérivée partielle est fondamentale en analyse, en géométrie différentielle et dans toutes les branches de la physique où on la rencontre systématiquement.

Si f est une fonction numérique de plusieurs variables, la fonction dérivée partielle de f par rapport à l'une d'elles s'obtient en dérivant l'expression de f par rapport à cette dernière et en considérant les autres comme des constantes.

 ➔  On voit déjà ici le distinguo entre dérivation ordinaire (fonction d'une seule variable) et dérivation partielle (fonction de plusieurs variables) qui conduit à parler d'équation différentielle ordinaire (EDO) dans le cas d'une seule variable.

Comme dans le cas d'une variable, la fonction dérivée partielle de f par rapport à une de ses variables s'obtient par la limite du taux d'accroissement :

Dérivée partielle seconde :      

L'usage des dérivées partielles secondes est très fréquent tant en analyse mathématique qu'en sciences physiques :

Les deux dernières dérivées partielles sont dites mixtes. On démontre que si les dérivées partielles mixtes existent et sont continues, alors elles sont égales : l'ordre de dérivation est indifférent : c'est un résultat établi dans toute sa généralité par Karl H. Schwarz :

Soit f est une fonction numérique de deux variables x et y. Si f est de classe C² (admettant des dérivées partielles continues d'ordre 1 et 2 par rapport à chaque variable), alors :

Nature  de l'extremum dans le cas de deux variables indépendantes:      

Le développement de Taylor d'ordre 2 d'une fonction de plusieurs variables permet de lever l'ambiguïté quant à la nature de l'extremum (» réf1, Ch.XI-7,  réf.2, Ch.V-2) lorsque ce développement n'est pas dégénéré. On pousse alors à l'ordre 3 ou plus (» cet exercice).

Une équation aux dérivées partielles est une équation dont l'inconnue, une fonction φ, apparaît au moyen de ses dérivées partielles par rapport à l'une au moins de ses variables x, y, ... et devant généralement vérifier des conditions initiales (valeurs données) ou des conditions aux limites, comme tendre vers 0 pour x infini.

Lorsque l'équation est définie sur un ouvert U (intervalle, disque, boule, ...), la condition peut aussi, par exemple, être φ = 0 sur le bord de U.

On rencontre de telles équations tout particulièrement en géométrie différentielle (fonctions harmoniques par exemple) et, généralement à l'ordre 2 (dérivées partielles secondes) dans toutes les branches de la physique et des sciences de la nature comme :

• l'électrostatique, l'électromagnétisme (propagation du potentiel dans un câble en tant que signal électromagnétique, le potentiel électrostatique, la théorie du signal );

• la thermodynamique (équation de la chaleur), l'hydrodynamique, la théorie des marées;

• la théorie des cordes vibrantes, la propagation du son;

• l'aéronautique, l'astrophysique (potentiel gravitationnel, également dit newtonien), la mécanique céleste (dont la théorie de la relativité d'Einstein);

• la théorie cinétique des gaz (équation de Boltzmann);

• la mécanique des fluides, la météorologie, l'élasticité;

• ...

Par exemple :  

♦  Équation des cordes vibrantes : d'Alembert (1746)

♦  Équation de la chaleur : Fourier (1812)

♦  Équations de Laplace (1782) :

♦  Équation de Poisson, potentiel de volume de densité ρ (1813) :

♦  Équation d'Heaviside (dite des télégraphistes), résolue par Poincaré :

Les problèmes posés par la physique orientent également les recherches de Daniel Bernoulli sur le développement des fonctions en série trigonométrique (ou l'existence de solutions sous forme de-) que Euler, et surtout Fourier et Dirichlet, finaliseront.

• entropie : évolution d'un système vers un désordre irrémédiable... La fonte d'un glaçon, la disparition, semble-t-il inéluctable de la banquise aux pôles de notre planète, le vieillissement (tout simplement) sont des cas d'entropie.

La résolution des équations aux dérivées partielles est généralement très difficile :    

La difficulté de résolution apparaît dès le 1er ordre et la recherche de solutions convenables parmi les solutions générales trouvées est un casse-tête du même ordre eu égard au problème étudié et aux conditions aux limites (contraintes aux bornes de l'intervalle d'étude).

Lagrange a cependant prouvé qu'une équation aux dérivées partielles du 1er ordre peut toujours se ramener à la résolution d'une équation différentielle du même ordre.

Dans le cas de deux variables indépendantes x et y, une équation aux dérivées partielles, d'inconnue la fonction numérique z = f(x,y), est dite linéaire du 1er ordre si elle peut se ramener à la forme :

               (e)

les dérivées partielles ∂z/∂x et ∂z/∂y de z par rapport à x et y sont supposées continues sur le domaine d'étude (inclus dans R²).

La fonction inconnue apparaît dans l'expression des coefficients a, b et c. En recherchant une fonction z = f(x,y) sous une forme implicite φ(x,y,z) = 0 vérifiant (e), on simplifie quelque peu le problème en obtenant une équation d'inconnue φ dont les coefficients a, b et c ne dépendent plus directement de l'inconnue. En effet, φ(x,y,z) = 0 étant identiquement nul, les dérivées totales de φ par rapport à x et y sont nulles :

ce qui conduit, en reportant dans (e), à une équation homogène (c.-à-d. sans second membre) :

L'étude générale des systèmes différentiels conduit à résoudre le système  caractéristique de l'équation :

et la recherche des intégrales premières permettra, dans ce cas relativement simple (équation linéaire du 1er ordre), de connaître la solution générale de l'équation proposée sous une forme F(ψ₁,ψ₂) où F est cependant arbitraire, ψ₁ et ψ₂ désignant deux intégrales premières. Sur ce difficile sujet, nécessitant de longs développements préliminaires (systèmes différentiels, intégrales premières, équations du second ordre), les liens ci-après permettront d'éclairer le sujet avec rigueur et précision (niveau maîtrise).