ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

HILBERT David, allemand, 1862-1943

David Hilbert fit toutes ses études à Königsberg, sa ville natale où il obtient sa thèse de doctorat (1885) dirigée par Lindemann portant sur les propriétés invariantes des fonctions sphériques (fonctions de deux variables définies sur la sphère).

Professeur à l'université de Königsberg dès 1886, il remplaça Hurwitz nommé à l'École polytechnique de Zurich (1892) et l'année suivante il succède à Lindemann nommé à Munich (München). En 1895, Hilbert obtient un poste à Göttingen, qu'il conservera jusqu'à sa retraite (1930).

Hilbert rencontra et se lia d'amitié avec les plus grands mathématiciens de l'époque dont : Minkowsky (camarade d'études), Hurwitz, Cantor, Fuchs, Hermite, Klein, Kummer, Kronecker, Poincaré, Weierstrass.

Génie universel, s'investissant dans toutes les branches des mathématiques, en les faisant progresser par des méthodes et des outils novateurs et rigoureux, Hilbert est considéré comme l'un des plus grands (le ?) mathématiciens du 20è siècle. Partisan d'un formalisme sans concession, ses travaux se situent dans l'étude des fondements des mathématiques :

  1. Axiomatisation de la géométrie euclidienne et consistance de la géométrie (1899-1900, Grundlagen der Geometrie : Fondements de la géométrie) suite aux célèbres travaux de Klein sur la classification des diverses géométries, euclidiennes ou non.
     

  2. Programme de Hilbert :    
    En 1925, Hilbert publie Sur l'Infini (Über das Unendliche) dans les Mathematischen Annalen ( Clebsch). Dans les premiers résultats sur la récursivité tout récemment initiée par Skolem et à laquelle s'intéresse également Gödel, il perçoit un outil possible dans ses recherches sur l'hypothèse du continu sur laquelle il travaille. On y rencontre la fonction d'Ackermann (qui fut un de ses étudiants et disciples) sous sa forme initiale à trois variables. Trois ans plus tard, la théorie de la démonstration (Die Beweistheorie) est évoquée comme un challenge lors du Congrès International des Mathématiciens (
    ci-après) qui se tenait à Cambridge en 1928.

    Hilbert estime possible de refondre toute la mathématique, et tout particulièrement la logique, base de tout raisonnement, au moyen d'un nombre fini d'axiomes et de règles définis sans ambiguïté. L'enchaînement logique (syllogisme) des résultats indiscutables obtenus pas à pas doit inéluctablement conduire à la preuve de l'énoncé étudié. On parla à l'époque du programme de Hilbert. Gödel, en 1931, devait ruiner cette espérance formaliste avec son théorème d'incomplétude et le jeune anglais Turing se passionne pour le sujet en 1935 en émettant l'idée d'une mécanisation de la pensée : ce sera la célèbre « machine à penser », ancêtre de l'ordinateur.

      La métamathématique :

    Le théorème d'incomplétude de Gödel montre la limite des systèmes formels, que l'on croyait jusqu'alors d'une rigueur implacable et à l'abri de tout soupçon,  il fallut se placer à un niveau supérieur : on parla de métalogique, de métalangage mathématique susceptible de décrire l'essence même de ces systèmes, en un mot la métamathématique, le terme est de Hilbert dans ses travaux pour désigner la théorie de la démonstration. Il s'agit de préciser les règle du jeu : bien-fondé des symboles, des quantificateurs et du raisonnement déductif eu égard aux axiomes (et de la légitimité du choix de ces axiomes) : une logique de la logique ! C'est une remise à plat de la logique issue d'Aristote. Le programme est ambitieux, on touche au concept de vérité, à la philosophie de la connaissance. Cette dernière est-elle mathématique ?

      Dans un article sur les fondements des mathématiques, intitulé Formalisme et formalisation, E. Balibar et P. Macherey écrivent dans l'Encyclopédie Universalis (1995) :

(...)  La logique s'identifie dans ses problèmes, sinon dans ses objectifs, avec ce que Hilbert appelait la métamathématique, c'est-à-dire la discipline (mathématique) qui, dans une métalangue rigoureuse, peut nous donner la connaissance scientifique de ces objets nouveaux que sont les systèmes axiomatiques formalisés.

(...)  Parmi les résultats les plus remarquables, et qui illustrent le mieux le caractère d'imprévisibilité que la logique mathématique possède comme toute discipline scientifique, figurent les théorèmes dits de « limitation » des systèmes formels. Le plus célèbre est le théorème de Gödel (1931) énonçant l'incomplétude de l'arithmétique formalisée, c'est-à-dire la possibilité de construire une interprétation du système formel dans laquelle figure une proposition vraie qui est représentée dans le système par une expression formellement indémontrable. Bien entendu la construction du système exclut la possibilité d'une formule démontrable qui correspondrait dans une interprétation quelconque à une proposition fausse; c'est même une condition du résultat précédent. La tentative de représenter la vérité des propositions de l'arithmétique par la démonstrabilité formelle n'aurait plus alors aucun sens cohérent.

En quel sens avons-nous affaire ici à une « limitation » ? Le résultat de Gödel montre que, pour une classe entière de systèmes formels, il faut renoncer à l'espoir d'une correspondance adéquate entre la notion sémantique de vérité (qui n'a de sens que pour une interprétation du système) et la notion purement syntaxique de démonstrabilité. Et comme l'interprétation d'un système est réglée par les propriétés syntaxiques du système lui-même, cela signifie que la syntaxe du système autorise la définition d'une notion de « vérité » qu'elle est cependant impuissante à représenter exactement.

Dans une perspective idéaliste (par exemple celle qu'adoptait Husserl lorsqu'il définissait la « clôture » formelle comme l'idéal régulateur de toute science théorique), ce résultat est ressenti comme une déception . Il permet d'étayer sur le développement même de la logique mathématique une philosophie de la finitude de la connaissance humaine. Dans une perspective matérialiste, ce résultat, comme l'ensemble des théorèmes de « limitation », est interprété positivement. Il exprime une propriété structurale fondamentale des systèmes formels considérés. Il ne borne donc pas la connaissance que ceux-ci représentent : il étend au contraire notre connaissance de ce qu'ils sont. Sa seule fonction négative est celle, critique, de faire obstacle sur ce terrain à une philosophie du savoir absolu. (...)

En 1940, Ackermann donnait une preuve métamathématique de la consistance de l'arithmétique ! Sans toutefois soulever grand enthousiasme.

Quelques années auparavant, une démonstration semblable avait été apportée par Gerhard Gentzen (1909-1945) étudiant de Hilbert (comme Ackermann) et dont les travaux portent également sur la métamathématique. A propos de Gentzen, signalons que, selon Jeff Miller, professeur à New Port Richey (Floride), on doit à ce mathématicien allemand le quantificateur universel pour signifier "quel que soit",  A renversé, première lettre du mot anglais All =Tout, comme dans l'expression pour tout x de E équivalente à quel que soit x appartenant à E.

   Tarski , Peano , Bernays , Church

  1. Consistance de l'arithmétique (Gödel , Ackermann).
     

  2. Construction d'espaces vectoriels topologiques et fonctionnels abstraits sur R ou C (espaces hilbertiens) englobant les espaces vectoriels euclidiens (en hommage à Euclide) et hermitiens (en hommage à Hermite).
     

  3. Développement de l'analyse fonctionnelle, de l'algèbre (anneaux de polynômes), de la théorie des nombres, ...

Dans les ensembles de fonctions, Hilbert s'attacha plus particulièrement à y définir les concepts de limite et de continuité.

  Steinhaus , Banach

A la fin du 19è siècle, les importantes avancées en analyse fonctionnelle (par exemple, Volterra en Italie, Fredholm en Suède) se développèrent avant les magnifiques outils offerts par la formalisation des espaces métriques et topologiques abstraits : ce sera le fait de Fréchet (1906), Riesz (1907) et Hausdorff (1913).

  Espaces vectoriels , Espaces métriques (généralités) , Espaces hilbertiens , Notion de topologie

Les célèbres 23 problèmes de Hilbert :

A la demande de Cantor, un Congrès international de mathématiques (CIM) fut créé en 1897. Ce premier congrès eut lieu à Zürich. Celui de 1900 se déroula à Paris et eut un grand retentissement par le fait qu'il inaugurait le 20è siècle (qui, rappelons-le, ne commença qu'en 1901...) et que se trouvaient évoqués les grands problèmes mathématiques non résolus.

Le CIM se réunit tous les 4 ans depuis 1900 et décerne depuis 1936, la célèbre médaille Fields.

Hilbert énonçait ses célèbres 23 grands problèmes ouverts qui devaient guider les mathématiciens de notre siècle.

En fait, selon Pierre Cartier (professeur à l'IHES), le temps imparti à Hilbert ne lui permit pas d'exprimer l'ensemble des 23 problèmes mais seulement 10 d'entre eux qu'il sélectionna en accord avec ses amis Hurwitz et Minkowski. Sa conférence ne fut publiée dans son entièreté qu'en 1902.

Voici, dans la numérotation de Hilbert, les plus célèbres de ces problèmes et les plus accessibles à notre entendement de non mathématicien... :

1/ Démontrer l'hypothèse du continu : indécidable dans le système d'axiomes ZFC de la théorie des ensembles :
Cohen, 1963.

2/ Consistance des axiomes de l'arithmétique :  résolu par la négative, théorème d'incomplétude :
Gödel, 1931. Ce résultat montre que le formalisme axiomatique n’est pas la panacée de la construction des mathématiques.

  Ackermann , Cantor

3/ La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle applicable à tous les volumes ? non, Dehn, 1901.

7/ Transcendance de nombres comme : partiellement résolu, Gelfond, Schneider, Baker, 1939.

8/ Le problème de la distribution des nombres premiers et la conjecture de Riemann concernant les nombres z(n) : non résolu.

Apéry

10/ Recherche d'un algorithme permettant de savoir si une équation diophantienne admet ou non des solutions : résolu par la négative (indécidable) en 1970 par le mathématicien russe Youri Matiyasevitch (1947-).

L'ensemble des 23 problèmes :              Fields              Médailles Fields :

Espace préhilbertien, Espace de Hilbert (ou espace hilbertien) :

L'appellation espace de Hilbert est due à von Neumann. On nomme ainsi un espace préhilbertien séparé et complet.

D'accord, mais c'est quoi un espace préhilbertien ? On appelle ainsi un espace vectoriel sur R (resp. C) muni d'une forme bilinéaire symétrique et positive (resp. d'une forme sesquilinéaire auto-adjointe et positive).

Lorsque ces formes sont définies positives, elles définissent un produit scalaire et on parle d'espace préhilbertien séparé. Le concept d'espace de Hilbert est une généralisation des espaces euclidiens "usuels" rendue nécessaire par l'entrée en scène, dès la fin du 19è siècle, des espaces fonctionnels où les "points" sont alors des fonctions. Les applications en sciences physiques sont immenses.

Un espace de Hilbert apparaît ainsi comme un espace vectoriel sur R ou C, muni d'un produit scalaire dont l'espace normé associé est complet : c'est un espace de Banach.

Historiquement les éléments de ces espaces furent des fonctions (espaces fonctionnels) et sont nés de la physique mathématique, tout particulièrement des phénomènes oscillatoires et du calcul des variations où les solutions recherchées (équations intégrales) apparaissent comme somme d'une série de fonctions (souvent trigonométriques) que l'on approche par des polynômes orthogonaux pour un produit scalaire convenable. Outre pour une théorie rigoureuse des séries de Fourier, les espaces de Hilbert sont aussi un outil essentiel en mécanique quantique et en calcul tensoriel.

  Polynômes orthogonaux , Polynômes de Hermite , Polynômes de Tchebychev , Séries de Fourier dans L2
Exemple : Dans le cas de fonctions numériques continues sur un intervalle [a,b] de R, on introduit le produit scalaire :

<f,g> = f(x)g(x)dx

Pour toute fonction f , la norme associée, || f || , est alors définie par :

           

voir produit scalaire :  exercice 1 , exercice 4  

Muni de cette norme l'ensemble des fonctions numériques continues sur [a,b] est un espace de Hilbert mis en place par ce dernier en 1904. Si f est à valeurs dans C, le produit scalaire deviendra :

             forme hermitienne , Espaces L2 et séries de Fourier

Dans des cas plus généraux et si l'intervalle d'intégration J n'est pas borné, l'intégrabilité de f n'est pas assurée et sa norme || f || peut être non bornée. Lorsque f 2 est intégrable : on parle des fonctions de carré intégrable (classe importante de fonctions pour l'approximation quadratique). Lorsque l'intégrale considérée est celle de Lebesgue, cet espace se note L2[a,b] (L pour Lebesgue). Noter aussi que l'intégrabilité de f 2 n'implique pas celle de f :

Espaces Lp :                         Produit scalaire et norme :

Pour en savoir plus :

Le Zahlbericht :

Hilbert publie en 1893 le Zahlbericht (mot à mot : compte rendu sur les nombres), état complet de la connaissance en théorie des nombres et, en 1897, une théorie complète des corps de nombres algébriques que Dedekind avait antérieurement mis en place (il semble qu'on lui doive là le terme d’anneau aussi attribué à Fraenkel).

Il s'agit d'extensions du corps Q des nombres rationnels engendrées par un nombre algébrique z de degré n (zéro d'un polynôme irréductible de degré n à coefficients dans Q).

Leurs éléments sont de la forme x = ao + a1z + a2z2 + ... + an-1zn-1 ,où les ai sont rationnels. Un exemple simple est Q(2), ensemble des nombres de la forme a + b2, (a,b)Q2, issu de l’équation z2 - 2 = 0.

La géométrie selon Hilbert :

Face aux faiblesses de la construction de la géométrie d'Euclide et des grandeurs irrationnelles, la volonté d'Hilbert fut de reconstruire les mathématiques sur des fondements axiomatiques plus complets et indépendamment de la logique ensembliste. Il réussit la reconstruction de la géométrie euclidienne : cinq groupes de quatre axiomes, dont quinze équivalent à ceux d'Euclide. On y trouve, en particulier l'axiome de Pasch, non explicité par Euclide et les axiomes de continuité d'Archimède et de Cantor.

E. H. Moore montrera (1902) que les axiomes d'Hilbert sont surabondants : l'axiome de Pasch, par exemple, est "trop fort" : il implique un des axiomes d'ordre sur la droite pouvant ainsi s'exprimer en utilisant la notation [ABC] pour signifier que A, B et C sont alignés avec B entre A et C :

Quatre points A, B, C et D d'une droite peuvent toujours être situés de sorte que l'on ait simultanément [ABC], [ABD], [ACD] et [BCD]

Cela vous paraît bien évident ? Ben, oui : c'est un axiome...

Pour (presque) tout savoir sur les Fondements de la géométrie :

Les problèmes soulevés par l'arithmétique, la géométrie algébrique, la théorie des ensembles, beaucoup plus difficiles à reconstruire axiomatiquement, firent l'objet des célèbres 23 problèmes ouverts cités au congrès de 1900.

Axiomes de Hilbert-Ackermann (logique propositionnelle) :        Gödel et le théorème d'incomplétude :
 
 Autre contribution :

Paradoxe lié au concept de courbe, approche d'une courbe fractale :

Courbe de Peano-Hilbert :

Pour en savoir plus :


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