ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LAMBERT Jean Henri (Johann Heinrich), suisse, 1728-1777

Philosophe, physicien et astronome. Né à Mulhouse, ville alors rattachée à la Suisse. Il invente la "photométrie" (du grec phôs, phôtos = lumière, étude quantitative du rayonnement lumineux) et en précise les premières lois. Travaux en trigonométrie sphérique. Résultats sur les coniques et les trajectoires paraboliques à travers son Traité des comètes.

En 1764, Lambert s'installera à l'Académie des sciences de Berlin à la demande de Frédéric II (le Grand), roi de Prusse. Il sera le premier à émettre l'idée du zéro absolu et à en donner la valeur : environ -273° C.

Le zéro absolu : c'est l'agitation des particules (électrons, atomes, molécules) d'un corps qui détermine sa température. Plus elles sont agités, plus le corps est chaud. Le zéro absolu correspond à un état limite de la matière : agitation nulle. il correspond à environ -273° Celsius.

L'unité légale de température est aujourd'hui le degré Kelvin (physicien anglais,1824-1907). La correspondance avec l'échelle thermométrique de Celsius (physicien et astronome,1701-1744) est T°K = T°C + 273,15.
 
La trigonométrie hyperbolique :

Lambert développa la trigonométrie hyperbolique (1768) en étudiant les propriétés des fonctions numériques ch x (ou cosh x, cosinus hyperbolique) , sh x (ou sinh x, sinus hyperbolique) et th x = sinh x/cosh x (ou tanh x, tangente hyperbolique) dont la paternité et les premiers résultats reviennent à l'italien Vicenzo Riccati et auquel les notations sinh et cosh sont dues :

,

Par opposition aux angles "naturels" vérifiant cos2x + sin2x = 1, basés sur le cercle d'équation x2 + y2 = 1 et conduisant aux fonctions dites circulaires sinus et cosinus, cette trigonométrie fut dénommée hyperbolique car :

cosh2 x - sinh2 x = 1

et x2 - y2 = 1 est l'équation, dans un repère orthonormé, d'une hyperbole équilatère.

 L'usage des expressions (ex ± e-x)/2 se retrouve chez Euler avec l'introduction géniale de

eix = cosx + isinx

ainsi que chez les Bernoulli et l'usage de la chaînette.

Vincenzo Riccati                 En savoir plus sur sinus, cosinus et tangente hyperbolique :    

Preuve de l'irrationalité de p (1761) :

C'est dans un mémoire publié en l'Académie des Sciences de Berlin que Lambert prouva, reprenant des travaux de Euler et de Brouncker sur les fractions continues, l'irrationalité du nombre p : Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques ,1761.

 Archimède et le périmètre du cercle :

Lambert montra que si, dans le développement d'un nombre, la suite des réduites est finie, alors ce nombre est rationnel et le développement s'arrête. Un développement infini est la preuve d'un nombre irrationnel. Pour prouver l'irrationalité de p, Lambert développa en fraction continue illimitée, pour tout x rationnel non nul, la fonction tangente hyperbolique :

,

à savoir :

Mais, depuis Euler, on sait que eix = cos x + i.sin x et on peut donc écrire :

D'où,

Par conséquent, si x est rationnel non nul, alors tan x est irrationnel. Mais tan(p/4) = 1 : nombre rationnel. Il suit (par contraposition) que p/4 est irrationnel, et par là que p l'est aussi. On lui doit d'ailleurs, après Oughtred et Euler, cette notation définitive (1766) pour le rapport de la circonférence à son diamètre, du grec periferia = circonférence.

 Lindemann (transcendance de p ) :  Calculs de p dans ChronoMath :

 Le développement en fraction continue de tanh x montre aussi l'irrationalité de e2x, donc de ex, pour tout x rationnel distinct de 0. Utilisant le développement ci-dessus de tan x, Legendre montra (1792) l'irrationalité de p2. Concernant ln x, lorsque x est rationnel distinct de 1, en supposant que ln x = r est rationnel, on déduit x = er est irrationnel : ce qui est contradictoire.

Autre conséquence :                  

ln x est irrationnel pour tout x rationnel distinct de 1

En effet, supposons ln x rationnel pour un rationnel x strictement positif autre que 1 et posons y = ln x. Dans ces conditions, x = ey, et y étant rationnel, x doit être irrationnel, ce qui est contradictoire.

Baker :                Hermite (transcendance de e) :     

Travaux géométriques, projection Lambert :

En géométrie, Lambert étudia les géométries non euclidiennes (Théorie des parallèles, 1766), proposa une représentation de l'espace annonçant la géométrie descriptive de Monge et inventa :

La projection Lambert (1772), utilisée en cartographie (légale en France) : c'est une projection conique conforme (perspective respectant les angles) : les méridiens sont des droites convergeant vers le centre S de projection, sommet du cône (le méridien de base étant celui de Paris), les parallèles (i.e. les cercles de la sphère terrestre perpendiculaires à l'axe Nord-Sud) sont des arcs de cercle de centre S.

Afin de préserver les angles sur la carte, la distance séparant les parallèles est augmentée en tenant compte de l'éloignement par rapport au parallèle de base sur lequel s'appuie le cône (dans le cas d'une projection conique tangente.

On utilise aussi des projections coniques sécantes : le cône contient deux parallèles : ci contre). La projection Lambert altère les distances mais dans une faible mesure : suivant la zone à représenter on change les parallèles sur lesquels s'appuie le cône.

 Mercator , Hipparque
 
Statistique :

On doit à Lambert une première approche (Photometria,1760) de la méthode dite aujourd'hui du maximum de vraisemblance, dans l'estimation d'un paramètre d'une variable aléatoire étudiée sur la seule donnée d'un échantillon statistique et qu'affineront Gauss et principalement Fischer.

Pour en savoir plus :


Mayer  Bougainville
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