ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Intégrale complexe (aperçu)

On considère une fonction  complexe zf(z) avec z = x +iy et f(z) = P(x,y) + iQ(x,y). La définition de l'intégrale de f sur un arc de courbe se définit comme dans le cas réel à la manière de l'intégrale de Riemann.

Dans toute la suite, l'arc de courbe (c) sur lequel on intégrera, est supposé inclus dans domaine U simplement connexe (pas de trou !). L'arc (c) est continu, rectifiable, simple (sans point multiple), fermé ou non, et parcouru selon un sens de parcours supposé positif : celui des abscisses curvilignes croissantes. Lorsque l'arc est un chemin (segment curviligne), on parlera d'origine et d'extrémité, comme ci-contre où l'origine est A, d'affixe zo.

Lorsque B coïncide avec A, l'arc est fermé, on sera en présence d'un lacet (très souvent, dans la pratique : un cercle). On parle aussi de contour ou parfois de circuit (sans point double, car en théorie des graphes, un circuit peut posséder des points doubles) pour exprimer que (c) est une réunion fermée (ck) d'arcs jouissant des propriétés ci-dessus, l'origine de (ck+1) étant l'extrémité de (ck).

Un arc continu (c) peut se définir par t z(t) = x(t) + iy(t) où x et y sont des fonctions continues de t sur un intervalle réel [a,b]. Par exemple t 1 + eit = 1 + cost + isint où t décrit [0,π] est un demi-cercle de de rayon 1, de centre K(1,0). On a en effet |z - 1| = 1 et Arg(z - 1) compris entre 0 et π. Par rectifiable, on entend dont on peut calculer la longueur : sa paramétrisation en x(t) + iy(t) exige donc que x et y soient des fonctions continument dérivables.

Longueur d'un arc :

A l'instar des suites de Riemann, les sommes Sn s'écrivent ici :

Sn = (z1 - zo)f(c1) + (z2 - z1)f(c2) + (z3 - z2)f(c2) + ... + (zn - zn-1)f(cn)

Les zk forment une subdivision de l'arc de courbe (c) et si ces sommes admettent une limite lorsque Max |zk - zk-1| tend vers 0, on démontre que cette limite pour n infini ne dépend ni de la subdivision, ni du choix des ck. On l'appelle intégrale (curviligne) de f sur (c) et on écrira :

Lorsque (c) est fermé, un cercle par exemple : B se confond avec A après un "tour" complet, on note parfois :

Dans les Sn, on peut remplacer zk par xk + iyk . Si on pose ck = ak + i bk, on aura f(ck) =  P(ak,bk) + iQ(ak,bk). En remplaçant, un calcul simple permettra d'écrire une formule fondamentale établissant que l'intégrale d'une fonction complexe sur un arc (c) se ramène au calcul de deux intégrales curvilignes.

Majoration de l'intégrale d'une fonction complexe bornée sur un contour :         

On suppose f bornée : il existe M > 0 tel que pour tout z de (c), |f(z)| M. Avec les notations ci-dessus, on a :

|Sn|   |z1 - zo||f(c1| + |z2 - z1||f(c2)| + |z3 - z2||f(c2)| + ... + |zn - zn-1||f(cn)|

Dans cette somme, les  |zk - zk-1| représentent la distance entre les points Mk correspondants sur (c). Lorsque n tend vers l'infini, |zk - zk-1|2 = Δxk2 + Δyk2 tendent vers dsk2, carré de l'abscisse curviligne de Mk. Parcourons (c) dans le sens des abscisses positives croissantes et passons à la limite. On peut écrire :

Fonction primitive :                  

Soit D un domaine simplement connexe de C et (c) D, un arc de courbe continu et rectifiable d'origine zo fixé et z un point de cet arc, alors si f est holomorphe sur D, la fonction de z définie par :

est holomorphe sur D et F'(z) = f(z) : on dira, comme dans le cas réel que F est une primitive de f dans D et toute fonction G égale à F à une constante additive près est aussi une primitive de f. On a, de plus, f étant uniforme :

On trouvera en référence des exercices sur le calcul des primitives de fonctions complexes (usuelles ou non). Le logarithme et la racine carrée posent cependant problème :

Logarithme complexe, racine carrée, point critique :

Lorsque la courbe (c) peut être paramétrée au moyen d'un paramètre réel t, on peut remplacer l'intégrale curviligne par une intégrale sur un intervalle réel :


Un exemple :
soit (c) le cercle de centre zo, de rayon 1. Son équation peut s'écrire z(t) = zo + eit.
Montrer que 

L'intégrale d'une fonction non holomorphe présentant des singularités isolées, des pôles en particulier (fonction méromorphe), peut exister. Son calcul utilise le puissant théorème des résidus mis en place par Cauchy.

Intégration par calcul d'un résidu :

Invariance de l'intégrale sur deux contours imbriqués :              

Soit U un domaine simplement connexe de contour (c) et (c') U, un second contour d'intérieur simplement connexe U'. Alors, si f est holomorphe dans U \U' (U privé de U'), on a :

Preuve : en appelant A un point de (c) et A' l'image dans (c') d'un point a de (c), on peut construire le contour fermé orienté simplement connexe (c") = arc(AA') + (c') + arc(A'A) + (c) sur lequel l'intégrale de f est nulle selon le théorème de Cauchy-Goursat. En considérant que (c') est parcouru dans le sens positif, on parcourt (c) dans le sens négatif . On a donc :

Mais les intégrales sur les arcs AA' et A'A sont opposées, d'où le résultat.

Cet important résultat permettra de calculer des intégrales en modifiant par un choix adéquat le contour d'intégration.

Théorème de Cauchy-Goursat :

On nomme ainsi le résultat selon lequel si f est holomorphe sur un domaine simplement connexe D, alors pour tout contour inclus dans D :

              Goursat , Morera

On appelle Intégrale de Cauchy ou  formule intégrale de Cauchy l'égalité (1831) :

 

où f désigne une fonction holomorphe sur un domaine simplement connexe D ainsi que sur son contour (c) et zo un point intérieur à D.

On a également, pour les dérivées n-èmes de f, dans les mêmes conditions :

Concernant la 1ère intégrale (curviligne), Cauchy utilisa la continuité de la dérivée , condition indispensable qu'il posa comme hypothèse et qui permettra ensuite de prouver que f est infiniment dérivable. Goursat, en 1883, put se passer de cette hypothèse de continuité, mais sa preuve est plus compliquée. On la trouvera en référence.

1°)  On pose z = x + iy et f(x + iy) = P(x,y) + iQ(x,y). Vérifier que l'on peut alors écrire :

2°) étant continue dans D, utiliser la formule de Green-Riemann afin d'obtenir :

et :

En déduire le résultat cherché en utilisant les conditions de Cauchy pour la dérivabilité de f.

  Concernant la seconde intégrale, on remarquera que si l'on entoure zo d'un contour (c') suffisamment petit pour être intérieur à D, l'intégrale en question sur (c) coïncide avec celle sur (c'). Prenons (c') égal au cercle de centre zo de rayon ε :

On peut écrire :

A droite du signe d'égalité, l'holomorphie de f permet d'exprimer que le premier intégrande est continue sur le domaine limité par (c'), y compris en zo car il admet la limite (zo) lorsque z tend vers zo. Soit M son maximum. Selon le résultat sur la majoration des intégrales de fonctions bornées, on peut écrire :

Ce qui montre que la première intégrale du second membre a pour limite 0 si tend ε vers 0. Quant à la seconde, on sait qu'elle vaut 2iπ. Finalement, en faisant tendre ε vers 0, on obtient :

d'où le résultat cherché.

Intégration par calcul d'un résidu :

  Concernant la troisième intégrale, on l'admettra ici... La preuve est présente dans de nombreux manuels et sites. On pourra la vérifier par récurrence en admettant que l'on peut dériver sous le signe d'intégration.

Pour en savoir plus :


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