ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

HILBERT David, allemand, 1862-1943

David Hilbert fit toutes ses études à Königsberg, sa ville natale où il obtient sa thèse de doctorat (1885) dirigée par Lindemann portant sur les propriétés invariantes des fonctions sphériques (fonctions de deux variables définies sur la sphère).

Professeur à l'université de Königsberg dès 1886, il remplaça Hurwitz nommé à l'École polytechnique de Zurich (1892) et l'année suivante il succède à Lindemann nommé à Munich (München). En 1895, Hilbert obtient un poste à Göttingen, qu'il conservera jusqu'à sa retraite (1930).

Hilbert rencontra et se lia d'amitié avec les plus grands mathématiciens de l'époque dont : Minkowsky (camarade d'études), Hurwitz, Cantor, Fuchs, Hermite, Klein, Kummer, Kronecker, Poincaré, Weierstrass.

Génie universel, s'investissant dans toutes les branches des mathématiques, en les faisant progresser par des méthodes et des outils novateurs et rigoureux, Hilbert est considéré comme l'un des plus grands (le ?) mathématiciens du 20è siècle. Partisan d'un formalisme sans concession, ses travaux se situent dans l'étude des fondements des mathématiques :

Dans les ensembles de fonctions, Hilbert s'attacha plus particulièrement à y définir les concepts de limite et de continuité.

  Steinhaus , Banach

A la fin du 19è siècle, les importantes avancées en analyse fonctionnelle (par exemple, Volterra en Italie, Fredholm en Suède) se développèrent avant les magnifiques outils offerts par la formalisation des espaces métriques et topologiques abstraits : ce sera le fait de Fréchet (1906), Riesz (1907) et Hausdorff (1913).

  Espaces vectoriels , Espaces métriques (généralités) , Espaces hilbertiens , Notion de topologie

Les célèbres 23 problèmes de Hilbert :

A la demande de Cantor, un Congrès international de mathématiques (CIM) fut créé en 1897. Ce premier congrès eut lieu à Zürich. Celui de 1900 se déroula à Paris et eut un grand retentissement par le fait qu'il inaugurait le 20è siècle (qui, rappelons-le, ne commença qu'en 1901...) et que se trouvaient évoqués les grands problèmes mathématiques non résolus.

Le CIM se réunit tous les 4 ans depuis 1900 et décerne depuis 1936, la célèbre médaille Fields.

Hilbert énonçait ses célèbres 23 grands problèmes ouverts qui devaient guider les mathématiciens de notre siècle.

En fait, selon Pierre Cartier (professeur à l'IHES), le temps imparti à Hilbert ne lui permit pas d'exprimer l'ensemble des 23 problèmes mais seulement 10 d'entre eux qu'il sélectionna en accord avec ses amis Hurwitz et Minkowski. Sa conférence ne fut publiée dans son entièreté qu'en 1902.

Voici les plus célèbres de ces problèmes, et les plus accessibles à notre entendement de non mathématicien... :

1/ Démontrer l'hypothèse du continu :  indécidable Cohen, 1963.

2/ Consistance des axiomes de l'arithmétique :  résolu par la négative, théorème d'incomplétude : Gödel, 1931. Ce résultat montre que le formalisme axiomatique n’est pas la panacée de la construction des mathématiques.

Ackermann , Cantor

3/ La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle applicable à tous les volumes ? non, Dehn, 1901.
 

7/ Transcendance de nombres comme : partiellement résolu, Gelfond, Schneider, Baker, 1939.

8/ Le problème de la distribution des nombres premiers et la conjecture de Riemann concernant les nombres z(n) : non résolu.

Apéry

10/ Recherche d'un algorithme permettant de savoir si une équation diophantienne admet ou non des solutions : résolu par la négative (indécidable) en 1970 par le mathématicien russe Youri Matiyasevitch (1947-).

L'ensemble des 23 problèmes :              Fields              Médailles Fields :

Espace préhilbertien, Espace de Hilbert (ou espace hilbertien) :

L'appellation espace de Hilbert est due à von Neumann. On nomme ainsi un espace préhilbertien séparé et complet.

D'accord, mais c'est quoi un espace préhilbertien ? On appelle ainsi un espace vectoriel sur R (resp. C) muni d'une forme bilinéaire symétrique et positive (resp. d'une forme sesquilinéaire auto-adjointe et positive).

Lorsque ces formes sont définies positives, elles définissent un produit scalaire et on parle d'espace préhilbertien séparé. Le concept d'espace de Hilbert est une généralisation des espaces euclidiens "usuels" rendue nécessaire par l'entrée en scène, dès la fin du 19è siècle, des espaces fonctionnels où les "points" sont alors des fonctions. Les applications en sciences physiques sont immenses.

Un espace de Hilbert apparaît ainsi comme un espace vectoriel sur R ou C, muni d'un produit scalaire dont l'espace normé associé est complet : c'est un espace de Banach.

Historiquement les éléments de ces espaces furent des fonctions (espaces fonctionnels) et sont nés de la physique mathématique, tout particulièrement des phénomènes oscillatoires et du calcul des variations où les solutions recherchées (équations intégrales) apparaissent comme somme d'une série de fonctions (souvent trigonométriques) que l'on approche par des polynômes orthogonaux pour un produit scalaire convenable. Outre pour une théorie rigoureuse des séries de Fourier, les espaces de Hilbert sont aussi un outil essentiel en mécanique quantique et en calcul tensoriel.

  Polynômes orthogonaux , Polynômes de Hermite , Polynômes de Tchebychev , Séries de Fourier dans L2
Exemple : Dans le cas de fonctions numériques continues sur un intervalle [a,b] de R, on introduit le produit scalaire :

<f,g> = f(x)g(x)dx

Pour toute fonction f , la norme associée, || f || , est alors définie par :

           

voir produit scalaire :  exercice 1 , exercice 4  

Muni de cette norme l'ensemble des fonctions numériques continues sur [a,b] est un espace de Hilbert mis en place par ce dernier en 1904.

  Si f est à valeurs dans C, le produit scalaire deviendra :

             forme hermitienne , Espaces L2 et séries de Fourier

Dans des cas plus généraux et si l'intervalle d'intégration J n'est pas borné, l'intégrabilité de f n'est pas assurée et sa norme || f || peut être non bornée. Lorsque f 2 est intégrable : on parle des fonctions de carré intégrable (classe importante de fonctions pour l'approximation quadratique). Lorsque l'intégrale considérée est celle de Lebesgue, cet espace se note L2[a,b] (L pour Lebesgue).

 Noter que l'intégrabilité de f 2 n'implique pas celle de f : par exemple, x 1/x2 est intégrable sur [1 ,+[ et l'intégrale égale 1. Pourtant x 1/x n'est pas intégrable sur [1 ,+[.

Espaces Lp :                         Produit scalaire et norme :

Pour en savoir plus :

Le Zahlbericht :

Hilbert publie en 1893 le Zahlbericht (mot à mot : compte rendu sur les nombres), état complet de la connaissance en théorie des nombres et, en 1897, une théorie complète des corps de nombres algébriques que Dedekind avait antérieurement mis en place (il semble qu'on lui doive là le terme d’anneau aussi attribué à Fraenkel).

Il s'agit d'extensions du corps Q des nombres rationnels engendrées par un nombre algébrique z de degré n (zéro d'un polynôme irréductible de degré n à coefficients dans Q).

Leurs éléments sont de la forme x = ao + a1z + a2z2 + ... + an-1zn-1 ,où les ai sont rationnels. Un exemple simple est Q(2), ensemble des nombres de la forme a + b2, (a,b)Q2, issu de l’équation z2 - 2 = 0.

La géométrie selon Hilbert :

Face aux faiblesses de la construction de la géométrie d'Euclide et des grandeurs irrationnelles, la volonté d'Hilbert fut de reconstruire les mathématiques sur des fondements axiomatiques plus complets et indépendamment de la logique ensembliste. Il réussit la reconstruction de la géométrie euclidienne : cinq groupes de quatre axiomes, dont quinze équivalent à ceux d'Euclide. On y trouve, en particulier l'axiome de Pasch, non explicité par Euclide et les axiomes de continuité d'Archimède et de Cantor.

E. H. Moore montrera (1902) que les axiomes d'Hilbert sont surabondants : l'axiome de Pasch, par exemple, est "trop fort" : il implique un des axiomes d'ordre sur la droite pouvant ainsi s'exprimer en utilisant la notation [ABC] pour signifier que A, B et C sont alignés avec B entre A et C :

Quatre points A, B, C et D d'une droite peuvent toujours être situés de sorte que l'on ait simultanément [ABC], [ABD], [ACD] et [BCD]

Cela vous paraît bien évident ? Ben, oui : c'est un axiome...

Pour (presque) tout savoir sur les Fondements de la géométrie :

Les problèmes soulevés par l'arithmétique, la géométrie algébrique, la théorie des ensembles, beaucoup plus difficiles à reconstruire axiomatiquement, firent l'objet des célèbres 23 problèmes ouverts cités au congrès de 1900.

Axiomes de Hilbert-Ackermann (logique propositionnelle) :        Gödel et le théorème d'incomplétude :
 
 Autre contribution :

Paradoxe lié au concept de courbe, approche d'une courbe fractale :

Courbe de Peano-Hilbert :

Pour en savoir plus :

d'Ocagne   Painlevé
© Serge Mehl - www.chronomath.com