ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Notion de dérivée partielle et d'équation aux dérivées partielles
   
Équation aux dérivées partielles | Condition d'extrémum d'une fonction de deux variables

La notion de dérivée partielle est fondamentale en analyse, en géométrie différentielle et dans toutes les branches de la physique où on la rencontre systématiquement.

Si f est une fonction numérique de plusieurs variables, la fonction dérivée partielle de f par rapport à l'une d'elles s'obtient en dérivant l'expression de f par rapport à cette dernière et en considérant les autres comme des constantes.

Par exemple si f est fonction de deux variables u et v, la dérivée partielle de f par rapport à u est notée , notation de Legendre calquée sur celle qu'utilisa Leibniz, à savoir df/du dans le cas d'une seule variable. La dérivée partielle par rapport à u, s'obtient en dérivant f par rapport à u en considérant v comme une constante. Pour simplifier, on utilise parfois fu'.

Comme dans le cas d'une variable, la fonction dérivée partielle de f par rapport à une de ses variables s'obtient par la limite du taux d'accroissement :

Différentielle d'une fonction de plusieurs variables :

Dérivée partielle seconde :      

L'usage des dérivées partielles secondes est très fréquent tant en analyse mathématique qu'en sciences physiques :

Les deux dernières dérivées partielles sont dites mixtes. On démontre que si les dérivées partielles mixtes existent et sont continues, alors elles sont égales : l'ordre de dérivation est indifférent : c'est un résultat établi dans toute sa généralité par Karl H. Schwarz :

Soit f est une fonction numérique de deux variables x et y. Si f est de classe C2 (admettant des dérivées partielles continues d'ordre 1 et 2 par rapport à chaque variable), alors :

 

  Cauchy , Laplace

Condition d'extremum :      

Soit f une fonction de variables u,v,w,... dérivable au voisinage d'un point (uo,vo, wo,..).

Une condition nécessaire pour que f admette un extremum en ce point (minimum ou maximum) est que toutes ses dérivées partielles soient nulles en ce point :

Le développement de Taylor d'ordre 2 (on étudié ici) d'une fonction de plusieurs variables permet de lever l'ambigüité quant à la nature de l'extremum :

Nature  de l'extremum :      

Soit f une fonction de deux variables u et v dérivable au voisinage d'un point (uo,vo) et admettant en ce point un extremum (annulant donc des dérivées partielles premières). Posons, en omettant les variables (uo,vo) afin de simplifier :

  exercice d'application (recherche d'un volume maximum)

Courbure des surfaces :                Indicatrice de Dupin :

Équations aux dérivées partielles :

Une équation aux dérivées partielles est une équation dont l'inconnue, une fonction φ, apparaît au moyen de ses dérivées partielles par rapport à l'une au moins de ses variables x, y, ... et devant généralement vérifier des conditions initiales (valeurs données) ou des conditions aux limites, comme tendre vers 0 pour x infini.

Lorsque l'équation est définie sur un ouvert U (intervalle, disque, boule, ...), la condition peut aussi, par exemple, être φ = 0 sur le bord de U.

On rencontre de telles équations tout particulièrement en géométrie différentielle (fonctions harmoniques par exemple) et, généralement à l'ordre 2 (dérivées partielles secondes) dans toutes les branches de la physique et des sciences de la nature comme :

Par exemple :  

  Équation des cordes vibrantes : d'Alembert (1746)

  Équation de la chaleur : Fourier (1812)

  Équations de Laplace (1782) :

  Équation de Poisson, potentiel de volume de densité ρ (1813) :

  Équation de  Boltzmann (1872) :   Villani

  Équation d'Heaviside (dite des télégraphistes), résolue par Poincaré :


   Exemple rudimentaire :
on suppose connu que : ∂f/∂u = 2u - v avec la condition f(1,0) = 1. La variable v doit ici être regardé comme une constante et par suite f(u,v) = u2 -uv + k.
Mais cette constante k d'intégration peut dépendre de v et nous devons écrire plus précisément :

f(u,v) = u2 - uv + k(v)  avec  1 =  f(1,0) = 1 + k(0).

La solution est alors : f(u,v) = u2 - uv + k(v) avec k(0) = 0. On voit là un manque d'informations sur la fonction k qui peut être de toute nature
(polynomiale, logarithmique, exponentielle, trigonométrique, ...).
Dans le cas général, autrement plus difficile, un manque d'informations sur les conditions initiales est un problème majeur de ce type d'équations.


Les problèmes posés par la physique orientent également les recherches de Daniel Bernoulli sur le développement des fonctions en série trigonométrique (ou l'existence de solutions sous forme de-) que Euler, et surtout Fourier et Dirichlet, finaliseront.

En 1950, Laurent Schwartz crée une extension de la notion de fonction avec la théorie des distributions. Ce nouveau concept, qui lui valut la médaille Fields, va bouleverser l'analyse classique et fournir l'outil indispensable à la résolution des équations aux dérivées partielles linéaires.

Avec la complexité des problèmes rencontrés : systèmes d'équations aux dérivées partielles d'ordre élevé et nombreuses conditions aux limites, sont apparues, tout comme pour les équations différentielles ordinaires, des méthodes de résolution approchée. On parle de discrétisation par différences finies et par éléments finis où l'apparition des ordinateurs, dès les années 1940, apportera des solutions satisfaisantes. Pour certains phénomènes évolutifs, on s'intéresse d'ailleurs plus au comportement dans le temps des solutions (propriétés qualitatives) qu'à leur expression mathématique (propriétés quantitatives), en particulier :

Méthode des différences finies :                 Notion d'entropie :   

La résolution des équations aux dérivées partielles est généralement très difficile :    

La difficulté de résolution apparaît dès le 1er ordre et la recherche de solutions convenables parmi les solutions générales trouvées est un casse-tête du même ordre eu égard au problème étudié et aux conditions aux limites (contraintes aux bornes de l'intervalle d'étude).

Lagrange a cependant prouvé qu'une équation aux dérivées partielles du 1er ordre peut toujours se ramener à la résolution d'une équation différentielle du même ordre.

Dans le cas de deux variables indépendantes x et y, une équation aux dérivées partielles, d'inconnue la fonction numérique z = f(x,y), est dite linéaire du 1er ordre si elle peut se ramener à la forme :

               (e)

les dérivées partielles z/x et z/y de z par rapport à x et y sont supposées continues sur le domaine d'étude (inclus dans R2).

La fonction inconnue apparaît dans l'expression des coefficients a, b et c. En recherchant une fonction z = f(x,y) sous une forme implicite (x,y,z) = 0 vérifiant (e), on simplifie quelque peu le problème en obtenant une équation d'inconnue dont les coefficients a, b et c ne dépendent plus directement de l'inconnue. En effet, (x,y,z) = 0 étant identiquement nul, les dérivées totales de par rapport à x et y sont nulles :

ce qui conduit, en reportant dans (e), à une équation homogène (c.-à-d. sans second membre) :

L'étude générale des systèmes différentiels conduit à résoudre le système  caractéristique de l'équation :

et la recherche des intégrales premières permettra, dans ce cas relativement simple (équation linéaire du 1er ordre), de connaître la solution générale de l'équation proposée sous une forme F(ψ12) où F est cependant arbitraire, ψ1 et ψ2 désignant deux intégrales premières. Sur ce difficile sujet, nécessitant de longs développements préliminaires (systèmes différentiels, intégrales premières, équations du second ordre), les liens ci-après permettront d'éclairer le sujet avec rigueur et précision (niveau maîtrise).

  Heaviside , Galerkin , Hörmander , Villani , Nash

 Pour en savoir plus sur les équations aux dérivées partielles :

  1. Cours de mathématiques, Tome 2, par Jean Bass, Éd. Masson et Cie - Paris, 1964.

  2. Cours de calcul différentiel, par Henri Cartan, Éd. Hermann, réédition 2007 (1ère édition parue en 1977).
  3. Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, par Laurent Schwartz. Éd. Hermann,1965. On y trouvera la résolution des équations des cordes vibrantes, des membranes vibrantes et de la chaleur dans le cadre de la théorie des distributions.

  4. Des MathÉmatiques pour les Sciences, Concepts, méthodes et techniques pour la modélisation, par Claude Aslangul.
    Chap. 12. Éditions De Boeck - Bruxelles, 2011
  5. Vidéo  : Henri Poincaré et les équations aux dérivées partielles (univ. Lorraine) :
    http://numerique.univ-lorraine.fr/mediatheque/sciences-et-societe/Henri-Poincare-et-les-equations-...


© Serge Mehl - www.chronomath.com