ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Application linéaire tangente & différentielle d'une fonction
   
Approximation locale d'une fonction          » Cas de plusieurs variables , différentielle d'ordre n

Si f est une fonction numérique dérivable en un point xo, on dit aussi, de façon équivalente, qu'elle est différentiable en xo : reprenons la définition du nombre dérivé f'(xo) obtenue en posant h = x - xo dans l'écriture du taux d'accroissement de f en xo :

Lorsque ce nombre existe, on peut donc écrire qu'il existe une fonction h → ε(h) de limite 0 lorsque h tend vers 0 telle que :

f(xo + h) =  f(xo) + h[f'(xo) + ε(h)]

On sait que l'équation de la tangente à la courbe est donnée par :

yT = f(xo) + (x - xo)f'(xo) = f(xo) + hf'(xo) avec h = x - xo.

En comparant ces deux dernières égalités, on voit que l'ordonnée d'un point de la tangente en xo approche la fonction f au point xo + h à hε(h) près, quantité d'autant plus petite que h est petit :

 f(xo) + hf'(xo) ≅ f(xo + h)

L'application h → hf'(xo) définie au voisinage de xo est une fonction linéaire de h. Pour les raisons ci-dessus, elle est appelée application linéaire tangente au point xo.

   Depuis Leibniz, génial précurseur, avec Newton, du calcul différentiel, lorsque h est infiniment petit, on le note traditionnellement dx. L'application h → hf'(xo) s'écrit alors

dx → dx × f'(xo) = f'(xo)dx

et prend le nom de différentielle de f au point xo. On peut utiliser différentes notations suivant le contexte :


Donner une approximation de la racine carrée de 3,07 sachant que √3 ≅ 1,732.
                
Rép : sachant aussi que  (√x)' = 1/2 √x, on a trouve, avec h = 0,07 ≅ 1,75225. Val. exacte : 1,75214.

 ! On exprime souvent la différentielle d'une fonction numérique par df = f'(x)dx en partant du fait que si x est suffisamment petit, pour un petit accroissement Δx de x, on a sensiblement Δy/Δx = f'(x) et donc, pour x infinitésimal, il serait alors licite de poser conventionnellement df/dx = f'(x). Ce n'est pas tout à fait cela...

Dans le calcul de f'(x), si ce nombre existe, le taux d'accroissement s'écrit en effet Δy/Δx. Mais lorsque Δx devient infiniment petit pour obtenir f'(x), c'est pour tendre vers 0 et il doit en être de même de Δy. On obtient donc à la limite une forme 0/0 qui ne peut en aucun cas s'écrire dy/dx, à moins que dx et dy ne soient nuls !

Le calcul précédent : f(xo + h) = f(xo) + h[f'(xo) + ε(h)] montre que Δy = Δxf'(xo) + Δxε(Δx). Interprétons graphiquement :

On a tracé la tangente (t) en M(x,y) d'une fonction y = f(x) dérivable en x. Le coefficient directeur de cette tangente est f'(x). C'est aussi tan(^KMT) = KT/MK. On voit dans ces conditions que dans la notation différentielle dy = f'(x)dx, lorsque dx joue bien le rôle infinitésimal d'un Δx non nul mais aussi petit que l'on voudra, il n'en est pas de même de dy :

dy = f'(x)dx = KT/MK × MK = KTKN  , KT jouant le rôle de Δy !

Le calcul a montré que la différence algébrique entre dy et Δy est Δxε(Δx), cela représente donc NT.

On constate, et cela est tout à fait fondamental, eu égard à l'histoire de la notation différentielle puisant sa genèse dans les sciences physique, que :

   Utiliser la différentielle d'une fonction consiste à estimer que sur un intervalle extrêmement petit dx, la variation df de la fonction f est proportionnelle à cet intervalle dans le rapport f '(x).

On constate son utilisation pour de nombreux phénomènes physiques ou la variable principale est le temps :

  Exemples concrets d'équation différentielle

Différentielle d'une fonction de plusieurs variables, différentielle totale :

On se restreint ici à une fonction numérique (à valeurs dans R) de 2 variables, la généralisation à n variables se fait relativement facilement. Soit donc (x,y) → f(x,y) une fonction de numérique de deux variables indépendantes x et y, définie dans un domaine A × B de R2. On suppose que f admet des dérivées partielles continues du 1er ordre en x et y au voisinage d'un point (xo,yo) de A × B : f est dite continûment différentiable.

Plaçons-nous en un point (xo + h, yo + k) "proche" de (xo,yo), h et k pouvant être de signes quelconques, et étudions l'accroissement correspondant de f, à savoir :

Δf = f(xo + h, yo + k) - f(xo,yo)

Δf peut s'écrire :

 Δf = [ f(xo + h, yo + k) - f(xo, yo + k) ] + [ f(xo, yo + k) - f(xo,yo) ]

Le 1er crochet s'interprète comme l'accroissement de f en (xo, yo + k) lorsque x s'accroît de h; le second membre s'interprète comme l'accroissement de f en (xo, yo) lorsque y s'accroît de k. On peut alors appliquer la formule des accroissements finis à chaque crochet : il existe θx et θy de l'intervalle [0,1] tels que :

Considérons alors h et k infiniment petits. Il en sera de même de θxh et θyk et la continuité des dérivées partielles en (xo,yo) permet d'écrire qu'il existe deux fonctions h → ε(h)  et  k → ε'(k) tendant vers 0 avec h et k telles que :

D'où :

Différentielle totale :     

En reprenant la notation traditionnelle dx = h et dy = k : on appelle différentielle totale de f au point (xo,yo) le nombre :

    

et, plus généralement, on notera :

On parle de différentielle "totale" car on a tenu compte dans ces calculs des accroissements de x et de y. Les termes de la somme sont respectivement les différentielles partielles de f par rapport à x et par rapport à y. Afin de simplifier la rédaction, on notera parfois :

ce qui permet d'écrire : df = f'x dx + f'y dy ou encore, avec des notations évidentes : df = dfx + dfy.


Donner une approximation δ de la variation relative de f(x,y) = xy2 lorsque les coordonnées x et y augmentent de 1%.
                
Rép : f 'x = y2, f 'y = 2xy, dx  = x/100, dy = y/100. D'où δ ≅ df/f = 3%.

   Noter que la différentielle totale df : (h,k) → h × f'x(xo,yo) + k × f'y(xo,yo) est une application linéaire (une forme, plus précisément, puisque c'est un nombre) de la variable (h,k).

D'autre part, en posant z = f(x,y), on définit une surface par ses lignes de niveau. L'équation du plan tangent en un point (xo,yo,zo) est alors :

z - zo = (x - xo)f'x(xo,yo) + (y - yo)f'y(xo,yo)

Comme dans le cas d'une variable, où l'on avait yT = f(xo) + (x - xo)f'(xo) = f(xo) + dfxo, on voit qu'au voisinage du point (xo,yo,zo), on peut écrire :

zT = f(xo,yo) + h × f'x(xo,yo) + k × f'y(xo,yo) =  f(xo,yo) + dfxo,yo

Ce qui justifie, là encore pour la différentielle totale de f, le qualificatif d'application linéaire tangente.

Équation de la tangente en un point d'une courbe algébrique f(x,y) = 0 :  »

Cas de plusieurs variables :   

Ces résultats se généralisent par récurrence à des fonctions de plus de 2 variables. Dans le cas de 3 variables, le calcul de la différentielle de (x,y,z) → f(x,y,z) est tout à fait semblable :

Δf = f(xo + h, yo + k, zo + k) - f(xo, yo, zo) =
       [f(x
o + h, yo + k, zo + k) -  f(xo + h, yo + k, zo )] +  [f(xo + h, yo + k, zo ) - f(xo, yo, zo)]

Le 1er crochet s'interprète comme l'accroissement de f en (xo + h, yo + k, zo) lorsque z s'accroît de k : on retrouve le calcul de la différentielle d'une fonction de variable z; le second membre s'interprète comme l'accroissement de f en (xo, yo, zo) lorsque x s'accroît de h et y s'accroît de k : on retrouve le calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables x et y. D'où, si les dérivées partielles de f existent et sont continues au voisinage du point considéré :

df = f'x(x, y, z) × dx + f'y(x, y, z) × dy  + f'z(x, y, z) × dz

Différentielle d'ordre 2, 3, ..., n :

I - Cas d'une variable :  

La différentielle df d'une fonction f est une fonction de x : df = f'(x)dx et dans cette notation, dx représente une quantité infinitésimale dx = h qui doit être regardé comme une constante. df est une fonction de x que l'on peut différencier : ce sera la différentielle seconde de f, notée symboliquement d2f :

d2f = d[f'(x)dx] = dx × d[f'(x)] = dx × [f''(x)dx]  = (dx)2 × f''(x)

 !   Conventionnellement (dx)2 est noté plus simplement dx2 mais, attention, ce n'est pas la différentielle de x2 qui serait alors 2xdx ! Ce calcul et cette notation justifient la notation usuelle :

f''(x) = d2f/dx2

On peut généraliser ce résultat à une différentielle troisième d3f,..., voire n-ème dnf (on dit aussi d'ordre n).  f(n) désignant la dérivée n-ème de f (quand elle existe !) :

dnf = f (n)(x)dxn

Et, là encore, ce résultat justifie la notation usuelle f (n)(x) = dnf/dxn.

II - Cas de 2 variables :  

f étant une fonction deux fois continument dérivable par rapport à x et y :

df est une fonction de x et y dont on peut calculer la différentielle : ce sera la différentielle seconde de f, notée symboliquement d2f . Dans ce calcul, les quantités infinitésimales h = dx et k = dy sont des constantes. Pour simplifier les écritures, on omet d'écrire (x,y) :

d2f = d(∂f/∂x × dx + ∂f/∂y × dy) = dx × d(∂f/∂x) + dy × d(∂f/∂y)

Or, d(∂f/∂x) =  ∂2f/∂x2 × dx + ∂2f/∂x∂y × dy  et  d(∂f/∂y) =  ∂2f/∂y∂x × dx + ∂2f/∂y2 × dy. L'hypothèse sur f permet d'égaliser les dérivées partielles ∂2f/∂x∂y et ∂2f/∂y∂x (théorème de Schwarz), d'où :

d2f =  ∂2f/∂x2 × dx2 + 2∂2f/∂x∂y × dxdy + ∂2f/∂y2 × dy2

On remarque les coefficients 1, 2, 1 et une forme pouvant s'écrire symboliquement :

d2f =  (∂/∂x × dx + ∂/∂y × dy)(2) f

    (/x × dx + /y × dy)(2) apparaît ainsi comme un opérateur (linéaire).

De même, d2f est une fonction de x et y dont on peut calculer la différentielle : ce sera la différentielle troisième de f, notée symboliquement d3f. Et un petit calcul calqué sur le précédent permettra de montrer que si f est de classe C3 (admettant des dérivées partielles continues d'ordre 1, 2 et 3 par rapport à chaque variable) :

d3f =  ∂3f/∂x3 × dx3 + 3∂3f/∂x2∂y × dx2dy + 3∂3f/∂x∂y2 × dxdy2 + ∂3f/∂y3 × dy3

On voit apparaître les coefficients 1, 3, 3, 1 de la formule du binôme et on peut écrire symboliquement :

d3f =  (∂/∂x × dx + ∂/∂y × dy)(3) f

et on pourra admettre, d'une façon générale, pour une fonction de classe Cn :

dnf =  (∂/∂x × dx + ∂/∂y × dy)(n) f

La formule se généralise facilement à un nombre fini quelconque de variables.

Un usage de cette formule dans le développement de Taylor d'une fonction de 2 variables :  »

Dérivée totale d'une fonction implicite dans le cas où les variables x et y ne sont pas indépendantes :

Considérons le cas d'une fonction u : x → y = u(x) non définie explicitement comme le serait u(x) = x2 - 1 mais par une relation entre x et y de la forme f(x,y) = 0 : x et y ne sont pas indépendants. C'est le cas de nombreuses courbes planes où l'expression de y en fonction de x n'est pas facilement calculable. On parle de fonction implicite.

Lorsque y est fonction de x, posons z = f(x,y), f est différentiable. C'est une fonction de x dont la différentielle totale s'écrit :

On en tire la dérivée totale de z par rapport à x (par opposition à la dérivée partielle ∂f/∂x) :

Maintenant, sachant que nous avons f(x,y) = 0 pour tout x, on a z = 0, donc dz/dx = 0 pour tout x : en omettant (x,y) pour simplifier les écritures, on peut alors écrire :

Cette formule permet d'exprimer le coefficient directeur y' = dy/dx de la tangente à la courbe définie implicitement par f(x,y) = 0 :

Dérivation implicite des 1er et second ordres :     

On peut aussi écrire la dérivée totale de f sous la forme (pratique dans la pratique...) :

f'x + y'f'y = 0

Posons F(x,y) = f'x + y'f'y et calculons la dérivée totale de cette fonction implicite. Notons tout d'abord que, dans la dérivation par rapport à y,  y' doit être regardée comme une fonction de x; par suite ∂(y'f'y)∂y = y'∂(f'y)∂y = y'f ''yy. On  a alors :

Finalement :

f''xx + 2y'f''xy + y"f'y + y'2f''yy= 0

Tangente à une courbe définie par une fonction implicite :  »

    Qu'advient-il dans le cas où  x et y sont dépendants par l'intermédiaire d'un paramètre t ?  On applique à la différentielle dz la formule élémentaire de dérivation des fonctions composées (f o g)' = f'g × g'x et on obtiendra :

Forme différentielle, différentielle exacte d'une fonction de plusieurs variables :

Une expression de la forme ω = P(x,y)dx + Q(x,y)dy, qualifiée de forme différentielle, a peu de chances d'être la différentielle totale d'une fonction (x,y) → f(x,y) ! Lorsque c'est le cas, on parle d'ailleurs de différentielle exacte...

Considérons la fonction f(x,y) = 3xy2  - 5xy. On a ici f'x(x,y) = P(x,y) = 3y2 - 5y et f'y(x,y) = Q(x,y) = 6xy - 5x.

On remarque que P'y(x,y) =  6y - 5 = Q'x(x,y). Ce n'est pas un hasard ! On montre en effet que :

P'y(x,y,z)  = Q'x(x,y,z),  Q'z(x,y,z)  = R'y(x,y,z) et  R'x(x,y,z)  = P'z(x,y,z)

Autrement écrit :



» cela revient à dire que le rotationnel de V(P,Q,R) est nul.

On démontre que si  ω est une forme différentielle de classe C1 sur un ouvert U de R2 ou R3, ω est une différentielle exacte si et seulement si l'intégrale curviligne :

Γ ω

est nulle pour toute courbe Γ fermée dans U.

Longueur d'arc et intégrale curviligne : »             Différentielles exactes et intégrales curvilignes : »


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