ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BERTRAND Joseph Louis François, français, 1822-1900

Reçu premier à l'École polytechnique à 17 ans, premier à l'agrégation deux années plus tard (ex aequo avec Briot), il sera ingénieur des Mines, fonction qu'il délaissera pour l'enseignement au lycée Saint-Louis puis au Collège de France. Bertrand fut élu à l’Académie des Sciences (1856), succédant à Sturm, puis à l’Académie française (1884).

Bertrand publia de nombreux mémoires, en particulier dans le Journal de Liouville, et de nombreux traités comme Traité d'arithmétique (1849), Calcul différentiel et intégral, Calcul des probabilités (1889).

Plus généralement, sur le plan scientifique, ses travaux portèrent sur l'astronomie, la thermodynamique, l'électricité. Il éditera la théorie de la Lune d'Abu al-Wafa (1873). Son histoire des mathématiques sera publiée l'année de sa mort en 1900.

Série de Bertrand :

 Pour n au moins égal à 2, il s'agit de la série de terme général :

Preuve : si k < 0, un est supérieur au terme général de la série harmonique. Par conséquent, elle diverge. Si k > 0, on peut comparer la série à l'intégrale sur [2,+∞[ de f(x) = ux, x réel. Posons t = ln x, donc x = et et dx = etdt :

La série de Bertrand se généralise au cas :

Preuve : β désignant un réel compris entre α et 1, écrivons le terme général de la série sous la forme :

,

Si α > 1, on a β ]1,α[ et la suite (un) est majorée par 1/nβ, terme général d'une série de Riemann convergente (β > 1) : le second facteur étant inférieur à 1 pour n suffisamment grand (il tend vers 0) vu que β - α < 0 et que "la puissance l'emporte sur le logarithme".

Si α < 1, on a cette fois β ]α,1[, donc β - α > 0, et il apparaît que le second facteur tend vers l'infini. 1/nβ,la suite (un) est donc majorée par 1/nβ, terme général d'une série de Riemann divergente (β < 1). La série considérée diverge donc.

Paradoxe de Bertrand :

Ce "paradoxe", qui n'en est pas vraiment un, réside dans la pluralité des solutions suivant l'interprétation que l'on peut donner de l'énoncé :

Considérons un cercle et une corde [AB] de ce cercle tracée au hasard.
Quelle est la probabilité que cette corde soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ?


Vous pouvez déplacer A et/ou B ainsi que le triangle au moyen de T

Si vous séchez après avoir bien cherché :
Postulat (conjecture) de Bertrand :

Bertrand énonça (1845) une conjecture prouvée par Tchebychev en 1850 :

Pour tout entier naturel n au moins égal à 2, il existe un nombre premier entre n et 2n

Bertrand énonça plus précisément :

Pour 2a > 7, il y a au moins un nombre premier compris entre a et (2a - 2)      Tchebychev

Selon A. Bouvier et M. George, le mathématicien allemand Robert Breusch aurait prouvé (1931) un résultat plus précis :

Pour tout entier naturel n au moins égal à 48, il existe un nombre premier entre n et 9n/8

Pour n = 48, on trouve 53; pour n = 55, on trouve 59 et 61, ...

Étude et calculs de nombres premiers :

Niveau Sup : http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/2005-06/a2/td4.pdf  ( §4)


Tchebychev  Galton
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