Application linéaire tangente & différentielle d'une fonction Approximation locale d'une fonction » Cas de plusieurs variables , différentielle d'ordre n |
Si f est une fonction numérique dérivable en un point xo, on dit aussi, de façon équivalente, qu'elle est différentiable en xo : reprenons la définition du nombre dérivé f'(xo) obtenue en posant h = x - xo dans l'écriture du taux d'accroissement de f en xo :
Lorsque ce nombre existe, on peut donc écrire qu'il existe une fonction h → ε(h) de limite 0 lorsque h tend vers 0 telle que :
f(xo + h) = f(xo) + h[f'(xo) + ε(h)]
On sait que l'équation de la tangente à la courbe est donnée par :
yT = f(xo) + (x - xo)f'(xo) = f(xo) + hf'(xo) avec h = x - xo.
En comparant ces deux dernières égalités, on voit que l'ordonnée d'un point de la tangente en xo approche la fonction f au point xo + h à hε(h) près, quantité d'autant plus petite que h est petit :
f(xo) + hf'(xo) ≅ f(xo + h)
L'application h → hf'(xo) définie au voisinage de xo est une fonction linéaire de h. Pour les raisons ci-dessus, elle est appelée application linéaire tangente au point xo.
➔ Depuis Leibniz, génial précurseur, avec Newton, du calcul différentiel, lorsque h est infiniment petit, on le note traditionnellement dx. L'application h → hf'(xo) s'écrit alors
dx → dx × f'(xo) = f'(xo)dx
et prend le nom de différentielle de f au point xo. On peut utiliser différentes notations suivant le contexte :
dfxo = f'(xo)dx ou df(xo) = f'(xo)dx
df = f'(x)dx (en un x quelconque) ou, si on a noté y = f(x) : dy = f'(x)dx
∗∗∗
Donner une approximation de la racine carrée de 3,07
sachant que √3
≅ 1,732.
Rép : sachant aussi que (√x)'
= 1/2 √x, on a
trouve, avec h = 0,07
≅ 1,75225.
Val. exacte : 1,75214.
! On exprime souvent la différentielle d'une fonction numérique par df = f'(x)dx en partant du fait que si x est suffisamment petit, pour un petit accroissement Δx de x, on a sensiblement Δy/Δx = f'(x) et donc, pour x infinitésimal, il serait alors licite de poser conventionnellement df/dx = f'(x). Ce n'est pas tout à fait cela...
Dans le calcul de f'(x), si ce nombre existe, le taux d'accroissement s'écrit en effet Δy/Δx. Mais lorsque Δx devient infiniment petit pour obtenir f'(x), c'est pour tendre vers 0 et il doit en être de même de Δy. On obtient donc à la limite une forme 0/0 qui ne peut en aucun cas s'écrire dy/dx, à moins que dx et dy ne soient nuls !
Le calcul précédent : f(xo + h) = f(xo) + h[f'(xo) + ε(h)] montre que Δy = Δxf'(xo) + Δxε(Δx). Interprétons graphiquement :
On a tracé la tangente (t) en M(x,y) d'une fonction y = f(x) dérivable en x. Le coefficient directeur de cette tangente est f'(x). C'est aussi tan(^KMT) = KT/MK. On voit dans ces conditions que dans la notation différentielle dy = f'(x)dx, lorsque dx joue bien le rôle infinitésimal d'un Δx non nul mais aussi petit que l'on voudra, il n'en est pas de même de dy :
dy = f'(x)dx = KT/MK × MK = KT ≠ KN , KT jouant le rôle de Δy !
Le calcul a montré que la différence algébrique entre dy et Δy est Δxε(Δx), cela représente donc NT.
On constate, et cela est tout à fait fondamental, eu égard à l'histoire de la notation différentielle puisant sa genèse dans les sciences physique, que :
➔ Utiliser la différentielle d'une fonction consiste à estimer que sur un intervalle extrêmement petit dx, la variation df de la fonction f est proportionnelle à cet intervalle dans le rapport f '(x).
On constate son utilisation pour de nombreux phénomènes physiques ou la variable principale est le temps :
∗∗∗ Exemples concrets d'équation différentielle
Différentielle d'une fonction de plusieurs variables, différentielle totale : |
On se restreint ici à une fonction numérique (à valeurs dans R) de 2 variables, la généralisation à n variables se fait relativement facilement. Soit donc (x,y) → f(x,y) une fonction de numérique de deux variables indépendantes x et y, définie dans un domaine A × B de R2. On suppose que f admet des dérivées partielles continues du 1er ordre en x et y au voisinage d'un point (xo,yo) de A × B : f est dite continûment différentiable.
Plaçons-nous en un point (xo + h, yo + k) "proche" de (xo,yo), h et k pouvant être de signes quelconques, et étudions l'accroissement correspondant de f, à savoir :
Δf = f(xo + h, yo + k) - f(xo,yo)
Δf peut s'écrire :
Δf = [ f(xo + h, yo + k) - f(xo, yo + k) ] + [ f(xo, yo + k) - f(xo,yo) ]
Le 1er crochet s'interprète comme l'accroissement de f en (xo, yo + k) lorsque x s'accroît de h; le second membre s'interprète comme l'accroissement de f en (xo, yo) lorsque y s'accroît de k. On peut alors appliquer la formule des accroissements finis à chaque crochet : il existe θx et θy de l'intervalle [0,1] tels que :
Considérons alors h et k infiniment petits. Il en sera de même de θxh et θyk et la continuité des dérivées partielles en (xo,yo) permet d'écrire qu'il existe deux fonctions h → ε(h) et k → ε'(k) tendant vers 0 avec h et k telles que :
D'où :
Différentielle totale :
En reprenant la notation traditionnelle dx = h et dy = k : on appelle différentielle totale de f au point (xo,yo) le nombre :
et, plus généralement, on notera :
On parle de différentielle "totale" car on a tenu compte dans ces calculs des accroissements de x et de y. Les termes de la somme sont respectivement les différentielles partielles de f par rapport à x et par rapport à y. Afin de simplifier la rédaction, on notera parfois :
ce qui permet d'écrire : df = f'x dx + f'y dy ou encore, avec des notations évidentes : df = dfx + dfy.
∗∗∗
Donner une approximation δ de la variation relative
de f(x,y) = xy2 lorsque les coordonnées x et y augmentent de 1%.
Rép : f 'x
= y2, f 'y = 2xy, dx = x/100, dy = y/100. D'où δ
≅ df/f = 3%.
➔ Noter que la différentielle totale df : (h,k) → h × f'x(xo,yo) + k × f'y(xo,yo) est une application linéaire (une forme, plus précisément, puisque c'est un nombre) de la variable (h,k).
D'autre part, en posant z = f(x,y), on définit une surface par ses lignes de niveau. L'équation du plan tangent en un point (xo,yo,zo) est alors :
z - zo = (x - xo)f'x(xo,yo) + (y - yo)f'y(xo,yo)
Comme dans le cas d'une variable, où l'on avait yT = f(xo) + (x - xo)f'(xo) = f(xo) + dfxo, on voit qu'au voisinage du point (xo,yo,zo), on peut écrire :
zT = f(xo,yo) + h × f'x(xo,yo) + k × f'y(xo,yo) = f(xo,yo) + dfxo,yo
Ce qui justifie, là encore pour la différentielle totale de f, le qualificatif d'application linéaire tangente.
Équation de la tangente en un point d'une courbe algébrique f(x,y) = 0 : »
Cas de plusieurs variables :
Ces résultats se généralisent par récurrence à des fonctions de plus de 2 variables. Dans le cas de 3 variables, le calcul de la différentielle de (x,y,z) → f(x,y,z) est tout à fait semblable :
Δf = f(xo + h, yo + k, zo + k) - f(xo, yo,
zo) =
[f(xo + h, yo + k,
zo + k) - f(xo + h, yo + k,
zo )] + [f(xo + h, yo + k,
zo ) - f(xo, yo,
zo)]
Le 1er crochet s'interprète comme l'accroissement de f en (xo + h, yo + k, zo) lorsque z s'accroît de k : on retrouve le calcul de la différentielle d'une fonction de variable z; le second membre s'interprète comme l'accroissement de f en (xo, yo, zo) lorsque x s'accroît de h et y s'accroît de k : on retrouve le calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables x et y. D'où, si les dérivées partielles de f existent et sont continues au voisinage du point considéré :
df = f'x(x, y, z) × dx + f'y(x, y, z) × dy + f'z(x, y, z) × dz
Différentielle d'ordre 2, 3, ..., n : |
I - Cas d'une variable :
La différentielle df d'une fonction f est une fonction de x : df = f'(x)dx et dans cette notation, dx représente une quantité infinitésimale dx = h qui doit être regardé comme une constante. df est une fonction de x que l'on peut différencier : ce sera la différentielle seconde de f, notée symboliquement d2f :
d2f = d[f'(x)dx] = dx × d[f'(x)] = dx × [f''(x)dx] = (dx)2 × f''(x)
! Conventionnellement (dx)2 est noté plus simplement dx2 mais, attention, ce n'est pas la différentielle de x2 qui serait alors 2xdx ! Ce calcul et cette notation justifient la notation usuelle :
f''(x) = d2f/dx2
On peut généraliser ce résultat à une différentielle troisième d3f,..., voire n-ème dnf (on dit aussi d'ordre n). f(n) désignant la dérivée n-ème de f (quand elle existe !) :
dnf = f (n)(x)dxn
Et, là encore, ce résultat justifie la notation usuelle f (n)(x) = dnf/dxn.
II - Cas de 2 variables :
f étant une fonction deux fois continument dérivable par rapport à x et y :
df est une fonction de x et y dont on peut calculer la différentielle : ce sera la différentielle seconde de f, notée symboliquement d2f . Dans ce calcul, les quantités infinitésimales h = dx et k = dy sont des constantes. Pour simplifier les écritures, on omet d'écrire (x,y) :
d2f = d(∂f/∂x × dx + ∂f/∂y × dy) = dx × d(∂f/∂x) + dy × d(∂f/∂y)
Or, d(∂f/∂x) = ∂2f/∂x2 × dx + ∂2f/∂x∂y × dy et d(∂f/∂y) = ∂2f/∂y∂x × dx + ∂2f/∂y2 × dy. L'hypothèse sur f permet d'égaliser les dérivées partielles ∂2f/∂x∂y et ∂2f/∂y∂x (théorème de Schwarz), d'où :
d2f = ∂2f/∂x2 × dx2 + 2∂2f/∂x∂y × dxdy + ∂2f/∂y2 × dy2
On remarque les coefficients 1, 2, 1 et une forme pouvant s'écrire symboliquement :
d2f = (∂/∂x × dx + ∂/∂y × dy)(2) f
➔ (∂/∂x × dx + ∂/∂y × dy)(2) apparaît ainsi comme un opérateur (linéaire).
De même, d2f est une fonction de x et y dont on peut calculer la différentielle : ce sera la différentielle troisième de f, notée symboliquement d3f. Et un petit calcul calqué sur le précédent permettra de montrer que si f est de classe C3 (admettant des dérivées partielles continues d'ordre 1, 2 et 3 par rapport à chaque variable) :
d3f = ∂3f/∂x3 × dx3 + 3∂3f/∂x2∂y × dx2dy + 3∂3f/∂x∂y2 × dxdy2 + ∂3f/∂y3 × dy3
On voit apparaître les coefficients 1, 3, 3, 1 de la formule du binôme et on peut écrire symboliquement :
d3f = (∂/∂x × dx + ∂/∂y × dy)(3) f
et on pourra admettre, d'une façon générale, pour une fonction de classe Cn :
dnf = (∂/∂x × dx + ∂/∂y × dy)(n) f
La formule se généralise facilement à un nombre fini quelconque de variables.
Un usage de cette formule dans le développement de Taylor d'une fonction de 2 variables : »
Dérivée totale d'une fonction implicite dans le cas où les variables x et y ne sont pas indépendantes : |
Considérons le cas d'une fonction u : x → y = u(x) non définie explicitement comme le serait u(x) = x2 - 1 mais par une relation entre x et y de la forme f(x,y) = 0 : x et y ne sont pas indépendants. C'est le cas de nombreuses courbes planes où l'expression de y en fonction de x n'est pas facilement calculable. On parle de fonction implicite.
Lorsque y est fonction de x, posons z = f(x,y), f est différentiable. C'est une fonction de x dont la différentielle totale s'écrit :
On en tire la dérivée totale de z par rapport à x (par opposition à la dérivée partielle ∂f/∂x) :
Maintenant, sachant que nous avons f(x,y) = 0 pour tout x, on a z = 0, donc dz/dx = 0 pour tout x : en omettant (x,y) pour simplifier les écritures, on peut alors écrire :
Cette formule permet d'exprimer le coefficient directeur y' = dy/dx de la tangente à la courbe définie implicitement par f(x,y) = 0 :
Dérivation implicite des 1er et second ordres :
On peut aussi écrire la dérivée totale de f sous la forme (pratique dans la pratique...) :
f'x + y'f'y = 0
Posons F(x,y) = f'x + y'f'y et calculons la dérivée totale de cette fonction implicite. Notons tout d'abord que, dans la dérivation par rapport à y, y' doit être regardée comme une fonction de x; par suite ∂(y'f'y)∂y = y'∂(f'y)∂y = y'f ''yy. On a alors :
Finalement :
f''xx + 2y'f''xy + y"f'y + y'2f''yy= 0
Tangente à une courbe définie par une fonction implicite : »
➔ Qu'advient-il dans le cas où x et y sont dépendants par l'intermédiaire d'un paramètre t ? On applique à la différentielle dz la formule élémentaire de dérivation des fonctions composées (f o g)' = f'g × g'x et on obtiendra :
Forme différentielle, différentielle exacte d'une fonction de plusieurs variables : |
Une expression de la forme ω = P(x,y)dx + Q(x,y)dy, qualifiée de forme différentielle, a peu de chances d'être la différentielle totale d'une fonction (x,y) → f(x,y) ! Lorsque c'est le cas, on parle d'ailleurs de différentielle exacte...
Considérons la fonction f(x,y) = 3xy2 - 5xy. On a ici f'x(x,y) = P(x,y) = 3y2 - 5y et f'y(x,y) = Q(x,y) = 6xy - 5x.
On remarque que P'y(x,y) = 6y - 5 = Q'x(x,y). Ce n'est pas un hasard ! On montre en effet que :
Dans R2
: P(x,y)dx + Q(x,y)dy est une différentielle
exacte si et seulement si, pour tout (x,y), P'y(x,y) = Q'x(x,y).
Autrement écrit :
Dans R3 : P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz est une différentielle exacte si et seulement si
P'y(x,y,z) = Q'x(x,y,z), Q'z(x,y,z) = R'y(x,y,z) et R'x(x,y,z) = P'z(x,y,z)
Autrement écrit :
»
cela
revient à dire que le rotationnel
de V(P,Q,R) est nul.
On démontre que si ω est une forme différentielle de classe C1 sur un ouvert U de R2 ou R3, ω est une différentielle exacte si et seulement si l'intégrale curviligne :
∫Γ ω
est nulle pour toute courbe Γ fermée dans U.
Longueur d'arc et intégrale curviligne : » Différentielles exactes et intégrales curvilignes : »